第2课时 对数的运算

第2课时 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga ＝logaM－logaN，(3)lΒιβλιοθήκη gaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 对数换底公式
logab＝ (a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)．
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64
＝ ÷2log62
＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.
14．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
【答案】(1)B(2)－1(3)见解析
(1)用对数运算性质把所求式化为用lg2和lg3表示的形式．
(2)用对数的运算性质求解．
(3)注意对数运算性质loga1＝0的综合应用．
方法归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
③64 ＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.
【答案】(1)D(2)见解析
1．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(4)由换底公式可得logab＝ .()
答案：(1)√(2)×(3)×(4)×
2．下列等式成立的是()
A．log2(8－4)＝log28－log24B. ＝log2
C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24
解析：由对数的运算性质易知C正确．
答案：C
3. 的值为()
A. B．2
A. B.
C. D.
解析： ＝ ＝ ＝ .
答案：C
4．若log34·log8m＝log416，则m等于()
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为log8m＝ ， ＝ ，
即lgm＝ ，lgm＝lg 27，m＝27.故选D.
答案：D
5．若lgx＝m，lgy＝n，则lg －lg 2的值为()
A. m－2n－2 B. m－2n－1
A．a＝b＋9 B．a－b＝1
C．a＝9bD．a÷b＝1
解析：由9a＝45得a＝log945＝log99＋log95＝1＋b，即a－b＝1.
答案：B
12．设4a＝5b＝m，且 ＋ ＝1，则m＝________.
解析：由4a＝5b＝m，得a＝log4m，b＝log5m，
所以logm4＝ ，logm5＝ ，
(2)原式＝ · ＝ · ＝ × log32＝ .
答案：(1)C(2)B
利用换底公式化简求值．
类型三 用已知对数表示其他对数
例3已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
解析：方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
答案：4－3
7．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，
得 · · ＝2，
lgx＝－2lg 5，x＝5－2＝ .
答案：
8. ·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝ ×lg ＝ ·lg 24＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
特别地：logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即 ＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝± .
又a＞0，所以a＝ .
(2)①log89·log2732＝ ·
＝ · ＝ · ＝ .
②2lg 4＋lg 5－lg 8－ ＝lg 16＋lg 5－lg 8－ ＝lg － ＝1－ ＝ .
9．化简：(1) ；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋ log25.
解析：(1)方法一(正用公式)：
原式＝
＝ ＝ .
方法二(逆用公式)：
原式＝
＝ ＝ .
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2log2 ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2 ＝1＋2 .
C. m－2n＋1 D. m－2n＋2
解析：因为lgx＝m，lgy＝n，所以lg －lg 2＝ lgx－2lgy＋2＝ m－2n＋2.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
10．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析：(1)log1627log8132＝ ×
＝ × ＝ × ＝ .
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝ log32× log23＝ × × ＝ .
[
11．设9a＝45，log95＝b，则()
C. D.
解析：原式＝log39＝2.
答案：B
4．计算2log510＋log50.25的值为________．
解析：原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2.
答案：2
类型一 对数运算性质的应用
例1(1)若lg 2＝a，lg 3＝b，则 ＝()
又因为log2×1818＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以原式＝ .
方法二∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．
方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
跟踪训练1求下列各式的值：
(1)log318－log36；(2)log 3＋2log 2；
(3)log2 ＋log2 ；(4) .
解析：(1)原式＝log3 ＝log33＝1.
(2)原式＝log 3＋log 4＝log 12＝－1.
(3)原式＝log2[ ]
＝log2 ＝log2 ＝log24＝2.
A. B.
C. D.
(2)计算：lg ＋2lg 2－ －1＝________；
(3)求下列各式的值．
①log53＋log5 ；②(lg 5)2＋lg 2·lg 50；③lg 25＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【解析】(1) ＝ ＝ ＝ .
(2)lg ＋2lg 2－ －1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528；
②设3x＝4y＝36，求 ＋ 的值．
解析：(1)lg 5＝ ＝ ＝ .
(2)①∵log147＝a,14b＝5，
∴b＝log145.
∴log3528＝ ＝ ＝ ＝ .
②∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴ ＝ ＝ ＝log363，
＝ ＝ ＝log364，
∴ ＋ ＝2log363＋log364
＝log36(9×4)＝1.
答案：(1) (2)① ②1,
(2)logNnMm＝ logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的 倍．
[
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()
(2)loga(xy)＝logax·logay.()
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()
(3)①log53＋log5 ＝log5 ＝log51＝0.