完整word版点集拓扑讲义紧致性学习笔记

紧致性第7章

7.1 紧致空间§

本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．

是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．

中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．

的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff

不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1

AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn

由于它的并为{ },

})

(-max{},max{ 1

A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是

的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X

的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的．

的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间X

A}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此

A的有限子族覆盖Y{},于是．

充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由Y

A}是由X中的开集构成的A=∩Y．因此Y的一个使得开集

覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为

{}

A{此时易见的子族 Y｝覆盖Y．这证明是X的一个紧致子集．

下面介绍关于紧致性的一个等价说法．

页26 共** 页2 第

AA（即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族．如果

AA是一个具有有限交性的一个有限子族，则如果），则称是质

的集族．

中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间．则X定理7.1.2

每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间．用反证法．设X证明 :F≠限交性质的闭集族．设．如果

AF={ ，则令}．由于∈

AA{设为的一个开覆盖．是X于是有一个有限子覆盖，所以．}从而

F 不具有有限交性质．矛盾．这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证”，设“X AA有一个有限子的一个开覆盖．我们需要证明是X是一个紧致空间，设明X AA的的每一个子族都是以及=X，则，这蕴涵覆盖．如果X=AAF中的一个非空闭集族，并且便是覆盖．以下假定}．此时={|A∈≠X

设也就是说，它不具有有限交性质．它有一个有限子族其交为空集．因此，F，则的这个有限子族为{}

的一个有限子覆盖．是X 3

BB的一个覆盖当X的一个基，那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．

B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基，并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间．的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则B*A*A* 的一个子族X的一个开

覆盖．对于每一个A∈证明存在设是使得

令由于

B*的一个覆盖，所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的

设为盖，，i=1,2,…n，一,对于每，个

A* {} 于是对于的有限于族有

A*是一个紧致}也就是说．这证明有一个有限子覆盖{ X 空间．

A是一个连续映射．如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间，f:X→Y Y）是的一个紧致子集．AX是的一个紧致子集，则f（CC，C∈中的开集组成．它由）（是

证明设*fA的一个覆盖，Y对于每一个*）是（f由于是一个连续映射，CX

中的一个开集页26 共** 页4 第

CA的一个紧致子集，XA是*}所以是＝A{的一个开覆盖．(C)|C∈由于

A{有一个有限子族，设为}，覆盖A

所以

C的）是Y）．这证明f（}是A*的一个子族并且覆盖f（即{A 一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚由此可见，由于实数空间R 的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．

7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．定理A的一个覆盖，它由中的一个闭子集．如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子

1X 的一个开覆盖．设是X中的开集构成．则是AB的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y便是}是族并且覆盖X．则X1-{

的一个紧致子集．

每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．定理7.1.6

T)的元素．令是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}

TT∪{X*}*=∪

T}

)中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑．首先验证 (略)

5

T:

(X*,是一个紧致空间*)其次．证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖．则存在C ∈,使得∞∈C．于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖．于是,-{C}C*CC X*-C．易见1∪{C}是．的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间．这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集．因为