初中一元二次方程讲解(可编辑修改word版)

23.1一元二次方程

类型1、一元二次方程的概念

解题要点：

（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是 2，三个条件缺一不可。

（2）有些方程需要先整理，再判断。

（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。

题型1、一元二次方程的判别

例1．下列是一元二次方程的是（）

A．2x 2+x - 3 B．

5x

= 2

x 2 + 1

C．( x+1)( x - 2) =x 2D．(t + 1)2= 2t(t - 1)

例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。

（1）x 2+1 = 0 （2）x 2 +

1

x +1

=

1

；（3）x 2 +y +1 = 0 ；（4）x 3 -x 2 +1 = 0

2

（5）2x(3x - 5) = 6x 2+ 4 （6）( x - 2)( x - 3) = 5

题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。

例3．方程(m + 2)x|m| + 3mx +1 = 0 是关于x 的一元二次方程，则（）

A.m =±2

B.m = 2

C.m =-2

D.m ≠±2

例4．关于x 的方程mx 2 - 3x =x 2 -mx + 2 是一元二次方程的条件是什么？

题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集

例5．若ax 2- 5x + 3 = 0 是一元二次方程，且a 满足不等式3a + 6 > 0 ，则a 的取值范围是（）

A. a >-2

B. a <-2

C. a >-2 且a ≠ 0

D. a >-1 2

（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况

下，左边各项系数不含有公约数。

（2）先化为一般形式：ax 2+bx +c = 0 ，后确定各项系数和常数项，一般形式中a ≠ 0 ，b 、c 可以等于0。

（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。

题型1、化方程为一元二次方程的一般形式

例6．把方程(2 y + 1)(3y - 2) =y 2+ 2 化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、常数项。

题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题

例7、a 为何值时，关于x 的方程(a - 3)x|a|-1 + (a + 3)x + 4 = 0 ，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？例8、方程(a + 4)x|a|-2 + 8x +a = 0 是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。

例9、若一元二次方程2x 2+ (k + 8)x - (2k - 3) = 0 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求k 的值。

（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。

（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型1、判断一元二次方程的根

例10．下列哪些数是一元二次方程x 2- 4x =-3 的根？- 3 ，- 2 ，- 1 ，0，1，2，3，4

题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。

例11、关于x 的一元二次方程(a - 1)x 2+x +a 2- 1 = 0 的一个根是0，求a 的值。

例12、已知x = ，x = 是关于x 的一元二次方程x 2+ax +b = 0 的根，求a 和b 的值。

题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。

2 a 2 -b2

例13、已知x = 1 是一元二次方程ax +bx - 40 = 0 的一个根，且a ≠b ，求的值。

2a - 2b

例14、已知a 是方程x 2 - 2010x +1 = 0 的一个根，试求a 2 - 2009a + 2010

a 2 +1

的值。

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题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。

例15、已知关于x 的方程x 2 +px +q = 0 与x 2 +qx +p = 0( p ≠q) 有一个公共根，求( p +q)2009 的值。

类型4、列一元二次方程

解题要点：

一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：

（1）设一个未知数x ，由其他未知量与这个未知数的关系，用x 表示其他量。

（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。

例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm3，高为6cm，底面的长比宽多5cm，若设这个粉笔盒的底面的宽为x cm，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。

例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为k ( 0

板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的4 ，7

设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（）

A．4

+

4

k +

4

k 2 = 1 B．

4

+

4

k = 1 C．

4

k +

4

k 2 = 1 D．

4

+

8

k = 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7