平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(古诺(Cournot)均衡、Bertrand与不完全竞争)

第9讲 古诺（Cournot ）均衡、Bertrand 与不完全竞争

1．考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场的需求由10p Q =-给出。这两家企业的成本函数分别为1142C Q =+，2233C Q =+。

（1）若两家企业串通追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？市场价格为多少？各自生产多少？各自利润多大？

（2）若两家企业追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润多大？市场价格多大？并给出各自的反应函数。

（3）若串通是非法的，但收购不违法。企业1会出多少钱收购企业2？

解：（1）若两家企业串通时，它们的目标是追求总利润的最大化，则总利润函数为：

()()()22

1211221112228277p Q Q C Q C Q Q Q Q Q Q Q π=+--=-+--+-

利润最大化的一阶条件为：

121

2820Q Q Q π

∂=-+-=∂ 212

2720Q Q Q π

∂=-+-=∂ 上述两式无解，说明两家企业串通后只由一家企业生产，不存在两家企业同时生产的情况。

根据两家企业的成本函数可得12MC =，23MC =。由于两家企业的边际成本为常数，且企业1的边际成本小于企业2的边际成本，所以串通后所有的产量全部由企业1提供，故20Q =。则总利润函数变为：

21187Q Q π=-+-

利润最大化的一阶条件为：

11

d 280d Q Q π

=-+=，解得14Q =。

因此两家企业串通后，总的产量水平为124Q Q Q =+=； 市场价格为106p Q =-=；

企业1的利润为21118412Q Q π=-+-=；企业2的利润为13π=-。 （2）由已知可得企业1的利润函数为：

()()211112184pQ C Q Q Q Q π=-=-+--

利润最大化的一阶条件为：

121

280Q Q Q π

∂=-+-=∂，得企业1的反应函数为： 1240.5Q Q =-

类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

213.50.5Q Q =-

联立两企业的反应函数可以解得古诺均衡时每家企业的产量为：13c Q =，22c Q =。 此时市场价格为105p Q =-=，两企业的利润分别为15π=，21π=。

（3）企业1对企业2的收购价格不会高于两种情况下的利润差，即1257p ≤-=。

2．一个垄断企业的平均成本和边际成本为5AC MC ==，市场的需求曲线函数为

53Q p =-。

（1）计算这个垄断企业利润最大化时的产量和市场价格，以及其最大化的利润。 （2）若又有第二个企业加入该市场，市场的需求不变。第二个企业生产成本和第一个企业相同，在古诺模型下，求各企业的反应曲线、市场价格、各企业的产量和利润。

（3）若有N 个企业加入该市场，市场的需求不变。这N 个企业生产成本和第一个企业都相同，在古诺模型下，求市场价格、各企业的产量和利润。

（4）当N 趋于很大时，市场价格有什么变化趋势？

解：（1）由市场需求函数可得反市场需求函数为53p Q =-，则垄断企业的利润函数为：

()()253548pQ C Q Q Q Q Q Q π=-=--⨯=-+

利润最大化的一阶条件为：

11

d 2480d Q Q π

=-+= 解得24Q =，于是5329p Q =-=，利润为248576Q Q π=-+=。

（2）若有第二个完全相同的企业进入市场，并且两个企业进行古诺竞争，那么给定企业2的产量2q ，企业1的利润最大化问题为：

111120

max 535q q q q q ≥⎡⎤---⎣⎦

目标函数式关于1q 求导，并令导函数等于零，就可以解得企业1的反应函数为：

21242

q q =-

类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

1

2242

q q =-

均衡时有i i q q =，从而解得1216c c q q ==，市场价格为21，两个企业的利润均为256。 （3）若市场上有（1N +）个相同的企业进行古诺竞争，记第i 个企业的产出为i q ，如果企业i 对其他企业的产量预测为j q ，j i ≠，那么它的利润最大化问题为：

0max 535i i i i j q j i q q q q ≥≠⎛⎫

---∑ ⎪⎝⎭

根据利润最大化问题的一阶条件解得企业i 的反应函数为（其中1i =，2，…，（1N +））：

1

242i j j i

q q ≠=-

∑ ① 均衡时，每个企业对其他企业的产量预测都等于其实际产量，即i i q q =，1i =，2，…，N ，又因为所有的企业都完全相同，所以均衡时，它们的产量也是相同的，那么①式就变

为：

()11

242

i i N q q +-=-

解得：482C i q N =

+，所以市场总需求为()()48112C i N N q N ++=+，市场价格为558

2

N N ++，单

个企业利润为2

482N ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

。

（4）558

lim

52

N N N →∞+=+，即当N 趋向于无穷时，市场价格趋向于5，这正好是完全竞争

市场的均衡价格。

3．在世界石油市场上，石油的需求

1/2160W p -=，非欧佩克的供给为S 克的净需求为D W S =－。

（1）试画出世界石油市场上石油的需求曲线、非欧佩克的供给曲线和欧佩克的需求曲线。为简单起见，设欧佩克的生产成本为零。在图中指出欧佩克的最优价格、欧佩克的最优产量，以及非欧佩克的产量。

（2）若非欧佩克国家石油储量资源开始枯竭，生产成本开始上升，各条曲线会如何移动？

（3）若石油消费国联合起来，形成买方垄断势力，这会对世界石油价格造成怎样的冲击？

答：（1）这是一个价格领导模型，这里欧佩克是价格领导者，非欧佩克的产油国是价格追随者，对于欧佩克而言，它面临的实际需求为世界总的石油需求减去非欧佩克产油国的供应量，即：

1212

311603

D P p -=-

① 所以欧佩克的利润最大化问题为：

()max p

pD p

即：

1232

31max1603

p

p p -