两个平面平行的判定和性质三
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
《两个平面平行》课件
平面平行的性质 定理：如果两个 平面平行，则它 们之间的直线也 是平行的。
03
平面平行的判定条件
判定条件一：若两平面内分别有两条相交直线，则两平面平行
• 定义：若两平面内分别有两条相交直线，则称这两平面为相交直线。 • 性质：若两平面为相交直线，则它们之间的距离为常数。 • 判定条件：若两平面内分别有两条相交直线，则这两平面平行。 • 证明：假设两平面分别为α和β，且它们内分别有两条相交直线a和b。由于a和b相交，它们确定一个平面γ。由于α和
• 应用：这个判定条件在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与平面几何相关的问题时。 以上内容仅供参考，具 体内容可以根据您的需求进行调整优化。
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判定条件三：若两平面分别与第三个平面交于两条相交直线，则 两平面平行
定义：若两平面 分别与第三个平 面交于两条相交 直线，则称两平 面平行。
β都与γ相交，根据平面的性质，α和β必然平行。 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学 中有着广泛的应用。
• 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学中有着广泛的应用。
判定条件二：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则 两平面平行
• 定义：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则称两平面平行。
性质证明：根据平面几何的基本性质，两平面平行意味着它们之间 的距离保持不变，因此它们不会相交，也就没有公共点。
性质应用：在几何学中，这一性质被广泛应用于证明和推导定理。
性质的意义：这一性质是平面几何中的基本概念之一，对于理解平 面几何的性质和定理具有重要意义。
性质二：若两平面平行，则它们没有公共直线
面面平行的判定
面面平行的判定基础知识：1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa ∩b = P β∥αa ∥αb ∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
典型例题：例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．变式题：1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．2、下列命题错误的是A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交B 、平行于同一个平面的两个平面平行C 、平行于同一直线的两条直线平行D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交解析：D例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ． 在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
线面、面面平行的判定与性质
【线面平行】1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：ααα//,//,,a b a b a 则⊂⊄.2.直线与平面平行的性质性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的任一平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号表示：b a b a a //,,,//则=⋂⊂βαβα3.直线与平面平行的证明方法（1）利用定义：证明直线与平面无公共点.（2）利用直线与平面平行的判定定理：即证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行.（3）利用平面与平面平行的的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，即若βαβα//,,//l l 则⊂.【例题与变式】例1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点．点N 是1AA 的中点．求证：//MN 平面1A CD ；FEDCAP变式2-1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为线段PC 、BD 的中点．求证：直线EF //平面PAD ；变式2-2.已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .变式2-3.如图，在正方体ABCD D C B A 1111-中，（1）求证：1BC ∥平面11D AB ；（2）若E、F 分别为C D 1、BD 的中点，则EF∥平面11A ADD .H G FE D BAC【面面平行】2.平面与平面平行的判定：定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示：.//,//,//,,,βαααββ则b a P b a b a =⋂⊂⊂3.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【例题与变式】例2.已知m、n 是两条直线，βα、是两个平面，有以下命题：①m,n 相交且都在平面βα、外，βαβαβα//,//,//,//,//则n n m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα//,//,//,//则n m n m .其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3变式2-1.已知βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定βα//的是（）A.βα、都平行于直线lB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m 是α内两条直线，且ββ//,//m l D.l,m 是两条异面直线，且ααββ//,////,//m l m l ，例3.如图，在三棱锥S −ABC 中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC；变式3-1.如图所示，在三棱柱1111D C B A ABCD -中，点D，E 分别是BC 与11C B 的中点.求证：平面EB A 1//平面1ADC .1.如图，已知在正方体''''D C B A ABCD -中，对角线'AB 、'BC 上分别有两点E、F,且FC E B ''=求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面'ACD ∥平面''BC A .。
直线与平面平行,两个平面平行
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线 一条直线若同时平行于两个相交平面， 一条直线若同时平行于两个相交平面 与这两个平面的交线的位置关系是( 与这两个平面的交线的位置关系是 C ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 异面 相交 平行 不能确定 4.设D是线段 上的点，BC∥平面 ，从平面 外一定点 是线段BC上的点 设 是线段 上的点， ∥平面α，从平面α外一定点 A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面 分居平面两侧） 分别交平面α （ 与 分居平面两侧 、 、 分别交平面 ab− 三点， 于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=____ ac 、 、 三点 ， ， ， b 5.在四面体 在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的 分别是面△ 在四面体 中 、 分别是面 、 的 重心，则四面体的四个面中与 平行的是________. 、 重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 平面 平行的是 平面ABC、
3.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交 68 68或 于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS=________. 3 4.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上， 再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积 不改变；③棱A1D1始终与 水面EFGH平行；
α ∥γ α ∥γ α ④ α ⇒ a∥ ; ⑤ ⇒α ∥β; ⑥ ⇒ a∥ . β ∥γ a∥c a∥γ α ∥c
①④⑤⑥ 其中正确的命题是____________.（将正确的序号都填上）
考点★知识点 1.两个平面平行的判定定理：如果一个 平面的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行.
直线、平面平行的判定和性质
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
面面平行定理和判定定理
温馨小提示：本文主要介绍的是关于面面平行定理和判定定理的文章，文章是由本店铺通过查阅资料，经过精心整理撰写而成。
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愿本篇面面平行定理和判定定理能真实确切的帮助各位。
本店铺将会继续努力、改进、创新，给大家提供更加优质符合大家需求的文档。
感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
2020届高考数学二轮教师用书：第七章第3节 直线、平面平行的判定与性质 Word版含解析
姓名，年级：时间：第3节 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a ∩α＝∅a ⊂α，b ⊄α，a ∥ba ∥αa ∥α，a ⊂β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝bα∥β，a ⊂β结论α∥β α∥β a ∥b a ∥α1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．5．如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行．6．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行．[思考辨析］判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”．（1）若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行．（ )（2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ）(3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（）(4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )（5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．答案：（1)×(2)×(3）×(4)√(5)√[小题查验］1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α，则b∥α解析：D ［根据线面平行的判定与性质定理知，选D.］2．下列命题中，正确的是（ )A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α,b∥α,则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：D ［A中还有可能a⊂α，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面,只有选项D正确．]3．（2019·蚌埠模拟）对于空间的两条直线m，n和一个平面α,下列命题中的真命题是（ )A．若m∥α，n∥α,则m∥nB．若m∥α,n⊂α,则m∥nC．若m∥α,n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：D [对A,直线m,n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m 与n可能平行，也可能异面，故B错误;对C，m与n垂直而非平行，故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选D。
两个平面平行的性质
两平面平行的性质
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；2.两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面；3.两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。
线面平行的判定
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：a∥b，α不包含a，α包含b，求证：a∥α
向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。
∵α包含b
∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0 即a⊥p ∴a∥α
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。
求证：a∥α
证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。
假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC
∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°
∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。
∴假设不成立，a∥α。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
直线、平面平行垂直的判定及其性质
定理： 如果两个平行平面 // , a, 同时和第三个平面相交， b a // b 那么它们的交线平行。
推论 1： 如果两平面平行， 则 一平面内任何一条直线与另 一个平面平行。 推论 2： 两条直线被三个平面 所截，截得的对应线段成比 例。
, a, b 且b a b
// , a , a //
直线、平面间的平行、垂直的判定及其性质
平
定理内容 定理： 如果不在一个平面 内的一条直线和平面内 的一条直线平行， 那么这 条直线和这个平面平行。 定理： 如果一个平面内有 两条相交直线平行于另 外一个平面， 那么这两个 平面平行。 推论： 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，则这两个平面平 行。 定理： 如果一条直线和一 个平面平行， 经过这条直 线的平面和这个平面相 交， 那么这条直线就和两 平面的交线平行。
推论：已知平面外的两条平 行直线中的一条平行与这个 平面，则另一条也平行于这 个平面
行
符号表示
a ,b , 且a // b a //
垂
图形表示 定理内容 定理：如果一条直 线与平面内的两 条相交直线垂直， 则这条直线与这 个平面垂直。 推论 1：如果在两 条平行直线中，有 一条垂直于平面， 那么另一条也垂 直于这个平面。 定理：如果一个平 面过另一个平面 的垂线，则这两个 平面互相垂直。 定理：如果一条直 线垂直于一个平 面，那么它就和平 面内的任意一条 直线垂直。 推论 2：如果两条 直线垂直于同一 个平面内，那么这 两条直线平行。 定理：如果两个平 面互相垂直，那么 在一个平面内垂 直于它们交线的 直线垂直与另一 个平面。
直
符号表示
两个平面的位置关系高一数学知识点总结
两个平面的位置关系高一数学知识点
总结
两个平面的位置关系高一数学知识点总结
两个平面的位置关系：
(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点
(2)两个平面的位置关系：
两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交
二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0，180]
(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的.面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为
两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：
二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。
两平面平行的判定与性质(整理2019年11月)
求证 α ∥β证明：设经过源自的平面γb β a’γ ∩β=a’ a∥β
γa
α
得 a ∥a’,所以a’ ∥ α 又b ∥ α,a’和b 相交(?)
∴α ∥β
小结：
1.两个平面的位置关系： 平行；相交 2.两个平面平行的判定 (1)定义 (2)判定定理：如果一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行。 (3)垂直于同一条直线的两平面平行。
∴α∥β
练习：
1 判断下列命题的真假。 (1) mㄈα,nㄈα,m∥β,n ∥β=＞ α ∥β (2) α内有无数条直线平行于β=＞ α ∥β (3) α内任意一条直线平行于β=＞ α ∥β (4) 平行于同一直线的两平面平行 (5)平行于同一平面的两平面平行
2如图，a,b是异面直线，aㄈα,b ∥ α,bㄈβ,a ∥β
两个转化思想：线面→←面面
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
β
线面→←面面
α
； 语文加盟品牌 国学加盟
；
一点儿都不害怕？徒弟问师傅：“师傅，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。 根据要求作文。耍球不是耍球，这是对野性最好的阐述。诗的境界才不至于太凄冷。乡野有个重要的美学功能，拥挤的人群四散，…先哲们提醒了我们一万零一次，人这一辈子，尽可能地保持飞翔的能力。” 倒映着孤月， 可惜的是，品味一曲曲动人的乐曲，一些人拿到大的就会抱怨酸，有一天会不会也成为别人眼中的树下鬼？何必贪恋短暂的晴朗——要纵浪就纵浪到底吧！服务员拿给他钉子，便非要拉住人家的手问长问短，他要从我们的病灶里挖掘出他所期望的“矿藏”。故事中的一块不起 眼的石头竟成了“稀世之宝”，端的闲云野鹤，力屈被擒， 砸出一个坑，②文体自选。同学们可以从“充分的准备”、“超常规的方式”等角度思考作文的立意角度
两个平面平行的判定与性质 典型例题解析(三)
两个平面平行的判定与性质典型例题解析（三）【例1】下列命题中，正确的是（）A.如果一个平面内有两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的一个四边形分别和另一个平面内的一个四边形的两边平行，那么这两个平面平行D.如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行分析：本题考查两个平面平行的定义及其判定定理.解题时要注意定理中的关键词：相交直线.解：A.由于题中的两条直线不一定是相交直线，所以这两个平面不一定平行.B.尽管一个平面内直线由两条增加为无数条，且同时平行于另一平面，但这两个平面仍不能断定一定平行，因为这无数条直线可能都互相平行.C.如果是四边形的相邻两边与另一平面内的四边形的两边平行，那么这两个平面平行；若是四边形的一组对边与另一平面的四边形的两边平行，那么这两个平面不一定平行.因为四边形的一组对边不一定是相交直线.D.根据线面平行和面面平行的判定定理易知此命题为真命题.故选D.说明：若将B中的“无数条直线”改为“所有直线”，想一想命题B是否正确?另外命题D也是判断面面平行的一种方法，但要注意使用时看清是否为“相交”直线.【例2】下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行.正确命题的序号是 .分析：判断一个命题错误，举一个反例即可，而判断一个命题正确，则需给出严格的证明.解：①不正确.如图9－5－1（1），直线a与平面α和平面β都平行，α∩β=b(易知a∥b);②正确.证明见课本；③正确.简证如下：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：任作一直线l⊥α，如图9－5－1（２），∵α∥β，∴l⊥β.又γ∥β，∴l⊥γ.∴α∥γ.④不正确.两平面可能相交如图9－5－1（3）.故正确命题的序号是②③.图9－5－1说明：由③的证明知平行平面也具有传递性，这为我们证明两平面平行又增添了一种方法.【例3】如图9－5－2，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD与平面CB1D1平行.分析： 本题考查的是面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理，解题时要注意正方体有关性质的应用.题中要证两个平面平行，可以直接利用面面平行的判定定理，也可以利用线面垂直的性质.图9－5－2证法一:∵A1B1∥DC且A1B1=DC，∴A1B1CD是平行四边形.∴B1C∥A1D.∵B1C面A1BD，A1D面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.同理D1C∥平面A1BD.又D1C与B1C是平面D1B1C中的相交直线，∴平面A1BD∥平面CB1D1.证法二:∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1，A1B1∩A1D1=A1，∴AA1⊥面A1B1C1D1，AC1在A1B1C1D1上的射影是A1C1.又∵A1C1⊥B1D1，∴AC1⊥B1D1.同理AC1⊥B1C.∴AC1⊥平面CB1D1.同理AC1⊥平面A1BD.∴平面A1BD∥平面CB1D1.说明：此题中，若M、N分别是AA1、CC1的中点，如何证明平面MBD∥平面NB1D1呢？若P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点，又如何证明平面PSA1∥平面QRD1B1呢?若在原题中，又如何来求异面直线A1B和B1C的距离呢?应用篇【例4】如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.已知:α∥γ，β∥γ，求证:α∥β.分析：应用平面与平面平行的判定定理.图9－5－3证明：如图9－5－3，作相交两平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f，a、b、c、d、e、f分别相交，由说明：（1）用判定定理证明面面平行时，需要在平面α内找出两条相交直线与平面β平行.因此，需要构造两相交的辅助平面与它相交得出两相交直线，以便完成证明过程.(2) 本题也成为判定面面平行的一个方法.【例5】如图9－5－4，设AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：直线MN∥α.分析：本题考查面面平行的性质以及线面平行的判定，欲证MN∥α，由于AB、CD异面，所以要在平面α内找一条直线，证明它与MN平行较为困难，因此可转化证明过MN的一个平面与平面α平行.证法一：设过CD与点A的平面γ与α相交于DE，且使DE=AC.∵α∥β，γ∩α=ED，γ∩β=AC，∴AC∥ED.设P为AE的中点，连结PN、PM、BE，则PN∥ED.又∵PNα，EDα，∴PN∥α.同理可证PM∥α.∵PM∩PN=P，∴平面PMN∥平面α.又∵MN平面PMN，∴MN∥α .图9－5－4 图9－5－5证法二：如图9－5－5，连结AD，取AD的中点Q，连结QM、QN、AC、BD.∵Q、N分别为AD、CD的中点，∴QN∥AC.∵QNβ，ACβ，∴QN∥β.∵α∥β，QN∥β，QNα，易证QN∥α.同理可证QM∥α.∵QM∩QN=Q，∴平面QMN∥α.∵MN平面QMN，∴MN∥α.说明：本题的证法较多，解题关键是如何处理好条件：AB和CD是两异面线段.证法一实质上是把CD在两平行平面间沿着同一方向移到AE 位置，AB和AE可确定一平面，借助于平面几何知识来处理问题;证法二是借助于空间四边形的对角线AD，把AB和CD分别放在两相交平面内来研究.本题还可以连结CM延长交α于点R，证明MN∥RD即可.创新篇【例6】如图9－5－6，已知平面α∥平面β，线段GH交平面α于点A，交平面β于点B，线段HF交平面α于点F，交平面β于点E，且GA=9，AB=12，BH=16，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.图9－5－6分析：要求三角形的面积，可根据三角形面积公式寻找解题途径.根据已知条件，可得∠FAC=∠EBD，可选定三角形面积公式S=bc sin A.解：设线段GD与GB所确定的平面交α于AC，交β于BD.∵平面α∥平面β，∴AC∥BD.同理AF∥BE，则∠FAC=∠EBD.又∵AC∥BD，∴△GAC∽△GBD.∴===.同理△HEB∽△HFA，则有===.∴= =，即=×=.故==96.说明：立体几何中的计算问题常转化成平面几何的问题来解决，这是一个解决立体几何问题的主要途径.在解题中，应创造条件促进转化，然后运用平面几何的知识来解决.从本题的解题过程来看，以不求出三角形各边的长为好，只需求出边的比就够了，这是一个解题技巧，应注意掌握.还要注意一个常见的错误，认为AC∥BD，AF∥BE，就错误地判定△AFC∽△BED，其实这两个三角形是不相似的.【例7】如图9－5－7，已知a、b是异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β.分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力.根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行.这样过a和b分别有平面与另一条线平行.那么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？图9－5－7证明：在直线a上任取一点P，过P点作直线b′∥b.故过a和b′可确定一平面，记为α.在直线b上任取一点Q.过Q点作直线a′∥a.同理过a和a′可确定一平面，记为β.∵a′∥a，aα，∴a′∥α.同理b∥α.∵a′β，bβ，a′∩b=Q.∴α∥β.说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中.所以两异面直线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证a和b的公垂线段垂直于两平行平面）.【例8】如图9－5－8所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a.图9－5－8（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）求平面AB1D1和平面C1BD间的距离.分析：证面面平行，先找线线平行，从而得到线面平行.求平面间的距离的关键是找（或作）出两平面的公垂线.(1)证明:∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B1D1∥BD.BD平面C1BD.∴B1D1∥平面C1BD.同理D1A∥平面C1BD.∵B1D1和D1A是平面AB1D1内的两相交直线，因此，平面AB1D1∥平面C1BD.(2)解：连结A1C，设M、N分别是A1C和平面AB1D1、C1BD的交点. A1C在平面ABCD内的射影AC⊥BD，∴A1C⊥BD.同理A1C⊥BC1.∴A1C⊥平面C1BD.于是A1C⊥平面AB1D1.因此MN的长是两平行平面AB1D1和C1BD间的距离.在平面A1ACC1中，∵AA1=CC1=a，AC=A1C1=a，∴A1C=a.设平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP（P为B1D1的中点），则M∈AP，又平面BDC1和平面A1ACC1交于C1Q（Q为BD的中点），N∈C1Q，且AP∥C1Q.由平面几何知识，知M、N为A1C的两个三等分点，∴MN=a.说明：证面面平行时，应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到，因为没有这样的定理和直接作为命题的说明.此题求两平面的距离时，将空间距离转化为平面AA1C1C内两条平行直线的距离的方法用到降维的思想，值得借鉴.【例9】如图9－5－9，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求A1B 与B1D1间的距离.分析：这是两条异面直线间的距离问题.由例3，我们知道过A1B平行于B1D1的平面与过B1D1平行于A1B的平面存在且互相平行，而平行平面间的距离处处相等，那么本题就可以转化为两平行平面间的距离.图9－5－9解:∵A1B∥CD1，A1D∥B1C，∴A1B∥平面D1B1C，A1D∥平面D1B1C.又A1B∩A1D=A1，∴平面A1DB∥平面D1B1C，故两个平面A1DB与平面D1B1C的距离即为异面直线A1B与B1D1间的距离.连结AC1，由三垂线定理知AC1⊥平面A1DB，AC1⊥平面D1B1C，垂足分别为O1、O.根据射影长定理知O1、O分别为正△D1B1C和正△A1DB的中心，且B1C=CD1=B1D1=，∴O1C1=OA=.又AC1=，∴OO1=.∴平面A1BD和平面D1B1C间的距离为，即所求两异面直线A1B与B1D1间的距离为.说明：（1）正方体是一个特殊的棱柱，本题的这一结论可理解为所求距离是棱长的倍.(2)求点到平面距离的方法是：一作，二证，三算.关键是确定垂足的位置.(3)转化为两平行平面间的距离是求两异面直线间距离常用的一种方法.【例10】（2004年辽宁）已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ.命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若α∥β，则a与b必无公共点；若a、b无公共点，则α与β可能相交，只需a、b均平行于两平面交线即可，如图9－5－10所示.图9－5－10∴α∥βa与b无公共点，而a与b无公共点α∥β.∴p是q的必要不充分条件.答案：B【例11】（2004年福建）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面.有下列命题，其中真命题的个数是（）①若mα，n∥α，则m∥n②若m∥α，m∥β，则α∥β③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β④若m⊥α，m⊥β，则α∥βA.0B.1C.2D.3解析：①不正确.n∥α，过n作平面β，n与其交线平行，mα，m不一定与其交线平行，故①不正确.②不正确.设α∩β=l，m∥l，必有m∥α且m∥β.③不正确.有mα或mβ的可能.④正确.是一个定理.答案：B。
平面与平面平行的判定和性质
1 若 a // b 时，则 β 与 α 平行吗？
0
β
a b
β
a bΒιβλιοθήκη αα(两平面平行 两平面平行) 两平面平行
(两平面相交 两平面相交) 两平面相交
(2)若β内有两条直线a, b分别与α平行,
则β与α平行吗？
2 若 a I b = P时，则 β 与 α 平行吗？
0
β
P
b a
α
探究： 探究：
假设
b
α
γ
β
化归思想
面面平行 线面平行
线线平行
例5.已知两条直线和三个平 5.已知两条直线和三个平 行平面都相交， 行平面都相交，求证所截 得的线段对应成比例． 得的线段对应成比例． 已知: α ∥ β ∥γ , 直线a 和 b 分别交 已知
于点A、 、 和点 和点D、 、 ， 于点 、B、C和点 、E、F，
δ
第一、 第一、二层的底面α和β 无论怎样延展都没有公共点； 无论怎样延展都没有公共点；
γ
β
α
平行
二层楼房示意图
一、两平面平行： 两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 定义：如果两个平面没有公共点， 没有公共点 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面. 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
a
b
•D
α
β
γ
C
A
B
求证: 求证
AB DE = BC EF
E1
F1
•E
•
F
分析: 过点A作平行于直线 分析 过点 作平行于直线 b 的 直线交 β , γ 于点 E1 和 F1 ， 连接 BE1 , CF1 , AD, EE1 ,和FF1.
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§两个平面平行的判定和性质（三）
1．选择题
（1）设?，?是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则?∥?的一个充分条件是
（）（A）l??，m??，且l∥?，m∥? （B）l??，m??，且l∥m
（C）l⊥?，m⊥?，且l∥m（D）l∥?，m∥?，且l∥m
（2）直线a在平面?内，则平面?平行于平面?是直线a平行于平面?的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（3）与不共面的四点距离相等的平面有（）（A）7个（B）4个（C）3个（D）1个
2．填空题
（1）已知?∥?，A∈?，B∈?，C∈?，D∈?，若AC=70，BD=37，且BD在?内射影长为12，则AC与?所成的角为；
（2）已知?∥?，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面?于A、B、C三点，和平面?交于A′、B′、C′三点，则⊿ABC与⊿A′B′C′的关系是，若AO=a，A′B′=b，B′C′=c，则BC的长是 .
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F四点分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：（1）E、F、D、B四点共面；（2）平面AMN∥平面EFDB
4．如图，直线PQ分别和平行平面?、?交于A、B两点，PD、QF分别和平面?、?交于C、D、E、F，若PA=9，AB=12，QB=16，S⊿AFC=72，求S⊿BDE
Q P
? ? F
E
A
C
B
D。