交大硕士研究生必修基础数学-数值分析-插值与拟合方法

第5章 插值与拟合方法

插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。

本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。

1 实际案例

2 问题的描述与基本概念

先获得函数（已知或未知）()

=在有

y f x

由表中数据构造一个函数P(x)作为f(x) 的近似函数，去参与有关f (x)的运算。

科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。

1）插值问题的描述

已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点n

x x x ⋅⋅⋅,,10处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足

()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （5.1）

● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数; ● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。

当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。 一个代数插值函数P (x )可写为

0()()()

m

k

m k k k P x P x a x a R ===∈∑

若它满足插值条件（5.1），则有线性方程组

20102000

201121112012m m m m m n n m n n

a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （5.2）

当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式

)(1

11021

21102

00j i n

i j n n

n

n

n n

x x x x x x x x x x x D -∏==

≤≤≤

因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（5.2）有唯一解，于是有

定理 5.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。

定理 满足插值条件(5.1)的n 次插值多项式是唯一的。

证明 设(),()P x Q x 是两个满足插值条件(5.1)的n 次插值多项式，于是有

()()()(0,1,,)

i i i P x Q x f x i n ===⋅⋅⋅

令

()()()

H x P x Q x =-

显然有()H x 是次数≤n 的多项式，且

()()()()()0(0,1,,)

i i i i i H x P x Q x f x f x i n =-=-==⋅⋅⋅

说明()H x 有n +1个零点，由代数基本定理有H (x ) ≡ 0，由此得()()P x Q x ≡。

插值的一个目的是对函数作近似计算。

假设[a, b ] 是包含插值点01,,,n x x x 的最小闭区间，当用插值函数P (x )来近似计算x 在[a, b ]的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。

2）拟合问题的描述

已知()y f x =在[a,b ]上的n +1个(互异或不互异)点n

x x x ⋅⋅⋅,,10处的函数值()i i y f x =，

求f (x ) 的一个近似函数)(x ϕ，满足拟合条件

min =δ

这里δ是n +1维向量，是某种范数，T n ),,(10δδδδ =，)()(i i i x x f ϕδ-=。

求出的)(x ϕ称为拟合函数。

3）插值函数和拟合函数的几何解释

1) 插值函数图示

2）拟合函数图示

5.3插值法

grange插值

Lagrange插值是n次多项式插值。

基本思想

将待求的n次多项式插值函数)(x

P

n改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式形式求出插值多项式。

1) 构造原理

已知数表

设n 次插值多项式

00110()()()()()n

n n n n nn i in i L x y l x y l x y l x y l x ==++

+=∑ （5.3）

式中()(0,1,,)in l x i n =是与i y 无关的n 次多项式。

由插值条件（5.1），有

()()()n

n k k kn k i in k k

i i k

L x y l x y l x y =≠=+=∑(0,1,,)

k n =⋅⋅⋅

由于k y 与()(0,1,2,

,)in l x i n =无关，可得

()()

1,0,1,2,

,0in k ik i k

l x i k n i k

δ=⎧===⎨

≠⎩ （5.4）

为确定()x l in ，注意到()x l in 是n 次多项式，由式（5.4）可知

()()

k n

i k k in x x a x l -∏=≠=0

式中a 为待定常数，由()1in i l x =确定，于是有

)

0,1,2,n （5.5）

代入式（5.3），有