结构力学第7章 渐近法

§7-3 力矩分配法的基本运算
结点B约束力矩为：
M B (150 90) 60kN m
结点B分配力矩为：
M B 60kN m
(3) 运算格式
分配系数 固端弯矩 分配传递 杆端弯矩 A -150 -17.13 -167.13 BA 0.571 150 -34.26 115.74 BC 0.429 -90 -25.74 -115.74 0 0 C
S S
AB
S AC S AD S AE 12i
§7-2 力矩分配法的基本概念
回代求杆端弯矩：
M AB M AD SAB 4i 1 S AB A = M 0 = AB M 0 = M0 = M0 12i 3 S SAD 2i 1 S AD A = M 0 = AD M 0 = M0 = M0 12i 6 S SAE 6i 1 M 0 = AE M 0 = M0= M0 12i 2 S
§7-2 力矩分配法的基本概念
力矩分配法是H.Cross于1930年提出的适于计算连续梁和无侧
移刚架的一种实用方便、快捷的计算方法。该法是逐步逼近(对 多结点力矩分配而言)精确解的计算方法，是渐近法，不是近似 法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端产生 单位转角(无线位移)时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各 图(施力端为近端 ，另一端为远端)。
S
对于某一结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
1 1 1 ij 3 6 2 1
§7-2 力矩分配法的基本概念
3 传递系数
传递系数指的当近端有转角时(无线位移)，远端弯矩与近端 弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
(a) A θA i
MBA=0 B i
MAB=4iθA
MBA=2iθA B
S AB 4i S AC 0 S AD 2i S AC 6i
§7-2 力矩分配法的基本概念
平衡方程为：
M
A
0
M AB M AC M AD M AE M 0 ( S AB S AC S AD S AE ) A M 0 M0 M0 A S AB S AC S AD S AE S
AB AD
S AB 1 S 3 S AD 1 S 6 S AE 1 S 2 S AC 0 S
M AE =S AE A M AC 0
AE
AC
§7-2 力矩分配法的基本概念
由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ 的比例分配给各 杆端。系数μ 称为分配系数，某杆的分配系数μ等于该杆 的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和的比值 Sij ，即 ij
§7-2 力矩分配法的基本概念
θA=1 A SAB i B
(a) SAB=4i，远端为固定端
θA=1 SAB
θA=1 SAB B i
B i
(b) SAB=3i，远端为铰支座
(c) SAB=i，远端为滑动支座
θA=1 SAB B i
(d) SAB=0，远端为滚轴支座
§7-2 力矩分配法的基本概念
2 分配系数
M BA 1 M AB 2
(b)
MAB=3iθA θA
M BA 0 M AB
§7-2 力矩分配法的基本概念
(c) MAB=iθA θA i MBA= -iθA B
M BA 1 M AB
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即
M BA CAB M AB
§7-3 力矩分配法的基本运算
(a) E 2i B i i A M0 2i D
用位移法求解图示结构，未知 量为θA 。 杆端弯矩表达式：
(b)
MAE MAD
MAB
A MAC
C
M AB S AB A 4i A M AC S AC A =0 M AD =S AD A 2i A M AE S AE A =6i A
§7-3 力矩分配法的基本运算
(4) 作弯矩图
167.13 115.74
A 158.56
B
第7章 渐近法
主要内容
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 §7-7 §7-8 概述 力矩分配法的基本概念 力矩分配法的基本运算 多结点无侧移结构的计算 力矩分配法和位移法的联合利用 对称性的利用 无剪力分配法 剪力分配法
§7-1 概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。 渐进法的理论基础是位移法，避免组成和解算典型方程，在图 表上流水作业，结果精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛 于精确解。 优点：概念简明，步骤单调，适合手算，在结构设计中被广泛 采用。 缺点：不适合电算，未知量较少时采用。
力矩分配法的基本运算指的是单结点结构的力矩分配法计算。
(a) 200kN A EI
3m
20kN/m B
3m
M B 60kN m
B 150kN· m -90kN· m
EI
6m
C
M B 60kN m 20kN/m (b) 200kN A B
150 kN m 150 kN m 90 kN m
§7-3 力矩分配法的基本运算
解： i
EI 6 (1) 求分配系数
S BA 4i S BC 3i 4 BA 0.571 7 3 BC 0.429 7
(2) 求固端弯矩
1 F M AB 200 6 150 kN m 8 1 F M BA 200 6 150 kN m 8 1 F M BC 20 62 90 kN m 8
C
用位移法解图(a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动 约束，锁住B使之不能转动。其产生的反力矩MB等于各杆 端固端力矩的代数和，见图(b)。
§7-3 力矩分配法的基本运算
(c)
M B 60kN m
A
B
C
B
其次放松结点B，即在结点B加-MB，这是结构受结点力 矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图(c)。