理论力学第三章
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该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 .
空间平行力系的平衡方程
F 0 M
z
x
0
M
y
0
2.空间约束类型举例
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m M y M iy M 2 80 N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
MO (F , F ) (rA rB ) F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
FOA sin 45 P 0
FOA 1414 N FOB FOC 707 N（拉）
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
wenku.baidu.com
r xi yj zk
0 .8 P1 0 .6 P 1 .2 FB 0 .6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例3-9 F 2 F , 30 , 60 , 各尺寸如图 F 2000 N , 2 1 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力 解：研究对象，曲轴
合力.合力作用线距简化 中心为 d M O FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和.
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR MO
—有效推进力 —有效升力 —侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
MOx —滚转力矩 M Oy —偏航力矩 MOz —俯仰力矩
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果） （1） 合力 过简化中心合力 0, MO 0 FR
0, MO 0, FR MO FR
FR
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即
FR 0
F
x
0
F
y
0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
3.空间力系平衡问题举例
例3-7 已知：正方体上作用两个力偶
CD
(F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
A2 E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
解：两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图b 以矢量表示力偶，如图c
FBx 3348 N , FBz 1799 N ,
例3-10 已知：Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0 .36 F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
M F 0
y
M F 0
z
D F R F2 F1 0 2
( F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
F1 3000 N , F2 6000 N ,
FAx 1004 N , FAz 9397 N ,
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
例3-1 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
F 0 F 0
x
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1 .5 N
FAz FBz 2.5N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体，受力图如图所示.
Mx 0
Mz 0
F2 400 FAz 800 0
x
M
0
M 1 M 3 cos 45 0
M
0 M M sin 45 0 y 2 3
M1 M 2
设正方体边长为a
有
,有
M1 F1 a M 2 F2 a
F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB 2 F1 F2
杆 A1 A2 受拉， B1B2受压。
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z
M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z ( F ) Fy x Fx y
列平衡方程
F
F sin 30 F sin 60 F Ax FBx 0 Fx 0 1 2
y
0
00
M F 0
x
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
一个合力偶，此时与简化中心无关。
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
（4）平衡
0, MO 0 FR
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
解：把力 F 分解如图
Mx F
F l a cos Fl cos
My F
M z F F l a sin
§3–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
第 三 章 空 间 力 系
§3–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量
力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 例3-8 （不讲） 求： A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车 列平衡方程
F
z
0
P P1 FA FB FD 0
M F 0 M F 0
x
y
0.2 P1 1.2 P 2 FD 0
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔 所受切削力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
F cos( F , i )
R x
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F )
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
例3-2
已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin F y Fxy cos Fn cos cos
例3-3 已知： F , l , a ,
求： M x F , M y F , M z F
Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
FRx FRy FRz
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 .
空间平行力系的平衡方程
F 0 M
z
x
0
M
y
0
2.空间约束类型举例
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m M y M iy M 2 80 N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
MO (F , F ) (rA rB ) F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
FOA sin 45 P 0
FOA 1414 N FOB FOC 707 N（拉）
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
wenku.baidu.com
r xi yj zk
0 .8 P1 0 .6 P 1 .2 FB 0 .6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例3-9 F 2 F , 30 , 60 , 各尺寸如图 F 2000 N , 2 1 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力 解：研究对象，曲轴
合力.合力作用线距简化 中心为 d M O FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和.
（2）合力偶
FR 0, MO 0
（3）力螺旋
FR 0, MO 0, FR MO
—有效推进力 —有效升力 —侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
MOx —滚转力矩 M Oy —偏航力矩 MOz —俯仰力矩
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果） （1） 合力 过简化中心合力 0, MO 0 FR
0, MO 0, FR MO FR
FR
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即
FR 0
F
x
0
F
y
0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
3.空间力系平衡问题举例
例3-7 已知：正方体上作用两个力偶
CD
(F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
A2 E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
解：两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图b 以矢量表示力偶，如图c
FBx 3348 N , FBz 1799 N ,
例3-10 已知：Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0 .36 F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
M F 0
y
M F 0
z
D F R F2 F1 0 2
( F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
F1 3000 N , F2 6000 N ,
FAx 1004 N , FAz 9397 N ,
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
例3-1 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
F 0 F 0
x
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1 .5 N
FAz FBz 2.5N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体，受力图如图所示.
Mx 0
Mz 0
F2 400 FAz 800 0
x
M
0
M 1 M 3 cos 45 0
M
0 M M sin 45 0 y 2 3
M1 M 2
设正方体边长为a
有
,有
M1 F1 a M 2 F2 a
F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB 2 F1 F2
杆 A1 A2 受拉， B1B2受压。
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z
M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z ( F ) Fy x Fx y
列平衡方程
F
F sin 30 F sin 60 F Ax FBx 0 Fx 0 1 2
y
0
00
M F 0
x
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
一个合力偶，此时与简化中心无关。
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
（4）平衡
0, MO 0 FR
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：
解：把力 F 分解如图
Mx F
F l a cos Fl cos
My F
M z F F l a sin
§3–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
第 三 章 空 间 力 系
§3–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量
力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 例3-8 （不讲） 求： A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车 列平衡方程
F
z
0
P P1 FA FB FD 0
M F 0 M F 0
x
y
0.2 P1 1.2 P 2 FD 0
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔 所受切削力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
F cos( F , i )
R x
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F )
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
例3-2
已知：Fn , ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin F y Fxy cos Fn cos cos
例3-3 已知： F , l , a ,
求： M x F , M y F , M z F
Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
FRx FRy FRz