高等数学笔记系统

前言笔记规则== —— 表示定义—— 收敛 —— 发散所感所悟平时要适当练习，不然复习周鸭梨很大！平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理。

如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订。

考试技巧考试做完题最重要的是...再把题读一遍，确保没有读错题的。

（读题时用气声，不要陷入惯性思维不能发现错误！）第一章 函数与极限初等函数==由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数。

定理（个人成果） 设()f x 、()g x 是初等函数，则在()f x 、()g x 的公共定义域内，0000(),1()[()()(()())](),2f x x x x x h x f xg x f x g x g x x x x x >⎧-==++-⎨<-⎩也是初等函数。

其中x x x x --称为定界系数。

注意：显然该函数存在断点！最值函数==1Max(A,B)=(A B )21Min(A,B)=(A B )2A B A B ⎧++-⎪⎪⎨⎪+--⎪⎩ 三角函数定理22cos 2222sin 22tan sec 1sin cos 1cot csc 1x x x x x x x x ÷÷⎧−−−→=-⎪+=⎨−−−→=-⎪⎩指数函数极限原则()()()()g x bf x a f x ag x b →⎫⇒→⎬→⎭隐蔽的函数关系(1I n (1)I n (1)x x -=-⇒+=-+ 第二章 导数与微分第三章 微分中值定理与导数应用 第四章 不定积分'[arc ]'d xarcd xcos x21x- cos x1第五章 定积分三角积分说明：n m Z ∈、三角积分1 原理：循环区间内积分为0 cos d sin d 0nx x nx x ππππ--==⎰⎰三角积分2 原理：奇偶函数之积c o s s i nd 0m xn x x ππ-=⎰三角积分3 原理：积化和差后，利用三角积分1证明：0,cos scos d sin ssin d ,m nmx nx x mx nx x m n πππππ--≠⎧==⎨=⎩⎰⎰ 三角积分4 原理：与三角积分3相似，积化和差后，利用三角积分1证明：0,cos scos d sin ssin d ,m nmx nx x mx nx x m n πππ≠⎧==⎨=⎩⎰⎰三角积分5 原理：利用分部积分法求出递推关系220cos d sin d 0n I nx x nx x ππ===⎰⎰21n n n I I n --= 0134212531331n 24222n n n n n I n n I n n ππ--⎧⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅=⎪-⎩（n 为奇数）（为偶数）,第六章 定积分的应用极坐标扇形面积21[()]d 2A βαϕθθ=⎰旋转体体积2[()]d ba V f x πθ=⎰曲线弧长第七章 微分方程微分方程基本概念微分方程==未知函数及其导数的关系式。

微分方程的阶==微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

微分方程的解==能使微分方程恒成立的函数。

微分方程的通解==含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解。

微分方程的特解==确定了通解中的常数后的解。

可分离变量微分方程可分离变量的微分方程==形式：()()g x dy f x dx = （隐式）通解==()()G x F x c =+解法分离函数变量→两端积分→（解出y ）齐次方程齐次方程==能化成()dy ydx xϕ=的微分方程。

解法()()()()dy dy y ux u x dx dxdy y du du dx du dx u x u dx x dx u u x u u xϕϕϕϕ=→=+=→+=→=→=--⎰⎰代入yu x =即可。

一阶线性微分方程一阶非齐次线性方程==形式：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x =则为一阶齐次线性方程。

解法一阶齐次线性方程分离变量：()dyP x dx y=- 两端积分：1In ()d y P x x C =-+⎰化简 ：1()d e (e )P x xc y C c -⎰==±一阶非齐次线性方程常数变易法：()d ()d e (()e d )P x x P x xy Q x x C -⎰⎰=+⎰注意 第一个指数积分有负号！可降价的高阶微分方程高阶微分方程==二阶及以上的微分方程。

解法()()n y f x =型连续积分n 次即可。

(,)y f x y '''=型将y '看作y ，遂降级为一阶微分方程。

(,)y f y y '''=型将y 看作自变量，y '为因变量，d d y y y y''''=为一阶导数与因变量之积，化为一阶微分方程。

求出y 、y '的关系后，再将y 作因变量求解。

高阶线性微分方程二阶齐次线性方程==形式：()()0y P x y Q x y '''++=定理齐次、非齐次解的关系齐通=1C 奇特+2C 奇特（两个奇特须线性无关） 非齐通=齐通+非齐特→齐通=非齐通-非齐特 非奇特=奇特+非齐特→奇特=非齐特-非齐特 应用 由3个线性无关的非齐特可求出非齐通：1132233(()(y ))y C y y C y y =-+-+非齐特奇特奇特齐通非齐通线性组合定理如果函数1()y x 与2()y x 是二阶齐次线性微分方程的解，那么1122()()y C y x C y x =+也是该方程的解。

（其中1C 、2C 为任意常数）即，n 阶齐次方程只须获得n 个特解（线性无关）即可求出其通解。

和函数定理若非齐次线性方程右端()f x 为两函数之和，即12()()()()y P x y Q x y f x f x '''++=+而*1()y x 、*2()y x 分别为方程1()()()y P x y Q x y f x '''++=与 2()()()y P x y Q x y f x '''++=的特解，那么**12()()y x y x +是原方程的特解。

常系数齐次微分方程二阶常系数齐次线性微分方程== 0y py qy '''++=解法解的形式：e rx y =代入得 ：2()e 0rx r pr q ++=第一步特征方程：20r pr q ++=第二步求解特征方程第三步1r 、2r 是两个不相等实根：1212e e r x r x y C C =+1r 、2r 是两个相等实根 ：112()e r x y C C x =+1r 、2r 是两个共轭复根 ：12e (cos()sin())x y C x C x αββ=+常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程==()y py y f x '''++= 求解方法：求出齐次方程的通解即非齐次方程的特解即可求特解方法()e ()x m f x P x λ=型*()e k x m y x Q x λ=令=0k ，将*y 代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。

其中按照λ是否为特征根方程的解决定k 值：20p y λλ++≠时：k =02=0p y λλ++、2+0p λ≠时：k =1 2=0p y λλ++、2+=0p λ时：k =2()e [()cos ()sin ]x l n f x P x x P x x λωω=+型 *e [()cos ()sin ]k x l n y x R x x R x x λωω=+令=0k ，将*y 代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。

根据+i λω不是、是特征方程的单根依次取0、1第八章 空间几何向量及其线性运算向量概念==有方向、有大小的量 单位向量==模=1的向量 零向量==模=0的向量 向量a 、b 夹角记作：()a,b 向量平行==向量共线定理：≠0a ⇔b //a 存在唯一实数λ，使=λb a 四象、八卦方向角与方向余弦方向角==非零向量r 与3条坐标轴夹角αβγ、、称为向量r 的方向角。

方向余弦==方向角的余弦(cos ,cos cos )αβγ=,222cos cos cos 1αβγ+=+向量的投影向量在平面的投影==是其投影向量的模长（是一个数而非向量！）r 在平面u 上的投影记作Pr j u r 或()u r r性质1：()=cos u r r r ϕ 性质2：()()()u u u a b a b +=+ 性质3：()()u u a a λλ=数量积、向量积、混合积 数量积（点积、内积）满足交换律、分配率、数与向量的结合律向量积（叉积、外积）sin a b a b θ⨯=，结果为向量，方向垂直于原向量所在平面，与原向量按顺序满足右手规则。

a b ⨯xy z xyzij k =a a a b b b满足变号交换律、分配率、数与向量的结合律混合积[]()=⨯⋅x y z x y z x y z a a aabc a b c=b b bc c c表示平行六面体体积，可以用于判定3向量或4点共面。

曲面及其方程旋转曲面旋转曲面==一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面。

旋转轴==以上特定直线。

柱面柱面==平行直线l沿特定轨迹C移动所形成的轨迹。

准线==以上C。

母线==以上l。

二次曲面二次曲面==经验 z 正为球面，否则有常数y 正为单叶，y 负为双叶；无常数有二次项为圆锥，有一次项为抛物面，y 正为椭圆，y 负为双曲。

空间曲线及其方程 空间曲线一般方程(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ 空间曲线参数方程()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩螺线cos sin x a t y b t z vt ωω=⎧⎪=⎨⎪=⎩空间曲线在坐标面上的投影以在z 轴投影为例，将曲线方程消去变量z 后与z=0联立即可。

平面与直线 方程说明为直线l 的方向向量。

夹角定理cos(,)⋅=a ba b a b应用：二面角（余弦）、线面角（正弦）、线线角（余弦）影长定理1MM sd s⋅=d 表示1MM 在直s 上的投影。

应用 平行面距离、异面直线距离。

射长定理 [FYH]1MM s d s⨯=d 表示1MM 在S 垂直的平面上的投影。

线面关系直线一般式转化为对称式直线一般式的两个平面的法向量叉乘即得直线的方向向量啦！ 注意 前后两项都是“\”为正对角线，中间一个是“/”为正对角线！直线、平面的平行、垂直直线夹角、面面夹角1212s s cos =s s θ⋅⋅、1212s s cos =s s θ⋅⋅线面夹角1212s s sin =s s θ⋅⋅点到直线距离1MM d ⨯==s s点、线、面到面距离1MM d ⋅=nn判断两面平行与重合平行：11112222A B C D ==A B D D ≠ 重合：11112222A B C D ===A B D D求异面直线的距离()()121212d s s M M s s ⨯⨯=⨯射长定理的应用！判断二直线、三向量或四点共面说明 本方法是“求异面直线的距离”的特殊形式。