结构力学第7章 渐近法
结构力学第七章 渐 近 法
第四节
无剪力分配法
本来力矩分配法只能直接用于无结点线位移的结构。但后来的
研究结果表明，可计算某些符合特定条件的有侧移刚架，如图
7-15所示的渡槽支承、桥梁和管道的支架等。 像图7-16所示那样有结点线位移的结构，也可直接用于力矩分 配法计算。这类结构有一个共同的特点，那就是竖柱两侧的各 支链杆都和竖柱保持平行，从而各结点附加刚臂后，这些结点 的移动不受这些支承的任何限制。对于这样类型的结构，当进 行力矩分配时，由于允许杆端自由移动，故竖柱上不会引起任
矩叠加起来，就得到原杆件的最终杆端弯矩。将最终杆端弯矩
与将各杆看成是简支梁时在荷载作用下的弯矩相叠加，即得结 构的最终弯矩图。
第三节
多结点的力矩分配法
归纳起来，运用力矩分配法计算一般连续梁和无结点线位移刚
架的步骤如下：
1)求出汇交于各结点每一杆端的分配系数 2)计算各杆端的固端弯矩MF； 3)逐次循环交替地放松各结点以使弯矩平衡。 4)将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即 得各杆端的最后弯矩。
何附加剪力，而剪力始终保持为一个常数，所以被称为无剪力
分配法，即分配时不引起附加剪力的意思。
第四节
无剪力分配法
图 7-15
第四节
无剪力分配法
图 7-16
第四节
无剪力分配法
图 7-17
第四节
无剪力分配法
30C.TIF
第四节
无剪力分配法
图 7-18
第四节
无剪力分配法
图 7-19
图 7-1
1.转动刚度S
图 7-2
1.转动刚度S
图 7-3
2.分配系数
图 7-4
2.分配系数
图 7-5
第七章 渐近法和超静定结构的影响线(参考答案)
第七章 渐近法和超静定结构的影响线（参考答案）一、1、（O ）2、（O ）3、（O ）4、（O ）5、（O ）6、（X ）7、（X ） 8、（O ） 9、（O ） 10、（O ） 11、（X ）二、1 D2 B3 C4 C5 C三、1、远端弯矩、近端弯矩、约束2、-16 kN. m四、1、18334.5(kN ·m)2、R B ＝8kN3、53PlM AD =(下侧受拉)4、m kN M AB ⋅=67.1(下侧受拉)，m kN M BC ⋅=67.11（上侧受拉），m kN M CD ⋅=63.3（上侧受拉）5、μBA = 1/3 , μBC = 2/3 , μCB = 1 , μCD = 0 ,FBAM = 40 kN ·m , M BC F = 8 kN ·m , M CB F = 16 kN ·m ,M CD F = -16 kN ·m6、 7、41.8542.298441.934821.5210.73()图 M kN .m mmmm m m2m2714578、 9、0.95830.04170.5图M ()ql2527614107M 图 （ ） kN m.2610、 11、28.866106.412.825.6图 M ()kN .m()图 M kN .m 117.9422.1769.2352.8313.3919.4838.9812、μμμAB AC AD ===010306190278... , , ，M M BA AB FFkN m , kN m =⋅=⋅1836 , M M M AD DA CA FFFkN m , , =-⋅==3000 ,M AC F=013、μμμAB AC AD ===0375012505... , , ，M M BA AB F F, kN m ==⋅060 , M M M AD DA CA FFFkN m , kN m , =-⋅=⋅=50500 ,M AC F=0 14、15、20204010图 ( kN m)M .1.5 1.57.5910.50.75( kN ⋅m )16、m kN M AB ⋅=5.4(上侧受拉)，m kN M AD ⋅=5.1（上侧受拉）17、μAB =553，μAC =3053，μAD =1853，M AD F = 10 kN ·m ，-M AC F =M CA F= 203kN ·m18、19、/2/14/7/7/2PlPl PlPlPl图M图M20、32.57 32.5773.7236.8514.57（kN m）21、D C10.8430.8347.0830.83202023.5523.5510.845.42 5.42对称结构，对称荷载，取一半结构计算M图(KN.m)m 22、(kN·m)23、24、105.9113.837.17.9488.7().kN m 0-1356/173/178/17090 半结构 图 Ｍ3.96.110.120.80.20.50.50.20.8-5-50.12图M ()kN .m25、 26、0.40.66.0-6.00.40.62.2569.7440.748图M ()kN .m9553611（ ⨯q9） 27、31.5M 图 （ kN.m )28、lxY l x l Y X B A A =-==,,0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=2021l x fH⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=l x l f x -l =l Y f H A 2221l f4影响 线 H 29、M Gmax.=⋅3375kN mQ Cmax.=75kN_G1.53_C 1M G 影 响 线（m) Q C 影 响 线 30、M G 影 响 线 Q C 左 影 响 线31、Q 作 用 处 的 影 响 线 值 分 别 为 y ( x ) , y ( l-x )()()()[]232324/l Q x l l x l x xl M B ---+--=x = l /2 M Ql B min .=-0188R A 影 响 线。
结构力学-渐近法
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
《结构力学》渐近法计算超静定结构-课程知识点归纳总结
《结构力学》渐近法计算超静定结构-知识点归纳总结一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。
转动刚度与该杆远端支承及杆件刚度有关。
传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表1所示。
这里，i 为杆的线刚度。
二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：同一结点各杆分配系数之和，这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。
三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点在刚结点上施加附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。
计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担。
（2）放松结点取消刚臂，让结点转动，这相当于在结点上施加一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
这个反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。
同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。
（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，可得各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。
四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、固定刚结点（施加附加刚臂），计算各杆端的固端弯矩，并计算各刚臂承担的不平衡力矩值。
2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。
对每个结点轮流放Aj Aj Aj S S μ=∑1Aj μ=∑松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。
一般进行2-3个循环就可获得足够精度。
3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩、历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。
五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。
结构力学渐进法思考题(有答案)
渐进法与近似法思考题1. 为什么说单结点结构的力矩分配法计算结果是精确解？答案：单结点结构的力矩分配法计算结果与位移法完全相同，是精确解。
解析：单结点结构的力矩分配法是由位移法推导出的，与位移法的计算结果完全相同。
难易程度：易知识点：力矩分配法的基本原理2. 图示梁A 、B 两端的转动刚度AB S 与BA S 是否相同？答案：不相同解析：由转动刚度的定义可知，3AB S i =，4BA S i =（i =EI /l ）。
难易程度：中知识点：力矩分配法的基本原理3. 在力矩分配法中，为什么原结构的杆端弯矩是固端弯矩、分配弯矩（或传递弯矩）的代数和？答案：力矩分配法的计算分为“锁住”刚结点和“放松”刚结点两个过程，最终杆端弯矩便是这两个过程产生的固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）的叠加。
解析：“锁住”刚结点时，刚结点上产生约束力矩（即不平衡力矩），各杆端有固端弯矩；“放松”刚结点的实质是消除其上的约束力矩，即将约束力矩反号后进行分配与传递，各杆端上产生分配弯矩或传递弯矩。
将这两个过程叠加即得最终的杆端弯矩。
难易程度：易ABlABl≠0EI EI知识点：单结点结构的力矩分配4.在力矩分配法中，如何利用分配弯矩求结点转角？答案：可将刚结点所联的任一杆端在各次分配时所得的分配弯矩累加起来，再除以该杆端的转动刚度，即得结点的转角。
解析：分配弯矩是由放松结点时结点转动所产生的，因此可以直接用它求结点转角。
对于多结点结构中的任一结点，其最终的转角为各次放松结点所得角位移增量之和。
可将刚结点所联的任一杆端在各次放松时所得的分配弯矩累加起来，再除以该杆端的转动刚度，即得结点的转角。
难易程度：难知识点：力矩分配法的基本原理5.在力矩分配法中，如何利用约束力矩求结点转角？答案：将任一结点在各次放松时的约束力矩（或不平衡力矩）累加起来，再反号后除以该结点所联各杆端转动刚度之和，即得该结点的转角。
解析：放松结点消除约束力矩时，结点才产生转角。
渐近法---李廉锟_结构力学共15页文档
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
渐近法---李廉锟_结构力学
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
结构力学之渐近法
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学课件12渐近法
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
第七章 渐近法与近似法
表6.1求得，即
Fa2b 120 22 3 M 2 57.6kN m 2 l 5 2 2 Fab 120 2 3 F M BA 2 86.4kN m 2 l 5 ql2 20 42 F M AD 40kN m 8 8 R F M DA 0
3i12Z1
C μ M 21 M 12 C12 0
4 2 4i13Z1 1 i14Z1 i14Z1
1 μ C μ M 31 M 13C13 M 13 2 C μ μ M 41 M 14 C14 M 14
C μ M ki Cik M ik
3 2i13Z1
基本运算中杆端弯矩的计算方法归纳为:当集中力 偶 M 作用于结点 1 时 , 按分配系数分配给各杆的近 端即为分配弯矩；分配弯矩乘以传递系数即为远 端的传递弯矩。
【例7.3】 试用力矩分配法计算图7.6(a)所示连续梁 ， 绘制弯矩图和剪力图，并求支座反力。
A 4m F B i=1 4m i=1 8m C q=20kN/m i=1 8m D
图7.6
分配系数
A －80.00
-31.42
0.5 80.00
B
0.5 45.68
0.571
C
0.429 －160.00
BC
3 1 4 1 4 1 0.57 3 1 4 1
2）计算各杆端的固端弯矩。由表6.1得
F M AB 0 2 ql 1 F M BA 30 62 kN m 135kN m 8 8 Fl 80 6 F M BC kN m 60 kN m 8 8 Fl F M CB 60 kN m 8
二、单结点力矩分配法
1) 固定结点。先在本来是发生角位移的刚结点i处假 想加入附加刚臂，使其不能转动，计算汇交于i点各
【精选】第七章 渐近法31
(2) 原连续梁B结点并无附加刚臂，取消刚臂的作用让B结点转 动, 就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图7-3(c)所 示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩
M BA
BA (M
B)
M
BA
M BC
BC (M B )
M
BC
即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩 MC，它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
Chap7 渐进法与近似法
7-1 力矩分配法的基本原理 7-2 多结点的力矩分配法 7-3 无剪力分配法 7-4 近似计算简介
§7-1 力矩分配法的基本原理
渐近法有力矩分配法和无剪力分配法。力矩分配法的 理论基础是位移法，是计算连续梁和无侧移刚架的一种实 用计算方法 。 1、正负号规定
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF。
M
F AB
ql2 12
1282 12
= 64kN
m
M
F BA
ql 2 12
1282 12
=64kN
m
M
F BC
3Fl 16
380 6 16
=
90kN
m
M
F CB
=0
写在各杆端下方MF一行。
(7-2)
远端定向 C=-1
(7-3)
4、分配系数
图7-2(a)所示刚架，A为刚结 点，B、C、D端分别为固定、 定向及铰结。设在结点A作 用一集中力偶M，刚架产生 图中虚线所示变形，汇交于 结点A的各杆端产生的转角 均为，各杆杆端弯矩由转动 刚度定义可知，
结构力学自测题(第七单元渐近法)
结构力学自测题（第七单元渐近法）姓名 学号一、 是非题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正确 ，以 X 表 示 错 误 ）1、 单 结 点 结 构 的 力 矩 分 配 法 计 算 结 果 是 精 确 的 。
（ ）2、图 示 杆 AB 与 CD 的 EI ， l 相 等 ， 但 A 端 的 转 动 刚 度S AB 大 于C 端 的 转 动 刚 度S CD 。
（ ）A C DBk=EI/l 33、图 示 刚 架 可 利 用 力 矩 分 配 法 求 解 。
（ ）4、用力矩分 配 法 计 算 图 示 结 构 时 ， 杆 端 AC 的 分 配 系 数 μAC =18/29 。
（）B C AD4m 25EI EI EI二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ）1、下 图 中 哪 一 种 情 况 不 能 用 力 矩 分 配 法 计 算 。
（ ）C D AB2、图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 ， 分 配 系 数 μA 4 为 ：A . 1 / 4 ;B . 1 2 / 2 1 ;C . 1 / 2 ;D . 6 / 1 1 。
（ ）3A 1442i 11=i 22=i 33=1=i 43、在 力 矩 分 配 法 中 ， 分 配 系 数 μAB 表 示 ：A. 结 点 A 有 单 位 转 角 时 ， 在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；B. 结 点 A 转 动 时 ， 在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；C. 结 点 A 上 作 用 单 位 外 力 偶 时 ， 在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 ；D. 结 点 A 上 作 用 外 力 偶 时 ，在 AB 杆 A 端 产 生 的 力 矩 。
（ ）4、图 示 结 构 ，EI = 常 数 ，杆 BC 两 端 的 弯 矩 M BC 和 M CB 的 比 值 是 ：A. -1/4 ；B. －1/2 ；C. 1/4 ；D. 1/2 。
结构力学——渐近法
第七章渐进法xiu
M A EI L
4 7
2 M 7
B
3 7
3 M 7
EI L
C
分配系数
0
4 M 7
杆端弯矩
以上计算是在这样的前提下实现的： ▲ 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。 ▲ 荷载是结点力矩。
关于多结点的问题、节间荷载的问题需要继续讨论。
§7-3
B A MAB MBA MB A MABP MBAP
单结点的力矩分配
小结：
1）结点受集中力偶M作用时，“不反号”分配，要注意与不 平衡力矩相区别。 2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载荷” 求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静定梁的 杆端内力表求得）。 3）对于对称结构，取半结构计算。 4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常宜从 不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
4、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。
(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。
§7-2
力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
力矩分配法：主要用于连续梁和无结 点线位移（侧移）刚架的计算。其特 点是不需要建立和解算联立方程组， 而在其计算简图上进行计算或列表进 行计算，就能直接求得各杆杆端弯矩。
i AB
A
EI=1 6m
B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 4.4 -0.7 0.4
EI=2 4m 4m
C 0.667 0.333 100 -66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
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S S
AB
S AC S AD S AE 12i
§7-2 力矩分配法的基本概念
回代求杆端弯矩：
M AB M AD SAB 4i 1 S AB A = M 0 = AB M 0 = M0 = M0 12i 3 S SAD 2i 1 S AD A = M 0 = AD M 0 = M0 = M0 12i 6 S SAE 6i 1 M 0 = AE M 0 = M0= M0 12i 2 S
§7-3 力矩分配法的基本运算
(4) 作弯矩图
167.13 115.74
A 158.56
B
力矩分配法的基本运算指的是单结点结构的力矩分配法计算。
(a) 200kN A EI
3m
20kN/m B
3m
M B 60kN m
B 150kN· m -90kN· m
EI
6m
C
M B 60kN m 20kN/m (b) 200kN A B
150 kN m 150 kN m 90 kN m
S
对于某一结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
1 1 1 ij 3 6 2 1
§7-2 力矩分配法的基本概念
3 传递系数
传递系数指的当近端有转角时(无线位移)，远端弯矩与近端 弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
(a) A θA i
MBA=0 B i
MAB=4iθA
MBA=2iθA B
§7-2 力矩分配法的基本概念
θA=1 A SAB i B
(a) SAB=4i，远端为固定端
θA=1 SAB
θA=1 SAB B i
B i
(b) SAB=3i，远端为铰支座
(c) SAB=i，远端为滑动支座
θA=1 SAB B i
(d) SAB=0，远端为滚轴支座
§7-2 力矩分配法的基本概念
2 分配系数
C
用位移法解图(a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动 约束，锁住B使之不能转动。其产生的反力矩MB等于各杆 端固端力矩的代数和，见图(b)。
§7-3 力矩分配法的基本运算
(c)
M B 60kN m
A
B
C
B
其次放松结点B，即在结点B加-MB，这是结构受结点力 矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图(c)。
第7章 渐近法
主要内容
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 §7-7 §7-8 概述 力矩分配法的基本概念 力矩分配法的基本运算 多结点无侧移结构的计算 力矩分配法和位移法的联合利用 对称性的利用 无剪力分配法 剪力分配法
§7-1 概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。 渐进法的理论基础是位移法，避免组成和解算典型方程，在图 表上流水作业，结果精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛 于精确解。 优点：概念简明，步骤单调，适合手算，在结构设计中被广泛 采用。 缺点：不适合电算，未知量较少时采用。
M BA 1 M AB 2
(b)
MAB=3iθA θA
M BA 0 M AB
§7-2 力矩分配法的基本概念
(c) MAB=iθA θA i MBA= -iθA B
M BA 1 M AB
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即
M BA CAB M AB
§7-3 力矩分配法的基本运算
S AB 4i S AC 0 S AD 2i S AC 6i
§7-2 力矩分配法的基本概念
平衡方程为：
M
A
0
M AB M AC M AD M AE M 0 ( S AB S AC S AD S AE ) A M 0 M0 M0 A S AB S AC S AD S AE S
§7-3 力矩分配法的基本运算
解： i
EI 6 (1) 求分配系数
S BA 4i S BC 3i 4 BA 0.571 7 3 BC 0.429 7
(2) 求固端弯矩
1 F M AB 200 6 150 kN m 8 1 F M BA 200 6 150 kN m 8 1 F M BC 20 62 90 kN m 8
§7-2 力矩分配法的基本概念
力矩分配法是H.Cross于1930年提出的适于计算连续梁和无侧
移刚架的一种实用方便、快捷的计算方法。该法是逐步逼近(对 多结点力矩分配而言)精确解的计算方法，是渐近法，不是近似 法。
1 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端产生 单位转角(无线位移)时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各 图(施力端为近端 ，另一端为远端)。
AB AD
S AB 1 S 3 S AD 1 S 6 S AE 1 S 2 S AC 0 S
M AE =S AE A M AC 0
AE
AC
§7-2 力矩分配法的基本概念
由上μ 称为分配系数，某杆的分配系数μ等于该杆 的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和的比值 Sij ，即 ij
§7-3 力矩分配法的基本运算
结点B约束力矩为：
M B (150 90) 60kN m
结点B分配力矩为：
M B 60kN m
(3) 运算格式
分配系数 固端弯矩 分配传递 杆端弯矩 A -150 -17.13 -167.13 BA 0.571 150 -34.26 115.74 BC 0.429 -90 -25.74 -115.74 0 0 C
(a) E 2i B i i A M0 2i D
用位移法求解图示结构，未知 量为θA 。 杆端弯矩表达式：
(b)
MAE MAD
MAB
A MAC
C
M AB S AB A 4i A M AC S AC A =0 M AD =S AD A 2i A M AE S AE A =6i A