整式的除法基础知识讲解
整式的除法笔记
整式的除法笔记
1.定义：
整式除法是将一个整式（被除数）除以另一个整式（除数）的过程，其结果是一个整式或商式。
2.基本法则：
当两个整式相除时，我们可以将其视为分数的形式，即被除数/除数。
例如，对于整式A和B，A ÷ B 可以表示为A/B。
3.多项式除以单项式：
当我们有一个多项式除以一个单项式时，可以将其视为多项式的每一项分别除以该单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 4x + 5 和单项式x，结果为3x + 4 + 5/x。
4.除法与乘法的关系：
整式除法与整式乘法是互为逆运算。
这意味着，如果我们有一个整式A除以另一个整式B得到商C，那么A可以表示为B与C的乘积。
5.余数与除式：
当整式除法不能整除时，会有一个余数。
例如，对于多项式5x^2 + 3x + 2 和单项式x+1，商为5x - 2，余数为4。
6.长除法：
当被除数和除数都是多项式时，我们通常使用长除法来找到商和余数。
这种方法类似于我们在小学时学习的长除法，但应用于整式。
7.注意事项：
o确保在除法过程中，除数的每一项都不能为0。
o当整式除法得到的结果是一个多项式时，注意结果的每一项的系数和指数。
o注意余数的存在，它可以帮助我们验证除法的正确性。
8.应用：
整式除法在代数、方程求解、多项式函数等领域都有广泛的应用。
它帮助我们简化复杂的表达式，找到多项式的根，以及解决各种与多项式相关的问题。
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
初中数学 整式的除法规则是什么
初中数学整式的除法规则是什么整式的除法规则是指在代数中，将一个整式除以另一个整式的运算规则。
下面是对整式的除法规则的详细解释：1. 除法的定义：对于两个整式f(x) 和g(x)，其中g(x) ≠ 0，我们可以定义它们的除法为q(x) 与r(x) 的形式，满足f(x) = g(x) * q(x) + r(x)，其中q(x) 是商式，r(x) 是余式，且r(x) 的次数小于g(x) 的次数。
2. 短除法：短除法是一种用来简化整式除法的方法。
它适用于除式为一元一次式的情况。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
c) 用商式的最高次项乘以除式，然后将结果减去被除式。
d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行短除。
3. 长除法：长除法是一种适用于任意次数的整式除法的方法。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 从被除式的最高次项开始，将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。
c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。
d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行长除。
4. 带余除法：带余除法是整式除法中的一种特殊情况，其中被除式的次数小于等于除式的次数。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。
c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。
d) 当新的多项式的次数小于除式的次数时，此时的新多项式为余式。
以上是整式除法的基本规则和方法。
通过短除法、长除法和带余除法，我们可以将整式除法问题简化，从而更方便地进行计算和求解。
在实际应用中，整式的除法规则经常被用于解决方程、简化表达式等问题。
希望以上内容能够对你的学习有所帮助。
《整式的除法》课件
总结词
在整式除法中，利用代数公式可以简化 运算过程，提高计算的准确性。
VS
详细描述
在整式除法中，一些常用的代数公式如平 方差公式、完全平方公式等可以帮助我们 快速解决一些复杂的运算问题。例如，在 计算 (a+b)^2/(a-b) 时，可以利用平方 差公式进行化简，从而得到 (a+b)/(a-b) 的形式。
详细描述
设计一系列简单的整式除法题目，包 括单项式除以单项式、多项式除以单 项式等，旨在帮助学生熟悉整式除法 的基本概念和运算规则。
进阶练习题
总结词
提高运算能力和技巧
详细描述
设计一些稍具难度的整式除法题目，包括需要运用交换律、结合律、分配律等运算规则 的题目，旨在提高学生的运算能力和技巧。
综合练习题
04
整式除法的实际应用
在数学问题中的应用
代数方程求解
整式除法在代数方程求解中有着 广泛的应用，如一元二次方程、 一元高次方程等。通过整式除法 ，可以将方程化简，便于求解。
函数图像绘制
在数学函数图像绘制中，整式除法 可以用于计算函数值，从而绘制出 精确的函数图像。
数学分析
在数学分析中，整式除法可以用于 极限、导数和积分的计算，是数学 分析中重要的运算技巧之一。
整式除法运算
在数学中，整式除法运算是一种基本 的代数运算，用于简化代数表达式和 解决代数问题。
整式除法的运算顺序
01
02
03
04
先进行括号内的运算；
然后进行乘除运算，最后进行 加减运算；
同级运算按照从左到右的顺序 进行；
先进行乘方运算，再进行乘除 运算，最后进行加减运算。
整式除法的应用场景
01
02
整式除法知识点总结
整式除法知识点总结一、整式除法的概念整式是指由字母和数字组成的代数式，包括有理式和无理式。
整式除法是指两个整式相除的运算。
在进行整式除法时，被除数除以除数得到商，商与除数的乘积再与被除数相减后，得到余数为零的整除。
整式除法是代数式的一种运算方法，主要包括多项式的除法和分式的除法。
二、多项式的除法1. 多项式的概念多项式是指由多项式基本运算规律所产生的代数式。
它由有限个单项式相加减而成，如：3x^2+2x-1。
2. 多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要包括以下几个步骤：（1）将被除式按照x的幂次从高到低排列。
（2）将除式按照x的幂次从高到低排列。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数。
（5）循环进行以上步骤，直至得到余数为零的整除为止。
3. 多项式除法的例子例如：计算多项式的除法（x^3-3x^2+5）÷（x-2）。
（1）将被除数按照x的幂次从高到低排列，得到x^3-3x^2+5。
（2）将除数按照x的幂次从高到低排列，得到x-2。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商，得到x^2-2x。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数，得到了余数为4x+5。
（5）得到余数为零的整除。
三、分式的除法1. 分式的概念分式是指分母式不为零的代数式，它包括真分式和假分式，如：a/b。
2. 分式除法的步骤分式的除法主要包括以下步骤：（1）将除数和被除数化为通分形式。
（2）将被除数改写为乘法的倒数。
（3）将乘法的倒数与除数相乘。
（4）化简分式，得到最简形式。
3. 分式除法的例子例如：计算分式的除法（3/x）÷（2/x-1）。
（1）将除数和被除数化为通分形式，得到3/x÷(2-1x)/x=(3/x)*(x/2-x)（2）将被除数改写为乘法的倒数，得到3/x*(x/2-x)（3）将乘法的倒数与除数相乘，得到3/2-x（4）化简分式，得到最简形式，得到3/2-x。
整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法（基础）【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型二、单项式除以单项式2、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷； （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-； （4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-．（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷；（3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==． （2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？（注：光传播到地球的时间忽略不计）【答案与解析】解：（1）82826(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈．（2）233.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n相当于单项式中的幂．类型三、多项式除以单项式4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷； （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-； （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-； （4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-． （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++．【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：【高清课堂399108 整式的除法 例5】【变式】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷． 【答案】解： （1）原式223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-． （2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷5463x y =-．。
整式的除法讲义
整式的除法知识梳理1、同底数幕的除法即a m2a n二a m』(m、n都是正整数且m . n, a = 0)特别，当m=n 时，a m-G 二a m，a m= a m』=a°，而a n=1,所以规定a^1.任何不等于零的数的零次幕为1，即a0= 1(a = 0).2、单项式或多项式除以单项式两个单项式相除，把系数、同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的个因式•多项式除以单项式，先把这个多项式每一项除以单项式，再把所得的商相加3^、本章知识综合与提高①对字母表示数的再认识字母表示数是代数的基本思想之一，我们知道，字母不仅表示任何一个数，也可以表示一个代数式(单项式、多项式)从而使法则和公式更具有普遍性②字母指数的讨论问题在决定幕的符号时需要对字母指数分奇偶加以讨论，这是学习中的一个难点③乘法公式的拓展"立方和公式”a3-b3= (a -b)(a2ab b2)"立方差公式”a3b3= (a b)(a2- ab b2)④“十字相乘法”对于一般的二次三项式ax2bx • c(a = 0),寻找满足aa2 =a,C|C2 =c, aQ2 +a2C| =b的a1,a2,c1,c2，如有，贝U⑤换元法、配方法数学方法在因式分解中的应用二、典型例题及针对练习考点1同底数幕的除法例1计算下列各式⑴(—y)4^(—y)2n；⑵(-x)4-(x2)；⑶邈。
V ....3 3(一4); ，、/ 0\5 . / 5\0 ⑷(a ) - (a )注：1其一底数不同，不能直接应用法则进行计算，应当把各因式都化为同底数幕后再应用法则计算，其二是指数相减，不是指数相除a6 - a22.2 、含有零指数幕，通过计算，我们发现幕的运算法则对零指数幕仍旧适用，计算3零指数幕的值时，要特别小心符号错误，如一()°的值应当是—1不是1.4［补例练习］1、计算：⑴(a - b)「(b- a)3；⑵ a「(a0a3)；⑶a「[(a2)3，a2)]；考点2、单项式或多项式除以单项式3例 2 ⑴(-38x4y5z) "19xy4( x3y2). ⑵45x2y (10xy) - 6xy2-：(-2xy) 10x3y3-：(-2xy).例 3 ⑴(-4x312x2y-20x4y2)'(-4x2).8 2 21 2 〔23 3 3[a b( ab ) -( a b) ]" 2a b .7 16 3要点3^、本章知识综合与提高例3计算2 1 2⑴(-5xy) ( xy )；54 5 ・41 3 5 2-32a b c“16ab L( a b )；8⑶(36x4y3—24x3y23x2y)-：- (_3x2y)；[(2x —y)2—y(y —4x) —8x] “(_4x).[补例练习]2、计算：⑴(4x312x2y-20x4y2) (-4x2).整式的乘法例5化简：(-a2)"' (-a n1)3(n为正整数)例6计算：⑴(x y)(x -y)(x2xy y2)(x2「xy y2)；⑵(x 2)2(x- 2x 4)2.第3讲整式的除法和整式运算的基本方法专题一整式的除法1、单项式除以单项式：问题1、计算：2、多项式除以单项式:问题2、计算：(3) [(2a + b X a - 2b ) - 2 (a - 2b )2+ 4b (a - 2b 沪(4b )(x 2y)2 - (x y)(3x - y) - 5y 2 2x ,其中 x = -2, yxy 2 xy 「2 -2x 2y 2 4 xy，其中f 呛专题二、待定系数法22 2-2 2 2 2u 22 2 — a b e - — a be 十——a e <3 5 丿< 3(1) 3 4[7丄1 3^8 1 2. 61 - -a b + —a b - -a b --ab<4 2 9< 3丿 ⑵ (1)(3)(5)令(3x 2y 2)2mn 13-8m2n 13am 1b,、“ 3 4 2 j ,22、(2) -12x y z -：- - 4x y z(4) 6(a — b 卜丄心一b )33ma mb me m= abe(5)m ：1 ...问题 1 若（x-3）（x，5）= x mx n，求m、n 的值。
《整式的除法》课件
被除数
需要被另一个多项式除的多项 式。
商和余数
整式除法的结果，商是另一个 多项式，余数是带有余数的项
。
整式除法的运算顺序
先进行括号内的运算 ；
最后进行加减运算。
然后进行乘除运算；
整式除法的性质
01
02
03
整式除法的交换律
交换被除数和除数的位置 ，商不变。
整式除法的结合律
改变被除数和除数的组合 方式，商不变。
运算过程中的错误纠正
检查运算过程
在完成整式除法后，需要仔细检 查运算过程，确保没有出现计算
错误。
验算
可以通过验算来检查运算结果是否 正确。例如，将商乘以除数，看是 否等于被除数。
注意细节
在整式除法中，需要注意细节，避 免因为粗心大意而出现错误。例如 ，注意符号、括号等细节问题。
05
整式除法的练习题与解析
多项式除以多项式
总结词
转化为单项式除以单项式的形式
详细描述
多项式除以多项式时，可将其转化为单项式除以单项式的形式，然后逐一进行除法运算。例如，$frac{3a^2 + 2ab}{3b^2 + 2a} = frac{a(3a)}{b(3b)} + frac{b(2b)}{b(2a)} = frac{a}{b} + frac{2}{2} = frac{a}{b} + 1$。
乘除法与加减法的符号规则
在整式中，乘除法与加减法的符号规则不同，需要特别注意。
运算过程中的化简问题
化简步骤
在整式除法中，化简是非 常重要的步骤。通过化简 可以简化运算过程，提高 运算效率。
合并同类项
在化简过程中，可以将同 类项合并，简化表达式。
《整式的除法》整式的运算
2023-11-06•整式运算概述•整式的除法•整式除法的计算技巧•整式除法与其他数学知识的综合应用•整式除法在实际生活中的应用目•整式除法的拓展与提高录01整式运算概述单项式与多项式的统称，是代数式的基本形式。
整式单项式、多项式。
整式的分类表示数与字母乘积的代数式。
单项式几个单项式的和。
多项式整式的定义与分类同类项：相同字母且相同字母的指数也相同的项。
去括号：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。
合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
合并同类项与去括号法则的应用。
幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减。
整式的除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式。
整式的乘法：单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式。
整式的乘除法的应用。
02整式的除法整式除法的定义把一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
整式除法的法则多项式除以多项式，一般按整式除法法则进行运算。
整式除法的定义与法则整式除法的运算性质连除式：将除法转化为乘法，用约分简化计算。
乘除混合运算：在乘除混合运算中，可以用括号将运算式分组，按顺序先算括号里面的。
整式的除法运算性质可以推广到多个因式的除法运算中。
将多项式除以单项式，得到商和余数。
整式除法的应用举例多项式除以单项式将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
多项式除以多项式通过约分简化多项式的计算，提高运算速度。
约分的应用03整式除法的计算技巧提公因式法是一种通过提取多项式中的公因式来简化计算的方法。
总结词提公因式法基于公因式的定义，通过提取多项式中的公共因式，将多项式进行因式分解，从而简化计算。
在整式除法中，提公因式法可以用于简化被除式和除式，提高计算的准确性和速度。
详细描述提公因式法总结词公式法是一种通过使用公式来计算多项式的方法，尤其适用于整式的除法。
整式的乘除与因式分解知识点归纳
整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。
整式有不同的运算法则，包括乘法、除法和因式分解。
以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
在整式相乘时，需注意以下几点：-两个或多个常数相乘，结果仍是常数；-两个或多个同类项相乘，结果是它们的系数相乘，指数相加的同类项；-不同类项相乘时，按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项；-乘法运算中可以运用分配率，将一个整式乘以一个括号内的整式，再将结果分别与括号内的各项相乘，最后合并同类项得出结果。
2．整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式相除时，需要注意以下几点：-除法的定义：对于两个整式f(x)和g(x)，若存在整式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，且r(x)是0或次数低于g(x)的整式，则称g(x)是f(x)的除式，q(x)是商式，r(x)是余式；-除法的步骤：进行长除法运算，从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除，得到商式的最高次项；-对除式乘以商式后减去得到的结果，继续进行除法计算，重复以上步骤；-最后得到的商式即为整式的商，最后得到的余式即为整式的余式。
3.整式的因式分解：因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。
在进行因式分解时，需要注意以下几点：-提取公因式：当一个整式的各个项都有相同的因子时，可以提取出该因子作为公因式；-分解差的平方：对于形如a^2-b^2的差的平方，可以分解成(a+b)(a-b)的乘积；-分解一些特殊形式的整式，如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等；-假设原式可分解成两个较简单的整式，然后根据求解思路进行分解。
整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作，有广泛的应用。
在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中，都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
整式的除法课件
01
确定商的符号
整式除法结果的符号由被除式和除式的符号共同决定。如果被除式和除
式的符号相同，则商为正；如果被除式和除式的符号不同，则商为负。
02 03
处理多项式除以多项式的情况
当被除式和除式均为多项式时，需要按照多项式除以单项式的规则进行 计算，即把被除式的每一项分别除以除式的每一项，再把所得的商相加 。
整式的除法运算性质
03
整式的除法具有交换律和结合律。
整式除法的难点解析
整式的除法运算步骤
在进行整式的除法时，需要先将被除数和除数相乘，再减去余数 。
整式的除法运算技巧
在计算过程中，需要注意符号的变化和运算顺序的正确性。
整式的除法运算注意事项
在进行整式的除法时，需要注意结果的符号和余数的正确性。
整式除法的练习题
运用分配律
在整式除法中，可以运用分配律将复杂的表达式转化为简单的形式 ，便于计算。
逐步化简
对于复杂的整式除法问题，可以逐步化简，逐步计算，最终得到结 果。
05
复习与总结
整式除法的重点回顾
整式的除法法则
01
整式的除法遵循乘法分配律，将除数与被除数相乘，再减去余
数。
整式的除法运算顺序
02
先进行乘法运算，再进行减法运算。
例题2
$(3x^3 + 5x^2 - 4x + 7) div (3x - 1)$
解
$3x^3 + 5x^2 - 4x + 7 div (3x - 1) = 3x^3 + x^2 - x + x^2 + x - 1 = 3x^3 + 2x^2 - x + 1$
整式除法的练习题
华师版八年级数学上册第12章4 整式的除法
知1－讲
2. 步骤 (1)把系数相除，所得结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为 商的一个因式.
知1－讲
特别解读 1. 单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除. 2. 单项式除以单项式的结果还是单项式. 3. 根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果.
知1－练
例 1 计算： (1)－3a7b4c÷9a4b2；(2)4a3m＋1b÷(－8a2m＋1)； (3)(6.4×105)÷(2×102). 解题秘方：根据单项式除以单项式法则计算.
解：(1)原式＝[(－3)÷9]a7－4b4 －2c＝－13a3b2c.
(2)原式＝[4÷(－8)]a(3m＋1)－(2m＋1)b＝－12amb. (3)原式＝(6.4÷2)×(105÷102)＝3.2×103.
整式的除法
同底数幂的 关键 整式的
除法
除法
单项式除以单项式 转化
多项式除以单项式
原式＝4x3y÷2xy＋(－6x2y2)÷2xy＝2x2－3xy.
(3)(x5y3－2x4y3＋3x2y)÷x2y；
知2－练
解：原式＝x5y3÷x2y＋(－2x4y3)÷x2y＋3x2y÷x2y＝x3y2
－2x2y2＋3.
(4)(13a2b－2ab2－b3)÷(－2b). 原式＝13a2b÷(－2b)＋(－2ab2)÷(－2b)＋(－b3)÷(－2b)＝ －16a2＋ab＋12b2.
知2－练
特别警示：多项式里的每一项与单项式相除时， 要逐项相除，不能漏项，并且要注意符号的变化 .
知2－练
2-1. 若(4a2b－3ab2)÷M＝－4a＋3b，则单项式M为( B )
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
《整式的除法》课件
《整式的除法》课件
目 录
• 整式除法的定义与法则 • 整式除法的运算性质 • 整式除法的应用 • 整式除法与因式分解的联系 • 整式除法常见错误及防范措施
01
整式除法的定义与法则
整式除法的定义
整式除法是数学中基本的四则运算之一，是整式的除法运算 。
整式除法涉及到多项式除以单项式的运算，其运算法则是根 据多项式与单项式的除法法则进行计算。
详细描述
例如，将(ab)c÷(cd)算成(ab)^c/(cd)，而正确的计算结果应为(ab)^c/(cd)。这 种错误需要学生在进行乘方运算时特别注意符号的使用方法和解析
以 ax^2+bx+c=0 为例，利用整式的除法可得到两个一元一 次方程 ax+b=0 和 x^2+c=0，再分别求解即可。
应用解析
解题思路
整式的除法是数学中重要的基本技能之一，通过将复杂的多项式进行因式分 解，把高次方程转化为一元一次方程，从而降低解题难度，快速得到答案。
注意事项
在利用整式除法解题时，需要注意因式分解要彻底，直到不能继续分解为止 ，同时需关注符号和顺序等问题，避免出现错误。
在进行整式除法的计算时，可以将多项式转化为分数的形式，然后利用分数的除 法法则进行计算，这样就可以将复杂的计算简化。
02
整式除法的运算性质
乘除混合运算的性质
乘除混合运算的顺序是先乘后除，与加减法混合运算的顺序 相同。
乘除混合运算的结果可以用乘法分配律进行简化，例如$2 \times (a + b) = 2a + 2b$。
因式分解在整式除法中的应用
01
在进行整式除法计算时，可以先将多项式进行因式分解，将除 法转化为乘法
《整式的除法》课件
包括整式的次数、系数、项等基 本概念及其性质。
除法运算规则简介
多项式除以单项式
将多项式的每一项分别除以单项式， 并将结果按降幂排列。
单项式除以多项式
单项式除以多项式时，可将单项式拆 分为多个多项式之和或差，再分别进 行除法运算。
常见问题与误区提示
01
02
03
忽视运算顺序
在进行整式除法时，需遵 循先乘除后加减的原则， 注意运算顺序。
《整式的除法》课件
汇报人： 2023-11-26
contents
目录
• 整式除法基本概念 • 单项式除以单项式方法论述 • 多项式除以单项式技巧总结 • 多项式之间相除算法剖析 • 整式除法在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
整式除法的基本概念
整式除法的定义
研究整式之间相除的运算规则和方法。
经济学领域中整式除法应用案例分享
平均成本计算
在生产过程中，企业需要计算产品的平均成 本，以便制定合理的定价策略。整式除法可 以帮助企业计算出单位产品的成本，从而确 定产品的售价和利润空间。
投资收益率计算
在投资决策中，投资者需要计算投资收益率 来评估投资项目的可行性。整式除法可以帮 助投资者计算出投资项目的收益率，从而做
解析
首先进行系数的除法运算，$6 \div 3 = 2$；然后比较 $x$ 的 指数，$3-1=2$；最后比较 $y$ 的指数，$2-1=1$。因此，原式
的结果为 $2x^2y$。
01
03
02 04
例题2
求解 $ (8a^5b^3c^2) \div (4a^2b^2c) $ 的值。
解析
首先进行系数的除法运算，$8 \div 4 = 2$；然后比较 $a$ 的 指数，$5-2=3$；接着比较 $b$ 的指数，$3-2=1$；最后比较 $c$ 的指数，$2-1=1$。因此， 原式的结果为 $2a^3bc$。
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.整式的除法（基础）知识讲解
作者:
日期: 2
整式的除法（基础）
【学习目标】
1.会用同底数幕的除法性质进行计算.
2.会进行单项式除以单项式的计算.
3.会进行多项式除以单项式的计算.
【要点梳理】
要点一、同底数幕的除法法则
同底数幕相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（a工0, m n都是正整数，
并且m n）
要点诠释：（1 ）同底数幕乘法与同底数幕的除法是互逆运算
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式
要点二、零指数幕
任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a0 1（a工0）
要点诠释：底数a不能为0, 0°无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.
因此常数项也叫0次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幕相除；③只在被除式
里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幕的除法的组合，单项式
除以单项式的结果仍为单项式
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即am bm cm m am m bm m cm m a b c
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，
其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2 ）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、同底数幕的除法
仇计算：
5
3
(1)X 8 x 3 ； (2) (a)3 a ； (3) (2xy)5 (2xy)2 ； (4)
3
3
【思路点拨】 利用同底数幕相除的法则计算. (2)、(4)两小题要注意符号
【答案与解析】
3
3 1
2
(2) ( a) a a a .
(3)
(2xy)5 (2xy)2
(2xy)5 2 (2xy)3
3 3
8x y
,5 ,3
,5 3
,2
1
(4)
1 1 1 1
3 3 3 3
9 •
【总结升华】(1)运用法则进行计算的关键是看底数是否相同. 括它前面的符号
类型二、单项式除以单项式
(1) 3 4 2
(4x y )
(2x 2 ! 2 y )
2
;
(2)
2m 1 3 n 7
m
2 m i n 3
x y z x y
x y z ;
3
(3) [(x y)(x y)]
2 (x y)2 (x y)；
(4) [12(a b)2
(b c)] [4( a b)(b c)]
2 2m 1 m m 3n
n 7
3、
1 1
- (x x x )(y y y )(z z)
3 2n 1
4
xy z . 2
2
2
(3) [(x y)(x y)] (x y) (x y)
解：(1)x 8 x 3
x 83 X 5
(2)运算中单项式的系数包
【思路点拨】：(1)先乘方，再进行除法计算. (4)中多项式因式当做一个整体参与计算. 【答案与解析】 (2 )、( 3)三个单项式连除按顺序计算. (3 )、
解：(1) (4x 3y 4)2
2 2、2
(2x y )
6 8
16x y
4x 4y 4 4x 2y 4
(2) x
2m 1
3n 7
y z
必须写成假分数. 举一反三： 【变式】计算：
(1)
15a 3
b 3ab ；
(2)
5x 5y 3z 2 2
3x y ;
(3)
1 Z 2
a b c 1
2 ab ;
(4)
(10 106) (2 103).
2
6
【答案】
解：(1)
15a 3b 3ab (15 3)( a 3 a)(b b) 5a 2
b 0 5a ： 2 (2)
5 3
2 2
5x y z 3x y
(5 3)(x 5 x 2)(y 3 :
y
2
)z 5 3
x yz .
3 (3)
1 Z 2
a b c 1 2 ab 1 1
(a 2 a)(b 2 b 2)c 3ab 0c 3ac
2
6
2
6
(4) (10 106) (2 103) (10 2)(106 ' 103) 5 10 (3
.
3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是
因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故.已知光在空气中的传播速
.. 8 2 度约为3 10米/秒，而声音在空气中的传播速度约为
3.4 10米/秒.
(1)光的速度大约是声音速度的多少倍？(结果保留两个有效数字)
(X y)2(x y)2
(x y)2 (x y)
(x y)2 (x y) X y .
(4) [12(a b)2(b c)] [4( a
b)(b c)]
(12 4)[(a b)2
(a b)][(b c) (b c)]
3(a b) 3a
3b .
【总结升华】(1)单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独 有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
(2)注意书写规范：系数不能用带分数表示,
(2)如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？(注：光传播到地球的
时间忽略不计)
【答案与解析】
解：(1) (3 1 08) (3.4 1 02) (3 3.4) (108 1 02)〜0.882 106〜8.8 105.
(2 ) 3.4 1 028 2.72 1 0 3 2 7 20 (米).
【总结升华】 在科学记数法表示的数 a 10n 中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式 中的幕. 类型三、多项式除以单项式
(2)
( 3x 4 4x 2
2x) ( 2x)；
(3)
(12x 2y 2 8xy 2 4y 2) ( 4y 2)；
(4)
0.3a 2b -a 3b 2 -a 4b 3 ( 0.5a 2b).
3 6
【答案与解析】 解：(1) (6x 3y 2
7x 4y) xy (6x 3y 2 xy) ( 7x 4y xy) 6x 2y 7x 3
.
(2) ( 3x 4 4x 2 2x) ( 2x)
[(3x 4)
( 2x)] [4x 2 ( 2x)] [( 2x) ( 2x)]
3
x 3 2x 1 . 2
(3)
(12x 2y 2 8xy 2 4y 2) ( 4y 2)
2 2 2 2 2 2 2
12x y ( 4y ) ( 8xy )
( 4y ) 4y ( 4y )
3x 2 2x 1
(4)
0.3a 2b 1a 3b 2 1a 4b 3 ( 0.5a 2b)
3
6
2
2
1 3
2 2
1 4 3 2
0.3a b ( 0.5a b) -a b ( 0.5a b) -a b ( 0.5a b)
3
6
3 2 「 1 2
ab a 2b 2
5 3 3
【总结升华】(1)多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的. 算时，不能漏项.特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为 1. (3)运算时要注意符号 的变化.
举一反三:
(2)利用法则计
2
7x 4y) xy ；
【高清课堂399108 "整式的除法例5】【变式】计算：
(1) 2 3 2 3 3
(3xy) gx 2x g(3xy ) g£y
9x
(2) [(x 2y)(x 2y) 4(x y)2]
【答
案】
解：（1）原式9x2y2 gx3 2x2 g27x3y99x4y2
(9x 5 2 5 10 4 2
y 27x y ) 9x y x c 8 3xy .
(2)原式[x24y2 2 2
4(x 2xy y )] 6x
(x24y2 4x2 8xy 2
4y ) 6x
(5x28xy) 6x
4
3y.。