初中数学翻折问题

矩形构造法之翻折问题

万伟华，南昌市第二十八中学教师，著有个人作品《点线式秒杀中考数学压轴题》 翻折问题

作为几何知识的重要组成部分，翻折问题历来是全国中考命题的热点，可以预见，此类问题仍会在2018年的考试中大量呈现。但绝大多数学生对此类问题毫无头绪，丢分情况十分严重，为此笔者进行了一些有益的尝试，试图为学生打开破解之道。限于篇幅，本文仅探究直角三角形的翻折问题。

首先，我们必须引进一个非常重要的数学工具——“纵横比”

所谓“纵横比”就是指依附直线上任意两点，构建直角三角形，使得横直角边平行x 轴，纵直角边平行y 轴。“纵直角边”与“横直角边”的长度之比。

如图：已知A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)在直线AB 上，

则直线AB 的“纵横比”为：AC

BC ＝1212

y y x x --

在此基础上，我们继续探究，不难得出一个精彩的结论：

121212(,),,,,,AC x BD x OA OB A l l l l AC OD

l l OC BD C D AC OD

ACO ODB OC C OC BD OD

BD

⊥⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥=

=

若不为坐标轴则两直线的纵横比互为倒数。

如图：已知，，求证：轴轴垂足分别为证明：作易证：△∽△

“矩形构造法”之对称：一般在涉及某点关于直线对称点求解的问题，可通过构建某点关于直线的“纵横比”，得到横平竖直的直角三角形后进行翻折对称，再构造翻折后直角三角形的外接矩形，得到相似，从而求解。其解题的核心思想是 “斜转直”。(将原题中倾斜的直角边之比，通过构造直角三角形的外接矩形，得到相似，从而转化成横平竖直的直角边之比,又称为“纵横比”)此处所列举的例题希望大家认真领会，并通过这些例题得出解决对称点问题的一般通法。

以下，我们一起来领略“纵横比”的神奇！

例题1：平面直角坐标系中，直线y ＝3x ＋3，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点O 关于直线y ＝3x ＋3对称点为O ′，求O ′坐标.

解题思路剖析：粗看此题，似乎感觉无从下手。倘若我们换个思路，引进纵横比的解题思想呢？OB 、OA 、AB 可以看成一个天然的纵横比三角形，我们将△AOB 沿AB 进行翻折，

得到RT △AO ′B ，接下来，我们应该如何处理“倾斜”的两条直角边O ′A ，O ′B 呢？根据此前的结论，若不为坐标轴的两直线垂直，则其纵横比互为倒数。由此，我们容易联想构造O ′A ，O ′B 的纵横比，构造RT △AO ′B 的外接矩形.以下我们看看具体的解题过程.

解：将△AOB 沿AB 翻折，得△AO ′B ， 构造△AO ′B 的外接矩形OBCD . 易证：△ADO ′∽△O ′CB ， 设AD ＝a ，O ′D ＝b ， ∴O ′C ＝3a ，BC ＝3b a ＋1＝3b b ＋3a ＝3 ∴a ＝45

，b ＝35

；∴O ′（－95

，35

解题反思：我们在处理一点关于倾斜的直线对称问题过程中，可通过翻折的手段，再根据纵横比思想，构造其外接矩形加以处理。那么，此方法是不是解决此类问题的基本通法呢？我们不妨再看下一个问题

例题2：平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2，点A （4,1），点A 关于直线y ＝1

2x ＋2对称点为

A ′，求A ′坐标，并求出点A 到BC 的距离.

解题思路剖析：有了前面一题作为引导，我们很自然想到构造以点A 为直角点的纵横比△BAC ，而后将△BAC 沿BC 进行翻折，得到RT △BA ′C ，接下来，构造△BA ′C 的外接矩形，从而求解.

''

1

2,2

'

'.

''.(41)3

6.

',2,'22612

9

,3255188

292,4

'(,)555

'A C A B AC x AB y y x C B BAC BC BA C BA C ACDE A DC BEA A AB AC A E a EB b CD a A D b

a b a b b a x x b y y A AA =

+∴====∴==+=⎧⎧∴∴==

⎨⎨+=⎩⎩∴-==

-=∴∴=解：作∥轴，∥轴,分别交直线于将△沿翻折，得△，构造△的外接矩形易证：△∽△，，设1'21

2,2

(41)3 6.236182(45ABC ABC d AA AC x AB y y x C B

A A

B A

C S AB AC S BC d BC ===

=+∴==∴=⨯=⨯===∴=

==△△方法二：作∥轴，∥轴,分别交直线于，，

由此我们得到一点关于倾斜的直线对称问题的基本通法：

其基本解题步骤：第一步，构造已知点的“纵横比”，即依附这点构造横平竖直的直角三角形；第二步，将该直角三角形进行翻折，并构造出翻折直角三角形的外接矩形；第三步，利用一线三直角，得出相似，并根据相似比由小到大巧设各条边，列出二元一次方程组求解。

初中阶段，处理点到直线距离的求解方法主要有两种：

第一， 通过构造该点的纵横比，得出这个直角三角形的面积，再求出斜边，从而求解。

第二， 通过构造该点的纵横比，而后将该三角形进行翻折，再进行矩形构造法，得出其对称点坐标，最后根据两点间距离公式求解。

通过以上探究，我们不难发现，求解任意一点关于直线对称点问题，可通过矩形构造法，同时可以得出一个“副产品”，即点到直线距离，当然用矩形构造法求解点到直线距离稍显麻烦；如果题目仅需要求出点到直线距离，可通过面积方法求解.

接下来，我们一起探究圆切点的求解问题，众所周知，经过圆外一点，可以作该圆的两条切线，两切点关于圆心与该点的连线对称，因此求解圆的切点问题与翻折问题实质等同。