专升本第四章 不定积分

第四章 不定积分

【知识点1原函数与不定积分的概念】

1. 定义

()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⇔()()f x dx F x C =+⎰ ()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分。 说明（1）函数()f x 在区间I 上连续⇒原函数一定存在；

（2）()f x 的任意两个原函数之间仅相差一个常数。

2. 不定积分与导数的关系

（1）()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣

⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2） ()()F x dx F x C '=+⎰ 或 ()()dF x F x C =+⎰ ．

1.（2006）若11()x x f x e

dx e c --=+⎰，则()f x =（ ） 2.（2009）下列等式中，正确的一个是（ ） A ()()f x dx f x '

⎡⎤=⎣⎦⎰ B ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦

⎰ C ()()F x dx f x '=⎰ D ()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦

⎰ 3.（2010）不定积分()df x =⎰（ ）

4.（2013）若211(),2()

xf x dx x c dx f x =+=⎰⎰则（ ） 5.（2014）设1()arctan ,()xf x dx x c dx f x =+=⎰⎰

则（ ）

6.（2015）若2(),()x f x dx xe c f x -=+⎰则等于（ ），其中c 为常数。

7.（2016）设函数(),()f x g x 均可导，且同为()F x 的原函数，且有(0)5,(0)2,f g ==

()()f x g x -=则（ ）

。 8.（2017）设1()arcsin ,.()

xf x dx x c dx f x =+⎰⎰求（ ） 9.（2019）设函数()f x 在区间I 内连续，则()f x 在区间I 内（ ）

A 必存在导函数

B 必存在原函数

C 必有界

D 必有极值

10.（2019）设函数()f x 在区间(,)-∞+∞内连续，则()d f x dx ⎡⎤=⎣⎦

⎰（ ） 【知识点2基本积分公式】

1.（2011）3x x e dx =⎰（ ）

2.（2019）不定积分3

(2)x x dx +=⎰（ ） 【知识点3第一类换元法（凑微分法）】

用来求被积函数含有复合函数的不定积分

()[()]()[()]()()()[()]x u f x x dx f x d x f u du F u C F x C

ϕϕϕϕϕϕ='==+=+=⎰⎰⎰1. （2006）若22(),(1)f x dx x C xf x dx =+-⎰⎰求。

2.（2008）设()f x 的一个原函数是ln x ，求

()()f x f x dx '⎰。 3.（2009）设()x f x e -=，则

(ln )f x dx x '=⎰（ ） 4.（2011）求2

3sin cos x xdx ⎰。 5.（2019）求不定积分(12ln )dx x x +⎰。

6.（2019）计算不定积分1x

x

e dx e +⎰。

7.（2019）已知22()sin ,()f x dx x x c x f x dx =+=⎰⎰则（ ）

8.（2005）求不定积分

12cos dx x +⎰ 9.计算下列不定积分

（1）132dx x

+⎰ （2）(12ln )dx x x +⎰ （3）3sin xdx ⎰ （4）2cos xdx ⎰ （5

）⎰ （6）3sin cos x dx x ⎰ （7

）

（8.）102

tan sec x xdx ⎰ （9）2

3(2)x dx x +⎰

【知识点4第二类换元法】

用来求被积函数含有根式的不定积分

（1

t =；

（2

sin x a t =；

（3tan x a t =； 三角换元

（4sec x a t =． 1.（2013）求不定积分

322(1)dx x -⎰。 2. 计算下列不定积分

（1）

3222()dx x a +⎰ （2）⎰

【知识点5分部积分法】

用来求被积函数是两个函数相乘的不定积分 uv dx udv uv vdu '==-⎰⎰⎰

注意：选择凑dv 的优先级 ⎫⎧⎬⎨⎭⎩三角函数反三角函数幂函数指数函数对数函数

1.（2005）lnsin tan xd x =⎰（ ）

A tan lnsin x x x c -+

B tan lnsin x x x c ++

C tan lnsin cos dx x x x

-⎰ D tan lnsin cos dx x x x +⎰ 2.（2009

）求不定积分。

3.（2010）求不定积分2ln 1

x dx x -⎰。

4.（2015）求sin ax e bxdx ⎰。

5.计算下列不定积分

（1）cos x xdx ⎰ （2）x xe dx -⎰

（3）arctan x xdx ⎰（4）arcsin xdx ⎰ （5）sin x e xdx ⎰