《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思

交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

四、课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图：

1．平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ

⋅

F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个

=s

cos

⋅

向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。

2．平面向量数量积（内积）的定义

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.

并规定0与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。

3. 两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

叫ａ与ｂ的夹角.

θcos b a b a ⋅=⋅，b a ⋅是记法，θcos b a ⋅是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当20πθ<

≤时，数量积为正数；当2πθ=时，数量积为零；当πθπ≤<2时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角θ的大小。当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 因此投影可正、可负，还可为零。 根据数量积的定义，向量b 在a 方向上的投影也可以写成a

b a ⋅ 注意向量a 在b 方向上的投影和向量b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。

5．向量的数量积的几何意义：

数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：和a θcos ⋅b 。此概念也以物体做功为基础给出。θcos ⋅b 是向量b 在a 的方向上的投影。

6．两个向量的数量积的性质：

设a 、b 为两个非零向量，则

(1) a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；

(2)当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||

(3)|a ⋅b | ≤ |a ||b |

(4)=θcos b

a b a ⋅⋅，其中θ为非零向量a 和b 的夹角。 例1. (1) 已知向量a ,b ，满足2=b ,a 与b 的夹角为060,则b 在a 上的投影为______

(2)若4=b ,6=⋅b a ,则a 在b 方向上投影为 _______

例2. 已知3=a ，4=b ，按下列条件求b a ⋅

(1)b a // (2)b a ⊥ (3) a 与b 的夹角为 0150

7. 平面向量数量积的运算律

1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a

证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ

∴a ⋅ b = b ⋅ a

2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )

证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，

若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b )

=λ|a ||b |cos θ，

a ⋅(λ

b ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.

3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c

在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2

∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.

解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ①

(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ②

两式相减：2a ⋅b = b 2

代入①或②得：a 2 = b 2

设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2

1222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒