2019届高三数学综合专题总复习20

三角函数（理）

考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、 诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+图象及其性质、两角和与差公式、 倍角公式、正余弦定理等基础知识，考查基本运算能力。

1、（2018年天津卷理工类）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=42tan πx x f 。

（1）求()x f 的定义域与最小正周期；

（2）设0,4πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，若

αα2cos 22=⎪⎭

⎫

⎝⎛f ，求α的大小。 解：（1）由2,,4

2

x k k Z π

π

π+

≠+

∈得,,8

2

k x k Z π

π

≠

+

∈ 所以()f x 的定义域为|,82k x R x k Z ππ⎧⎫

∈≠+∈⎨⎬⎩⎭

，()f x 的最小正周期为2π。

（2）由()2c o s 2,2f αα=，得t a n ()4πα+2c

o s 2,α=，即22sin()42(cos sin )cos()4π

αααπα+=-+， 整理得，

sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αα

αααααα

+=-+-，因为sin cos 0αα+≠，

所以可得21(cos sin )2αα-=，1sin 22α=，由0,4πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，得20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以26

π

α=

，12

π

α=

。

2、（2018

年天津卷理工类）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。

（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值；

（2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤

=∈⎢⎥⎣⎦

，求0cos 2x 的值。

解：（1）2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π

=+-=+=+

所以函数()f x 的最小正周期为π，因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上为增

函数，在区间,62ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上为减函数，又(0)1,

2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫

===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值为2，最小值为—1；

（2）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，又因为06()5f x =，

所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0,42x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，

从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以

0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+-=+++=

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。 3、（2018年天津卷）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。 （1）求AB 的值；

（2）求πsin 24A ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值。

解：（1）在ABC ∆中，根据正弦定理，

A

BC

C AB sin sin =

， 于是522sin sin ===BC A

BC

C

AB 。 （2）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅5

5

2=，

于是A A 2cos 1sin -==

5

5

，

从而5

3

sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A

πππsin 2sin 2cos cos2sin 44410A A A ⎛

⎫-=-=

⎪⎝

⎭。 4、（2018天津卷文史类）已知函数2

()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，，

)0,(>∈ωR x 的最小正周期是

2

π。 （1）求ω的值；

（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合。 （1）解：1cos 2()2

sin 212

x

f x x ωω+=++sin 2cos 22x x ωω=++

sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=++⎪⎭224x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭。

由题设，函数()f x 的最小正周期是

2π，可得222

ωππ

=，所以2ω=。

（2）解：由（1）知，()424f x x π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭。

当4242x k ππ+

=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭取得最大值1，所以函

数()f x 的最大值是2+x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩⎭

Z ，。

5、（2018天津卷理工类）已知cos 410x π⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭，324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，。

（1）求sin x 的值；

（2）求sin 23x π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值。

解：（1）由题设得

cos 2210x x +=，即1

cos sin 5

x x +=。