整式的除法基础知识讲解

.整式的除法（基础）知识讲解

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整式的除法（基础）

【学习目标】

1.会用同底数幕的除法性质进行计算.

2.会进行单项式除以单项式的计算.

3.会进行多项式除以单项式的计算.

【要点梳理】

要点一、同底数幕的除法法则

同底数幕相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（a工0, m n都是正整数，

并且m n）

要点诠释：（1 ）同底数幕乘法与同底数幕的除法是互逆运算

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

（3）当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质

（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式

要点二、零指数幕

任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a0 1（a工0）

要点诠释：底数a不能为0, 0°无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.

因此常数项也叫0次单项式.

要点三、单项式除以单项式法则

单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式.

要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幕相除；③只在被除式

里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幕的除法的组合，单项式

除以单项式的结果仍为单项式

要点四、多项式除以单项式法则

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即am bm cm m am m bm m cm m a b c

要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，

其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.

（2 ）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.

【典型例题】

类型一、同底数幕的除法

仇计算：

5

3

(1)X 8 x 3 ； (2) (a)3 a ； (3) (2xy)5 (2xy)2 ； (4)

3

3

【思路点拨】 利用同底数幕相除的法则计算. (2)、(4)两小题要注意符号

【答案与解析】

3

3 1

2

(2) ( a) a a a .

(3)

(2xy)5 (2xy)2

(2xy)5 2 (2xy)3

3 3

8x y

,5 ,3

,5 3

,2

1

(4)

1 1 1 1

3 3 3 3

9 ?

【总结升华】(1)运用法则进行计算的关键是看底数是否相同. 括它前面的符号

类型二、单项式除以单项式

(1) 3 4 2

(4x y )

(2x 2 ! 2 y )

2

;

(2)

2m 1 3 n 7

m

2 m i n 3

x y z x y

x y z ;

3

(3) [(x y)(x y)]

2 (x y)2 (x y)；

(4) [12(a b)2

(b c)] [4( a b)(b c)]

2 2m 1 m m 3n

n 7

3、

1 1

- (x x x )(y y y )(z z)

3 2n 1

4

xy z . 2

2

2

(3) [(x y)(x y)] (x y) (x y)

解：(1)x 8 x 3

x 83 X 5

(2)运算中单项式的系数包

【思路点拨】：(1)先乘方，再进行除法计算. (4)中多项式因式当做一个整体参与计算. 【答案与解析】 (2 )、( 3)三个单项式连除按顺序计算. (3 )、

解：(1) (4x 3y 4)2

2 2、2

(2x y )

6 8

16x y

4x 4y 4 4x 2y 4

(2) x

2m 1

3n 7

y z

必须写成假分数. 举一反三： 【变式】计算：

(1)

15a 3

b 3ab ；

(2)

5x 5y 3z 2 2

3x y ;

(3)

1 Z 2

a b c 1

2 ab ;

(4)

(10 106) (2 103).

2

6

【答案】

解：(1)

15a 3b 3ab (15 3)( a 3 a)(b b) 5a 2

b 0 5a ： 2 (2)

5 3

2 2

5x y z 3x y

(5 3)(x 5 x 2)(y 3 :

y

2

)z 5 3

x yz .

3 (3)

1 Z 2

a b c 1 2 ab 1 1

(a 2 a)(b 2 b 2)c 3ab 0c 3ac

2

6

2

6

(4) (10 106) (2 103) (10 2)(106 ' 103) 5 10 (3

.

3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是

因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故.已知光在空气中的传播速

.. 8 2 度约为3 10米/秒，而声音在空气中的传播速度约为

3.4 10米/秒.

(1)光的速度大约是声音速度的多少倍？(结果保留两个有效数字)

(X y)2(x y)2

(x y)2 (x y)

(x y)2 (x y) X y .

(4) [12(a b)2(b c)] [4( a

b)(b c)]

(12 4)[(a b)2

(a b)][(b c) (b c)]

3(a b) 3a

3b .

【总结升华】(1)单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独 有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

(2)注意书写规范：系数不能用带分数表示,

(2)如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？(注：光传播到地球的

时间忽略不计)

【答案与解析】

解：(1) (3 1 08) (3.4 1 02) (3 3.4) (108 1 02)?0.882 106?8.8 105.

(2 ) 3.4 1 028 2.72 1 0 3 2 7 20 (米).

【总结升华】 在科学记数法表示的数 a 10n 中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式 中的幕. 类型三、多项式除以单项式

(2)

( 3x 4 4x 2

2x) ( 2x)；

(3)

(12x 2y 2 8xy 2 4y 2) ( 4y 2)；

(4)

0.3a 2b -a 3b 2 -a 4b 3 ( 0.5a 2b).

3 6

【答案与解析】 解：(1) (6x 3y 2

7x 4y) xy (6x 3y 2 xy) ( 7x 4y xy) 6x 2y 7x 3

.

(2) ( 3x 4 4x 2 2x) ( 2x)

[(3x 4)

( 2x)] [4x 2 ( 2x)] [( 2x) ( 2x)]

3

x 3 2x 1 . 2

(3)

(12x 2y 2 8xy 2 4y 2) ( 4y 2)

2 2 2 2 2 2 2

12x y ( 4y ) ( 8xy )

( 4y ) 4y ( 4y )

3x 2 2x 1

(4)

0.3a 2b 1a 3b 2 1a 4b 3 ( 0.5a 2b)

3

6

2

2

1 3

2 2

1 4 3 2

0.3a b ( 0.5a b) -a b ( 0.5a b) -a b ( 0.5a b)

3

6

3 2 「 1 2

ab a 2b 2

5 3 3

【总结升华】(1)多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的. 算时，不能漏项.特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为 1. (3)运算时要注意符号 的变化.

举一反三:

(2)利用法则计

2

7x 4y) xy ；