机器人的位姿描述

坐标分量。
ｘ
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
• 位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐 标原点的选择有关。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 我们知道：两个刚体的相对姿态可
以用附着与它们上的坐标系的相对姿态 来描述。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标 系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对 于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的姿 态。
坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用坐 标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中的 表示给出， 即[AxB AxB AxB] （这里前上标A说 明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示）， 它是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的基
θ ｙj ｙi
ｘ 山东大j学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
xi cos
yi
sin
zi 0
令:
sin cos
0
0 0
x y
j j
1 z j
cos sin 0
RZ
(
)
sin
百度文库
cos
0
0
0 1
山东大学机械工程学院机电2工02程0研年究8月所92日010星/0期9/0日2
可以写成：
cos( xA, xB)
RA
B
cos(
yA,
xB)
cos(zA, xB)
cos( xA, yB) cos( yA,yB) cos(zA, yB)
cos( xAz, B) cos( yAz, B) cos(zA, zB)
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
RA 1
B
BA
RT
BA
R
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
3、位姿的统一表示
定义一组四向量矩阵[R P]，如图。其中， 表示jiR{j}相对{i}的姿态， 表i示pjorg{j}的原点 相对{i}的位移。
我们可以将{j}坐标
系相对{i}坐标系描述为： ｚi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
一、机器人位姿的表示
1、位置的表示
坐标系建立后，任意点p在空间的位
置可以用一个3×1的位置矢量来描述；
例如，点p在{A}坐标系中表示为：
px
A
P
py
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
pz
ｏ
{A}
ｙ
其中px，py，pz为P点的
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述 3.2 齐次变换及运算 3.3 机器人运动学方程 3.4 机器人微分运动
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
机器人的任务
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
第3章 机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的位姿
及运动与各个关节的 位姿及运动之间的关 系。
矢量在{A}中的分量表示。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
即：
A
B
R
AxB
AyB
xB xA
A zB
xB
y
A
yB xA yB yA
zB zB
xA yA
B
X
T A
BYAT
xB zA
yB zA
zB zA
BZ
T A
基矢量都是单位矢量，因此，上式又
3.2 齐次变换及运算
②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj α
ｏi ｏj
ｙj
α
ｙi
ｘj ｘi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj β
ｏi ｏj
ｙj ｙi
β
ｘi
ｘj
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
{j}
{
i j
R
p } i jorg 3×4
ｏi
ｘi
ｚj
ｘj
ｏj
p ｙj
ｙi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
3.2.1、不同直角坐标系之间的关系
1、平移
设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿
态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩
阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i}
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换
①、绕z轴旋转θ角
坐标系{i}和坐标系{j}的原点合，
坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}
绕的z轴旋转一个θ角。θ角的正负一般
按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆
时钟为正。
ｚi ｚj
ｏi ｘi θ ｏj
即：
ip
i j
R
j
p
ｚi ｚj
ｏi ｘi ｏj
ｘj
p
ｙj ｙi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式可以给出多种不
同的解释，前面介绍的是同一个向量在不 同的坐标系的表示之间的关系。
上述数学关系也可以在同一个坐标系 中解释为向量的“向前”移动或旋转，或 则，坐标系“向后”的移动或旋转。
•
A B
R
称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。
旋转矩阵的性质：
1、列向量两两正交，行向量两两正交。
2、列向量和行向量都是单位向量。
3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同 样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。
4、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。
5、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
其中： 正问题：已知关节运 动，求手的运动。 逆问题：已知手的运 动，求关节运动。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
对于机器人来说，我们最关心它的末 端执行器相对于基座的位置和姿态，简称 为位姿。
问：我们如何用一组关节参数来描述 机器人的末端执行器相对于基座的位姿？
的位置，则同一点P
P
在两个坐标系中的表
示的关系为：
iP
jP
Pi jorg
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
2、旋转
设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重
合，但它俩的姿态不同。设有一向量P，
它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i}
中如何表示？
考虑分量：
i px i x j p j xi j p i py jyij p i pz j zi j p
3.2 齐次变换及运算