二次曲面方程的标准化及其图形实质

在旋转变 换 X = PX 1 = PQX 1 下 , 方 程 ( 1)变 换 为
T T T XT 1 Q P AP QX 1 + B PQX 1 +c =0 2 即 λ ′ x 1 +b 2 ″ y 1 +c =0 , 这里 1 x 2 +b 1
+c =0
T 这里( b 1′ , b 2′ , b 3′ )= B P =(B η 1, B η 2, B η 3), 也 达 到
2 2 2 λ x 1 +b 2 ′ y 1 +b 3 ′ z 1 +c =0 1 x 1 +λ 2 y 1 +λ 3 z 1 + b1′
X AX +B X + c =0
T
T
( 2)
因 A 为对称 矩阵 , 可求 得矩阵 A 的特 征值 λ 不 1 、λ 2 、λ 3( 妨设 λ ,取λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ) 1 、λ 2 对应 单位正 交特征 向 量η 1 、η 2, 令 η 3 =η 1 ×η 2, 则 η 3 为 λ 3 对应 的单位特征 向 量。 以下定理及证明沿用如上记号 。 定理 1 : 设二次曲面方程( 1) 的二次 系数矩 阵 A 的 特 征值为以下情形之一 : ( a) λ 1λ 2 ≠0 ; ( b) λ 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 =0 。 x 作变换 X = PX 1 , 这里 P =( η 1, η 2, η 3), X = y z ,
cosห้องสมุดไป่ตู้θ -sin θ =Λ
而 B PQ =B T ( η Q 1 η 2 η 3)
第 3 期 贡韶红 : 二次曲面方程的标准化及其图形实 质 的列向量 。 示什么曲面 ? 0 解: 这里矩阵 A = 1 1 1
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0 1 , 解特征方程 λ E -A
1 1 0 =0 , 得 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 =-1 同前 , 可求得矩 阵 A 对应 于 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 = -1 的 单位正交特征向量 1 1 1 T 1 1 , , , - ,0 ,η 2= 3 3 3 2 2 1 1 2 T , , η 3 =η 1 ×η 2= 6 6 6 1 1 1 3 2 6 η 1= 构造矩阵 P = 1 3 1 3 x 作旋转变换 y z 形
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T T XT 1 P APX 1 +B PX 1 +c =0 ,
江苏广播电视大学学报 2003 年 1
T T T
0
0
即 X T 1
Λ X 1 +B PX 1 +c =0
T
= (B η 1 B η 2 B η 3) 0 cosθ -sin θ 0 sin θ cosθ T T = (B Tη cos θ B η + sin θ B η B Tη 1 2 3 -sinθ 2+ cosθ B Tη 3) = (B Tη 1
T 2 T 2 T 2 T
z′ 则在移动变换 x ρ :y z a′
c x′ y′ z′ 1 ,
cos θ = sin θ =
,
p 11 p 12 p 13 a′ = p 21 p 22 p 23 b′ p 31 p 32 p 33 c ′
( B η B η 2) +( 3) 则 此变换为旋转变 换 , 且在 此变 换下 , 方 程( 1) 变 换为 标 准形
T
一 、主要原理与方法
定义 : 通过平 移变 换即 可化 为标 准方 程的 二次 曲 面 方程称为准标准形方程 。 鉴于恒等变换 是特 殊的 平移 变换 , 所 以准 标准 方 程 中包括标准方程 。 空间二次曲面方程的一般形式为 a 11 x + a 22 y +a 33 z + a 12 xy + a 13 xz + a 23 yz + b 1 x +b 2 y +b 3 z + c =0 a 11 a 12 a 13 a 13 a 23 a 33 则方程( 1) 可表示为矩阵形式 b1 x z 记 A = a 12 a 22 a 23 , B = b 2 , X = y b3 ( 1)
( 3)
当λ 3) 为 曲面 方程 ( 1)的准 标准 形 方 1λ 2λ 3 ≠0 时 , ( 程 , 表示一中心二次曲面 。 当λ 3) 实际为 1λ 2 ≠0 , 而 λ 3 =0 时 , 方程(
2 2 λ ′ x 1 +b 2 ′ y 1 +b 3 ′ z1 1 x 1 +λ 2 y 1 +b 1 T T T
第 14 卷 第 3 期 江苏广播电视大学学报 V ol . 14 N o . 3 2003 年 6 月 JU RN A L O F JIAN GS U RAD IO & TE LEV ISIO N UN IV ERS ITY Jun . 2003
二次曲面方程的标准化及其图形实质
2 2 (B Tη (B Tη ) 2) + 3) 0
也就是说 , 通 过以 上 旋转 变 换 方程 ( 1) 可 消 去 二次 交 叉 项 , 从而变换为
2 2 2 λ x 1 + b2′ y 1 +b 3 ′ z 1 +c =0 1 x 1 +λ 2 y 1 +λ 3 z 1 + b1′ T T 这里(b1′ , b2 ′ , b 3′ )= B TP = (B Tη 1, B η 2, B η 3)。
(b1′ , b2 ′ )=( B Tη 1,
2 2 ( BTη BTη 2) +( 3))
( 5)
根据定理 1 与定理 2 , 我们有以下结论 。 定理 3 : 空间中任意二次曲面方程经过 一次旋转变 换 和一次平移变换总可以化为标准方程 。 定理 4 : 已知曲面 ∑ 的方程 F (x , y , z )=0 先通过 一 次旋转变换 σ: X = PX 1 p 11 p 12 p 13 x x1 , X 1 = y1 z1 , 这里矩阵 P = p 21 p 22 p 23 , X = y
准标准形 , 表示一非中心但中心轴对称的二次 曲面 。
T 当λ 3) 实际为 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 =0 时 , 方程( 2 λ ′ x 1 +b 2 ′ y 1 +c =0 1 x 1 +b 1 T 这里(b1′ , b2 ′ )=B TP =( B Tη , 也达到准标准形 。 1,B η 2)
z p 31 p 32 p 33 继而经过一次平移变换 τ :X =X′ + E 0 , 其中 x′ a X′ = y′ , E 0 = b
中 1 0 0 ( 4) cosθ
2
变换为 标准形 G(x′ , y′ , z′ ) =0 ,
P= ( η 1, η 2,η 3) 0 cosθ -sinθ 0 sin θ B Tη 2 (B η B η 2) +( 3) T B η 3
0 sin θ
0 cosθ λ 0 1 0 0 0 0 sinθ 0 0
Q = 0 cosθ -sin θ ,
AP =Λ, 这里 Λ= 0 0 1 0 cos θ
于是 Q P APQ = Q Λ Q= 0 λ 1 0 0
T
T T
T
0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 sin θ
0 0 cos θ
-sin θ cos θ
T -1
c′ G(x′ , y′ , z′ )=0 。 证明 : 显然 , 移动变 换 ρ是 旋转变 换 σ 与 平移 变换 τ 的复合 。 定理 5 : 设曲面 ∑ 的 方程 F(x , y , z )= 0 在定理 4 中 所示旋转变换 σ: X = PX 1 和平 移变换 τ : X = X′ +E 0 下 变换为标准形 G(x′ , y′ , z′ )=0 , 且 PE 0 =(a′b′c ′ )T , 记 矩阵 P 的列向量分别为 i′ 、 j′ 、k′ , 点 O′ =( a′ , b′ ,c ′ ) ,则 {O′ - i′ , j′ , k′ } 构成 新的空间直角坐标系 , 且曲面 ∑ 在 新 坐标系{ O′ -i′ , j′ , k′ } 下 方程即 为标 准形 G(x′ , y′ , z′ ) =0 。 证明 : 首 先 , 旋转变 换矩阵 P 为 正交矩 阵 , 故 其列 向 量 i′ 、 j′ 、k′ 为相互正交的单位向量 , 又因为 P =(i′ × j′ ) ·k′ =1 , 故 k′ = i′ ×j′ , 从 而 i′ 、 j′ 、k′ 满足右 手法则 , { O′ -i′ , j′ , k′ } 构成新的空间直角坐标系 。 其次 , 因为曲面 ∑ 在 x′ y′ z′ 新坐标系下方程即为标 准 形 G(x′ , y′ , z′ ) =0 , 故只 需证明 x′ y ′ z′ 坐标 系的原 点 O′ 坐标是(a′ , b′ ,c ′ ), 同时单位坐标向量 i′ 、 j′ 、k′ 是 矩阵 P
综上 , 无论是情形( a ) 还是情形( b) , 二次曲面方程( 1) 总可以在旋转变换 X =PX 1 下变换为准标准 形 。 定理 2 : 设二次曲面方程( 1) 的二次 系数矩 阵 A 的 特
T 征值 λ 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 ≠0 , 作变换 X = PX 1 , 其
2 λ ′ x 1 +b 2 ″ y1 1 x 2 +b 1
其中 b′ = PE 0 下 , 曲面方程也变换为标准形 +c = 0 , 这里(b 1 ′ , b 2′ )=( B η 1,
T T 2 T 2
( B η B η 2) +( 3) ) 证明 : 显然这里 X = PX 1 是旋转变换 。 记矩阵 P = (η 1, η 2,η 3) , 1 0 则 P A P =P
2 2 2
其中 ,( b1 ′ , b 2′ , b3 ′ )=B P =( B η 1, B η 2,B η 3) 证明 : 矩阵 P =( η 中列向 量 η 1, η 2, η 3) 1 、η 2 、η 3 为矩 阵 A 的单位正交特征向量 , 故 P 为正交矩 阵 , 且 P -1 AP λ 1 =P AP = Λ, 其中 Λ= 0
贡韶红
( 无锡市电大江阴分校 , 江苏 江阴 214400)
摘 要 : 任意二次曲面方程在一次旋 转变换 和一次 平移变换 下总能 化为标 准形 , 依此方 法易见 图 形实质 。 关键词 : 二次曲面 ; 旋转变换 ; 准标准形 ; 标准形 中图分类号 : O182 . 2 文献标识码 : A 文章编 号 : 1008 -4207( 2003) 03 -0049 -04 简单 的 二次 曲 面标 准 式 方程 所 示图 形 的 类型 及 形 状 , 由书本知识我们即可判 断 , 但 对于一 些复杂 的二次 曲 面方程的具体图形则很难辨 认 。 常见的 用不变 量化简 二 次曲面 , 不易写出坐标变换 。 文献[ 4] 中 正交变 换再平 移 有时还需再加旋转的方法 , 过程稍 烦 , 也 不能建 立起右 手 直角坐标系间的对应关系 。 本文 从二次 曲面的 两个单 位 正交主方向出 发 , 给 出对 二次 曲面 方程 进行 标准 化的 新 方法 , 证明任意二 次 曲面 方程 在一 次旋 转变 换和 一次 平 移变换下 总能 变换 为标 准形 。 此外 , 一 般文 献仅 关注 图 形的具体形状 , 即曲面方程 的标准 形求解 , 而忽 略了实 际 图形的具体位置 , 这些正是 本文关 注的 , 由于我 们这里 采 用的标准化过程非常简洁 , 可用公 式表述 , 同时 建立起 空 间右手直角坐 标系 及方 程间 的对 应 关系 , 图 形实 质显 而 易见 。 x1 X 1 = y1 , 则 X =PX 1 是旋转变换 , 且在此变换下原 方 z1 程( 1) 化为准标准形
T
T
T
T
T
0 λ 2
0 0
0 0 λ 3 X = PX 1 为正 交变换 , 同时 由 η 3 =η 1 ×η 2 可得 P = (η ·η 1 ×η 2) 3 =1 , 于是线性变换 X =PX 1 为旋转变换 。 在此变换下方程( 1) 化为
收稿日期 : 2003 -05 -13 作者简介 : 贡韶红( 1968 ) , 女 , 江苏江阴人 , 无锡市电大江阴分校讲师 , 理学硕士 。