同济大学(高等数学)第四篇无穷级数

第四篇 无穷级数

第七章 无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节 常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

ΛΛ,,,,,321n u u u u

则由这数列构成的表达式

ΛΛ+++++n u u u u 321

叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为∑∞

=1

n n u , 即

3211

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞

=n n n u u u u u ,

其中第n 项n u 叫做级数的一般项.

作级数∑∞

=1n n u 的前n 项和

n n

i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211

称为级数∑∞

=1

n n u 的部分和. 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列

11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…，

12...n n s u u u =+++，…

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义 如果级数∑∞

=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim , 则称无穷级数∑∞

=1

n n

u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成

ΛΛ 3211

+++++==∑∞

=n n n u u u u u s ;

如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散.

当级数∑∞

=1

n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞

=1

n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值

12n n n n r s s u u ++=-=++L

叫做级数∑∞

=1n n u 的余项.

例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞

=0

(a ≠0)的敛散性.

解 如果1≠q , 则部分和

q

aq q a q aq a aq

aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 1

2. 当1

=0

收敛, 其和为

q a -1.

当1>q 时, 因为∞=∞

→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

发散.

如果1=q , 则当1=q 时, n s na =→∞ , 因此级数n n aq ∑∞

=0

发散;

当1-=q 时, 级数n n aq ∑∞

=0

成为

Λ+-+-a a a a ,

因为n s 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以n s 的极限不存在, 从而这时级数

n n aq ∑∞

=0

发散.

综上所述, 如果1

n aq ∑∞

=0收敛, 其和为q a -1; 如果1≥q , 则级数n n aq ∑∞

=0

发散.

例2 判别无穷级数∑∞

=+1

)1

1ln(n n 的收敛性. 解 由于

n n n

u n ln )1(ln )1

1ln(-+=+=,

因此

)1(ln )ln )1(ln( )ln3ln4()ln2ln3()1ln 2(ln +=-++⋅⋅⋅+-+-+-=n n n s n ,

而 ∞=∞

→n n S lim ，故该级数发散.

例3 判别无穷级数∑∞

=+1)

1(1n n n 的收敛性. 解 因为

1

11)1(1+-=+=

n n n n u n , 所以

)

1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n

1

11)111( )3121()211(+-=+-

+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而

1)111(lim lim =+-=∞

→∞→n s n n n ,

所以这级数收敛, 它的和是1.

1.2 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.

性质1如果级数∑∞

=1

n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞

=1

n n ku 也

收敛, 且其和为ks .

证明 设∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n ku 的部分和分别为n s 与n σ, 则

) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞

→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞

→∞

→lim ) (lim 21,

这表明级数∑∞

=1

n n ku 收敛, 且和为ks .

性质2 如果级数∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1

n n n v u ±∑∞

=也收敛, 且其和

为σ±s .

证明 如果∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 、)(1

n n n v u ±∑∞

=的部分和分别为n s 、n σ、n τ， 则

)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞

→τ

)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞

→

σσ±=±=∞

→s s n n n )(lim .

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数

)

1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的;