度量空间的进一步例子

o
2 ，即S按 d x, y 成一度量空间。 由此立即可知d x, y满足距离条件 例 3 有界函数空间B(A) 设A是一给定的集合，令B(A) 表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两 x,y，定义 d ( x, y) sup x(t ) y(t )
tA
下面验证d x, y 满足条件
2
n 2 2 yk xk y k xk k 1 k 1 k 1
2 xk y k xk2 2 xk y k y k2 k 1 k 1 k 1 1 2 k 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x k 2 x k . y k y k x k y k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 2
x(t ) y (t )，所以
x y
1 0 和 2 o 。 d x, y
0
显然是非负的。又
d ( x, y) 0
等价于对一切t A ，成立
d x, y 满足条件 1 ，此外，对所有的 t A 成立 ，即
x(t ) y(t ) x(t ) z (t ) z (t ) y(t ) sup x(t ) z (t ) sup z (t ) y(t )
d ( x, y ) max x(t ) y (t )
a t b
容易验证它满足距离条件 1 和 2 例6 l x x l , y y l l x x x 记 ，定义 d ( x, y ) y x l 则d是 的距离。距离条件 1 是容易得出的，现检验条件 2 对任何正整数n， x x , x ,x 和 y y , y ,, y 都是 R 中的元素，由Cauchy 不等式 x y x y
a a 1 b b 1
1 a b
a 令 z 1 , 2 , , n , ，
i
源自文库
i
，b
i
i
则
a b i i
，代入上面不等式，得
i i i i i i 1 i i 1 i i 1 i i
o
m( X ) 为X上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m为Lebesgue 测度，若m( X ) ， 设 ) g (t )，由于 对任意两个可测函数 f (t及
f (t ) g (t )
所以这是X上的可积函数，令
d ( f , g)
X
1 f (t ) g (t )
1
f (t ) g (t ) 1 f (t ) g (t )
i
dt
) m( X )中的同一个元，那么利用不等式 1及积分性 如果把m( X中的两个几乎处处相等的函数视为 i m( X ) d ( f , g 成为度量空间。 ) 质很容易验证 d ( f , g )是距离。因此 按上述距离 Ca, b 例5 空间 a a,0b 上的实值（或复值）连续函数全体，对 Cm , b C x, y ，定义 Na, b中任意两点 mN 令 表示闭区间
n
从一些具体的空间实例中加深对基本概念的理解。 教材分析： （一） 教学重点：离散度量空间，序列空间，有界空间，可测函数空间， 的性质。 （二） 教学难点：序列空间，有界函数空间
课
型： 新授课
教学方法： 讲解法

教学过程： 复习引入： （1）复习第二章n维欧氏空间中的邻域，开集、闭集、极限等相应概念。 （2） 今天学习的度量空间与 n维欧氏空间有什么样子的区别和联系呢？进而 举例说明常用的几种不同度量空间。 讲解新课： 例 1 离散的度量空间 设X是任意的非空集合，对X中任意两点 x, y X ，令 容易验证 d x, y 满足第二章中关于举例的定义中的条件 1 及2 。我们称X .d 为离散的估量空间。 由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离。使它成为度量空间。 d 例 2 序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点 x , , 及 y , , , ，令 1 d x, y 2 1
0
o
2
2

k
k 1
2 k
2
2
k
k

2
1 2
k 1
0
k
k
2
o
n
n
1
2
n
1
2
n
n
n
2
n
k 1
k
k

k 1
2 k
n
k 1
2 k
再令右端n ，即得 再令左端的 n 即得 由此可得

n 2 2 yk xk yk xk k 1 k 1 k 1
第一节 度量空间的进一步例 子
学校： 西华师范大学 院系：数学与信息学院 姓名：孔彪 指导教师 ：何中全
教学目标： （一） 知识与技能目标： 1 把在第二章的维欧氏空间中学习过的邻域、极限、开集、 闭集等相应概念转移到度量空间中来。 2 引入更多的度量空间的例子和泛函分析中的证明思想。 （二） 过程与方法目标：
1 b
事实上，我们考察 0, ) 上的函数
f (t )
由于在 0, )上， ab ab 到
1 a b
f , (t )
1 0 (1 t 2 )
t 1 t
1 a b

a 1 a b

b
所以 f (t )在 0, ) 上单调增加，由不等式 a b a b ，我们得
tA tA
所以
sup x(t ) y(t ) sup x(t ) y(t ) sup z (t ) y(t )
tA tA tA
d x, y 满足条件 2 ，特别的，当A a, b 时，记 B(A) 为 Ba, b . 即 例 4 可测函数空间 m( X )
0 o
1, x y d x, y 0, x y
1
2
n
1
2
n

i
i
i 1
i
i
i
易知 d x, y 满足距离条件 1 ，下面验证d x, y满足距离条件 2 。为此我们首先证明对任意两个 ab a b 复数 a 和 b，成立不等式
0 o
1 a b
1 a
2
X
.
令取 , , . 。以
k k k
xk k k , y k k k
代入上式，即可得
, ,
的三点不等式
d ( , ) d ( , ) d ( , )
由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 R n 之外，还包括其他的空间