第一章 信号与系统分析讲解

系统分析的基本思想：
1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。 通常表现为描述输入－输出关系的方程。
2.建立求解这些数学模型的方法。
例：写出右图示电路的微分方程。
+L
解：根据KVL有
us(t)
uL (t) uR (t) uc (t) us (t) -
+
R
uc(t) C
-
i(t) Cuc (t)


'
(t

t1 )
(t
)dt


'
(t1 )
冲激函数导数的尺度变换性质
五、阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为

(k
)

1
0
k 0 k0
(k)
1 …
－ 2－ 1 0 1 2 3 4
k
单位阶跃序列
2. 单位脉冲序列
离散时间单位脉冲序列定义为
（2） sin(3πk/4) 和cos(0.5πk) 数字角频率分别为β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5πrad 其周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f2(k) 周期为N1和N2 的最小公倍数8。
小结：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不 一定是周期序列。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序 列之和一定是周期序列。
法二：
§1.4 阶跃函数和冲激函数
一、阶跃函数 二、冲激函数 三、冲激函数的性质 四、冲激函数的广义函数定义
阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函 数。 一、阶跃函数
选定一个函数γn(t)如图所示。
阶跃函数性质：
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)


2
)


(t


2
)
二、冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数：
直观定义：矩形脉冲pn(t) 。
高度无穷大，宽度无穷小，面积为 1的对称窄脉冲。
冲激函数与阶跃函数关系
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f’’(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有 关而且与它过去的历史状况有关，就称之为动态系 统。
2. 连续系统与离散系统
当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则 称其为连续系统。
当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号, 则称其为离散系统。
连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统。
(t t1)(t)dt (t1)
冲激偶信号 对冲激信号δ(t)求时间导数，得到一个新的奇
异信号，即冲激偶信号，其表示式为：
'(t) d (t)
′(t)
dt
冲激偶的广义函数定义
0
t

'(t) f (t)dt f '(0)
冲激函数高阶导数的广义函数定义：
第一章 信号与系统
1.1 绪言 1.2 信号的描述与分类 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃函数和冲激函数 1.5 系统的描述 1.6 LTI系统分析方法概述
§1.1 绪论
一、信号的概念 二、系统的概念
一、信号的概念 1. 消息 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息 通常把消息中有意义的内容称为信息。
＝sin


(k

m
2
)

sin


(k

mN )
式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。
小结： 当2π/ β为整数时，正弦序列周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为 N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周 期。1）f1(t) = sin2t + cos3t ；2）f2(t) = cos2t + sinπt 解：
离散信号：
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号， 也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如
f (t) = e t。
5．一维信号与多维信号 信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为
一维或多维函数。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
小结：两个周期信号f1(t)， f2(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之 比T1/T2为有理数，则其和信号f1(t)+f2 (t)仍然是周期信号，其周期 为T1和T2的最小公倍数。
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号，若是， 确定其周期。
解f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m =0,±1,±2,…
离散时间信号
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间 信号，简称离散信号。若幅值也离散就为数字信号。
相邻离散点间隔通常取等间隔T，离散信号可表示为 f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序 列，其中k称为序号。
注意：相邻离散点间隔可以 相等，也可不等。
或写为 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}
1. 确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或
规则信号，如正弦信号。
若信号在任意时刻的取值都具有不确定性，只能知 道它的统计特性，不能用确切的函数描述，这类信号 称为随机信号或不确定信号。
本课程只讨论确定信号。
f (t)
2
1 4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
确定信号与随机信号波形
2. 连续信号和离散信号
根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和 离散时间信号。
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为 连续时间信号，简称连续信号。
时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号。
例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 1）f1(k) = sin(2k)； 2）f2(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)。
解（1） sin(2k) 数字角频率为β1 = 2 rad；由于2π/ β1 =π为 无理数，故f1(k) = sin(2k)为非周期序列。
将f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则展开。
例：
对于离散信号，一般不作波形的尺度变换。
平移、反转、尺度变换相结合
三种运算次序可任意，但始终对时间t 进行。 例：已知f (t)，画出f (– 4 – 2t)。 法一：
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
门函数
下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
1
-/2 0 -/2
特点:宽度为，幅度为1。
1, g (t)
0,
| t |
2
| t |

2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)


(t
一、信号的描述 信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或位置 变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。
本课程讨论电信号---简称“信号”。
电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 信号描述方法（1）表示为时间的函数
（2）信号的图形表示--波形
“信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类
例：已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)
法一：①先平移f (t) → f (t +2), ②再反转f (t +2) → f (– t +2)
法二：①先反转 f (t) → f (– t) ②再平移f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
3. 尺度变换（横坐标展缩）

(k)

1 0
k 0 k 0
单位脉冲序列
δ((kk))性质：
f (k) (k) f (0) (k)
f (k) (k m) f (m) (k m)
ε(k()k与) δ(k)(关k)系：
f (k) (k) (k 1) (k)
k
(k) (n)
n
§1.5 系统的描述
一、系统的数学模型 二、系统的分类 三、系统的框图表示
一、系统的数学模型 数学模型:系统基本特性的数学抽象，是以数学表达
式来表征系统的特性。
描述连续系统的数学模型是微分方程，
描述离散系统的数学模型是差分方程。
二、系统分类
按数学模型的不同，系统可分为：
1. 即时系统与动态系统 即时系统指的是在任意时刻的响应(输出信号)仅决定 与该时刻的激励(输入信号)，而与它过去的历史状况 无关的系统。
1）sin2t角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公
倍数2π。
2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1=πs， T2= 2 s， T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
uR (t) Ri(t) RCuc (t)
uL (t) Li(t) LCuc(t)
利用以上各元件端电压与电流的关系可得：
uc(t)

R L
uc (t)

1 LC
uc (t)

1 LC
us (t)
三、系统的框图表示
6．因果信号与反因果信号
将t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t <0， f(t) =0] 称为因果信号或有始信号。 将t ≥0，f(t) =0的信号称为反因果信号。
§1.3 信号的基本运算
一、加、减法和乘法运算 二、信号的时间变换
一、信号的＋、－、×运算 两信号f1(·) 和f2 (·)的相+、－、×指同一时 刻
本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区 分。
3. 信号 信号是信息的载体，通过信号传递信息。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合
而成具有特定功能的整体。 信号与系统的关系：
系统的基本作用：对输入信号进行加工，将其 转换为所需要的输出信号
§1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述 二、信号的分类
三、冲激函数的广义函数定义
广义函数
选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一个广 义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值N[g(t), (t)]， g(t)
可以写成：

g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
冲激函数的广义函数定义
移位

(t)(t)dt (0)
两信号之值对应相加减乘。如
二、信号的时间变换
1. 反转 将f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f
(·)的反转或反折。
2. 平移
将f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为对信号 f (·)的平移或移位。
例：
平移与反转相结合
将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每 隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信 号。 连续周期信号f(t) ：
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)：
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为 （1）信号的能量
（2）信号的功率
若信号f (t)的能量有界，即E <∞ ,则称其为能量有 限信号，简称能量信号。此时P = 0
若信号f (t)的功率有界，即P <∞ ,则称其为功率有 限信号，简称功率信号。此时E = ∞
四、冲激函数的性质
1. 冲激函数与普通函数f(t) 的乘积——取样性质
若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则有：
例：
2. 冲激函数的尺度变换 推论：
3. 冲激函数导数的性质

'(t) f (t)dt f '(0)
例：

δ'(t)dt 0
-
冲激函数导数的移位性质