抽象函数求定义域的处理方法

抽象函数求定义域的处理方法

一、在刚开始学函数的时候，会遇到求函数定义域的问题，有一类问题是这样

的：

1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域

2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域

这类问题弄得刚上高中不久的学生一头雾水，掉进糊涂盆里就出不来了，后来想，我们可以把

f( )看成工厂的生产加工，

f是加工工序，

x是原材料，原材料得满足一定的条件，就是定义域

（）内的是加工材料，（）是对加工材料的限制，能进入（）的，必须满足（）的条件

在1）中f(x)的原材料就是加工材料，所以加工材料满足的条件就是[0,4]

在f(2x+1)中，加工材料是2x+1，他必须满足[0,4]

在2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原材料x满足[0,4]，变成加工材料2x+1,那么加工材料的限制条件就成了[1,9], f(x)的原材料就是加工材料就是[1,9]

这样处理起来比以前理想多了

二、先看下面一个例子

（1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。（其中x2表示x的平方）（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。

解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x

∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0}

（2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1

∴-1≤2x-1＜1

∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1

∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3]

现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？

我的参考书里说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？

抽象函数的意思就是对应法则没有给出。

你所注意的是函数的定义域和值域。比方说，函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f （x）中的x，这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x！！所以此时可以将x2+1看成是一个整体，令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数。实际上，这是一个复合函数即y=f(t),t=g(x)=x2+1，以后你会学到的。所以，这里说的整体法很重要，跟参考书上是一个意思。

第2题目更是体现了这一点。因为函数f（2x-1）的定义域为[0，1）是对于变量x而言，所以应先算出2x-1在[0，1）的值域，显然-1≤2x-1＜1 ，所以对于函数f（1-3x）有-1≤1-3x ＜1

∴0＜x≤2/3 ，f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 当然是关于变量x的。

三、高一抽象函数：已知函数f(x²)的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域。

已知函数f(x²)的定义域是〔1，2〕，求f（x）的定义域。

解：f(x²)的定义域是〔1，2〕，是指1≤x≤2，

所以f(x²)中的x²满足1≤x²≤4,从而函数f（x）的定义域是〔1，4〕因为：函数中Y一直是应变量

而X一直是自变量

而一个函数的定义域一直是x的范围

若果这样不好理解

也可以把它当符复合函数做

设t=x²定义域是[1，2]

f(x²)=f（t）

也就是说在这个函数中t是自变量

决定定义域；而t∈【1，4】

所以f（t）的定义域是【1，4】而t当然可以换成x

所以就有以上答案