2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题五 第2讲 空间中的平行与垂直
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第2讲 空间中的平行与垂直
考情解读 1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断,属基础题.2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.
1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理
2.
提醒3.平行关系及垂直关系的转化
热点一 空间线面位置关系的判定
例1 (1)设a ,b 表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .若a ⊥α且a ⊥b ,则b ∥α B .若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β C .若a ∥α且a ∥β,则α∥β D .若γ∥α且γ∥β,则α∥β
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β B .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥β
C .存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α
D .存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α
思维启迪 判断空间线面关系的基本思路:利用定理或结论;借助实物模型作出肯定或否定. 答案 (1)D (2)D
解析 (1)A :应该是b ∥α或b ⊂α;B :如果是墙角出发的三个面就不符合题意;C :α∩β=m ,若a ∥m 时,满足a ∥α,a ∥β,但是α∥β不正确,所以选D. (2)若α∩β=l ,a ∥l ,a ⊄α,a ⊄β,则a ∥α,a ∥β,故排除A. 若α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,则a ∥β,故排除B.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.
思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
设m、n是不同的直线,α、β是不同的平面,有以下四个命题:
①若α⊥β,m∥α,则m⊥β
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α
其中真命题的序号为()
A.①③B.②③
C.①④D.②④
答案 D
解析①若α⊥β,m∥α,则m与β可以是直线与平面的所有关系,所以①错误;
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n,所以②正确;
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,所以③错误;
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α,所以④正确.
故选D.
热点二平行、垂直关系的证明
例2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平
面P AD⊥底面ABCD,P A⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)P A⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面P AD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
思维启迪(1)利用平面P AD⊥底面ABCD的性质,得线面垂直;(2)BE∥AD易证;(3)EF是△CPD的中位线.
证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD,
且P A垂直于这两个平面的交线AD,
所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE ⊄平面P AD ,AD ⊂平面P AD , 所以BE ∥平面P AD .
(3)因为AB ⊥AD ,而且ABED 为平行四边形. 所以BE ⊥CD ,AD ⊥CD , 由(1)知P A ⊥底面ABCD . 所以P A ⊥CD . 所以CD ⊥平面P AD . 所以CD ⊥PD .
因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点, 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 又CD ⊂平面PCD , 所以平面BEF ⊥平面PCD .
思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.
如图所示,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD
为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点. 求证:(1)AF ∥平面BCE ; (2)平面BCE ⊥平面CDE .
证明 (1)如图,取CE 的中点G ,连接FG ,BG . ∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE 且GF =1
2DE .
∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD , ∴AB ∥DE ,∴GF ∥AB . 又AB =1
2
DE ,∴GF =AB .
∴四边形GF AB 为平行四边形,则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE , ∴AF ∥平面BCE .
(2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点, ∴AF ⊥CD .
∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF .
又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
热点三图形的折叠问题
例3如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?请说明理由.
思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化.第(1)问证明线面平行,可以证明DE∥BC;第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明A1F⊥平面BCDE;第(3)问取A1B的中点Q,再证明A1C⊥平面DEQ.
(1)证明因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,
所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE,又BE⊂平面BCDE,
所以A1F⊥BE.
(3)解线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.