数学：指数函数教案五苏教版必修

２．２．２ 指数函数（３） 宿迁市马陵中学 范金泉 教学目标：

进一步理解指数函数及其性质，能运用指数函数模型，解决实际问题．

教学重点：

用指数函数模型解决实际问题．

教学难点：

指数函数模型的建构．

教学过程：

一、情境创设

１．某工厂今年的年产值为a 万元，为了增加产值，今年增加了新产品的研发，预计从明年起，年产值每年递增１５%，则明年的产值为 万元，后年的产值为 万元．若设x 年后实现产值翻两番，则得方程 ．

二、数学建构

指数函数是常见的数学模型，也是重要的数学模型，常见于工农业生产，环境治理以及投资理财等． 递增的常见模型为y ＝（１＋p %）x （p ＞0）；递减的常见模型则为y ＝（１—p %）x （p ＞0）．

三、数学应用

例１ 某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的8４%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．

例２ 某医药研究所开发一种新药，据检测：如果

成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y （微克），与服药后的

A (1，8) y O t

B (7，1)

C

时间t（小时）之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝ka t的图象．试根据图象，求出函数y＝f（t）的解析式．

例３某位公民按定期三年，年利率为２．70%的方式把５000元存入银行．问三年后这位公民所得利息是多少元？

例４某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元．

（１）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

（２）如果存入本金１000元，每期利率为２．２５%，试计算５期后的本利和．

（复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息方法）

小结：银行存款往往采用单利计算方式，而分期付款、按揭则采用复利计算．这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力，同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存期不一样，故需要采用复利计算方式．比如“本金为a元，每期还b元，每期利率为r”，第一期还款时本息和应为a （１＋p%），还款后余额为a（１＋p%）—b，第二次还款时本息为（a（１＋p%）—b）（１＋p%），再还款后余额为（a（１＋p%）—b）（１＋p%）—b＝a（１＋p%）２—b（１＋p%）—b，……，第n 次还款后余额为a（１＋p%）n—b（１＋p%）n１—b（１＋p%）n２—……—b．这就是复利计算方式．例５２000～２0，我国国内生产总值年平均增长7．8%左右．按照这个增长速度，画出从２000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到我国年国内生产总值约为２000年的多少倍（结果取整数）．

练习：

１．（１）一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；（２）一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个，计划从今年开始的m年内，每年生

产此种规格电子元件的产量比上一年下降p%，试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式．

２．某种细菌在培养过程中，每２0分钟分裂一次（一个分裂为两个），经３小时后，这种细菌可由１个分裂成个．

３．我国工农业总产值计划从２000年到翻两番，设平均每年增长率为x，则得方程．

四、小结：

１．指数函数模型的建立；

２．单利与复利；

３．用图象近似求解．

五、作业：

课本P５５—３，１0．