自动控制原理第三章习题参考答案
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2 2
3-16已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求Kp、 Kv、Ka
(3) G ( s)
10 （2s 1)(4s 1) s 2 ( s 2 2s 10)
10 （2s 1)(4s 1) K p lim G( s) lim 2 2 s 0 s 0 s ( s 2 s 10) 10 （2s 1)(4s 1) K v lim sG ( s) lim s 2 2 s 0 s 0 s ( s 2s 10) 10 （2s 1)(4s 1) K a lim s G( s) lim s 2 2 1 s 0 s 0 s ( s 2s 10)
(20-10K-K2)/(10-K)>0
K>0 0<K<1.708
-11.78<10<1.708
K>0
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。 100 特征方程：1+G(s)=0 （1）G ( s ) (0.1s 1)(s 5) 0.1s2+1.5s+105=0 解： K v lim sG ( s ) 0 s 0 S2 0.1 105
12 - 0.8 11.2 Kt 0.31 25 1.44 36
3-9 系统如图所示，要求： R(s)
1s
-
-
10 s ( s 1)
C(s)
2s
（1）取τ1=0， τ2=0.1，计算测速反馈系统的超调量、 调节时间和速度误差。 （2）取τ1=0.1， τ2=0，计算比例微分校正系统的超调 量、调节时间和速度误差。 10 10 2 解（1）开环传递函数 G( s) 2 s (1 10 2 ) s s 2s n 10 3.162 3.5 2 1 0.316 % 35.1% t s 3.5s n 2 n 3.162 1 10 ess 0.2 K p lim sG ( s ) 5 Kv s 0 2
Y ( s) 1 1 600 ( s) 12 （ ） 2 R( s ) s 10 s 60 s 70s 600
n 600 24.5
70 70 1.43 2 n 2 24.5
3-7 简化的飞行控制系统结构图如下，试选择参数K1和Kt， 使系统的ωn=6，ξ=1
10 （2s 1) s 2 ( s 2 6s 100)
K p lim G( s)
s 0
Kv
K a lim s 2 G( s) 0.1
s 0
2 2 2 ess 20 1 K p Kv Ka
3-16已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求Kp、 Kv、Ka
R(s)
-
-
K1
25 s ( s 0.8)
C(s)
Kt s
解：
25 25K1 s ( s 0.8) G( s) 2 25K 1 K t s s (0.8 25K1 K t ) s 1 s ( s 0.8) K1
n 5 K1 6 K1 1.44 0.8 25K1 K t 2n 2 1 6 12
2 r (t ) 2t ess Kv r (t ) 2 2t t 2
K p lim G( s) 20
s 0
S1 1.5 S0 105
系统稳定
Kv 0
K a lim s 2 G( s) 0
s 0
2 2 2 ess 1 K p Kv Ka
S4+s2-2=0 (s2+2)(s2-1)=0 s1,2=±1.414j s3,4=±1 ∴1对虚根s1,2=±1.732j
(3) s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0
劳斯列表
S5 S4 1 3 12 20 80/3 25 35 25 5s2+25=0
10s=0 第1列符号无变化，系统无右根 5s2+25=0
S2+5=0
S3 16/3 S2 5
S1 10 S0 25
s1, 2 5 j
有1对纯虚根，系统临界稳定。
3-13单位反馈系统的开环传递函数为：
K (0.5s 1) G( s) s( s 1)(0.5s 2 s 1)
确定使系统稳定的K值范围。 解：闭环传递函数为：
K (0.5s 1) ( s) 0.5s 4 1.5s 3 2s 2 (1 0.5K ) s K K ( s 2) 4 s 3s 3 4s 2 (2 K ) s 2 K
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。 （3） G(s) 特征方程：1+G(s)=0 s4+6s3+100s2+20s+10=0 S4 1 100 10 解： K v lim sG ( s ) s 0 S3 6 20 第1列系数均 2 r (t ) 2t ess 0 S2 96.7 10 为正，系统 Kv 稳定 S1 19.4 r (t ) 2 2t t 2 S0 10
S1 €
S0 48
（2）s6+4s5-4s4+4s3-7s2-8s+10=0
劳斯列表
S6 S5 S4 1 4 -5 -4 4 -5 -7 -8 10 -5s4-5s2+10=0 -20s3-10s=0 第1列符号变化2次，有两个右根。 系统不稳定 10
S3 -20 -10 S2 -2.5 S1 -90 S0 10 10
K P lim sG ( s ) 10 速度误差系数：
s 0
速度误差：
1 ess 0.1 Kp
3-11 已知系统的特征方程为：
3s 4 10s 3 5s 2 s 2 0
用劳斯判据确定系统的稳定性 解：列劳斯列表 S4 3 5 2
S3 10
S2 4.7 S1 -3.26
1
2
S0 2 第1列符号变化两次， 说明有两个正根，系统不稳定。
3-12 已知系统的特征方程如下，试求系统在S右半平面的根 数及虚根值。
（1） s 3s 12s 24s 32s 48 0
5 4 3 2
S5 1 S4 3 S3 4 S2 12
12 24 16 48
32 48 0 12S2+48=0 S2+4=0 S1,2=±2j 两个纯虚根
特征方程：
s 4 3s 3 4s 2 (2 K )s 2K 0
s 3s 4s (2 K )s 2K 0
4 源自文库 2
劳斯列表： S4 1 4 2K
S3
3
2+k
2K
S2 (10-K)/3 S1 (20-10K-K2)/(10-K) S0 2K
欲使系统稳定，劳斯列表的第一列系数必须大于零 10-K>0 K<10
R(s)
1s
-
-
10 s ( s 1)
C(s)
2s
10(1 1 s) 10(1 0.1s) （2）开环传递函数 G( s) s( s 1) s(s 1) s 10 ( s) 2 s 2s 10 2 系统存在一个 0 . 316 n 10 3.162 零点Z=-10 2 n
(2) G( s)
K s( s 2 4s 200)
K K p lim G( s) lim 2 s 0 s 0 s ( s 4s 200 ) K K K v lim sG ( s) lim s 2 s 0 s 0 s( s 4s 200) 200 K K a lim s G( s) lim s 0 2 s 0 s 0 s( s 4s 200)
3-6 已知控制系统的阶跃响应为：
h(t ) 1 0.2e 60t 1.2e 10t
试确定系统的阻尼比ξ和自然频率ωn 解：对h(t)求导，得系统的单位脉冲响应为：
y(t ) h’ (t ) 12e 60t 12e 10t 12 （e 10t - e 60t）
2 2
3-16已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求Kp、 Kv、Ka
(3) G ( s)
10 （2s 1)(4s 1) s 2 ( s 2 2s 10)
10 （2s 1)(4s 1) K p lim G( s) lim 2 2 s 0 s 0 s ( s 2 s 10) 10 （2s 1)(4s 1) K v lim sG ( s) lim s 2 2 s 0 s 0 s ( s 2s 10) 10 （2s 1)(4s 1) K a lim s G( s) lim s 2 2 1 s 0 s 0 s ( s 2s 10)
(20-10K-K2)/(10-K)>0
K>0 0<K<1.708
-11.78<10<1.708
K>0
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。 100 特征方程：1+G(s)=0 （1）G ( s ) (0.1s 1)(s 5) 0.1s2+1.5s+105=0 解： K v lim sG ( s ) 0 s 0 S2 0.1 105
12 - 0.8 11.2 Kt 0.31 25 1.44 36
3-9 系统如图所示，要求： R(s)
1s
-
-
10 s ( s 1)
C(s)
2s
（1）取τ1=0， τ2=0.1，计算测速反馈系统的超调量、 调节时间和速度误差。 （2）取τ1=0.1， τ2=0，计算比例微分校正系统的超调 量、调节时间和速度误差。 10 10 2 解（1）开环传递函数 G( s) 2 s (1 10 2 ) s s 2s n 10 3.162 3.5 2 1 0.316 % 35.1% t s 3.5s n 2 n 3.162 1 10 ess 0.2 K p lim sG ( s ) 5 Kv s 0 2
Y ( s) 1 1 600 ( s) 12 （ ） 2 R( s ) s 10 s 60 s 70s 600
n 600 24.5
70 70 1.43 2 n 2 24.5
3-7 简化的飞行控制系统结构图如下，试选择参数K1和Kt， 使系统的ωn=6，ξ=1
10 （2s 1) s 2 ( s 2 6s 100)
K p lim G( s)
s 0
Kv
K a lim s 2 G( s) 0.1
s 0
2 2 2 ess 20 1 K p Kv Ka
3-16已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求Kp、 Kv、Ka
R(s)
-
-
K1
25 s ( s 0.8)
C(s)
Kt s
解：
25 25K1 s ( s 0.8) G( s) 2 25K 1 K t s s (0.8 25K1 K t ) s 1 s ( s 0.8) K1
n 5 K1 6 K1 1.44 0.8 25K1 K t 2n 2 1 6 12
2 r (t ) 2t ess Kv r (t ) 2 2t t 2
K p lim G( s) 20
s 0
S1 1.5 S0 105
系统稳定
Kv 0
K a lim s 2 G( s) 0
s 0
2 2 2 ess 1 K p Kv Ka
S4+s2-2=0 (s2+2)(s2-1)=0 s1,2=±1.414j s3,4=±1 ∴1对虚根s1,2=±1.732j
(3) s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0
劳斯列表
S5 S4 1 3 12 20 80/3 25 35 25 5s2+25=0
10s=0 第1列符号无变化，系统无右根 5s2+25=0
S2+5=0
S3 16/3 S2 5
S1 10 S0 25
s1, 2 5 j
有1对纯虚根，系统临界稳定。
3-13单位反馈系统的开环传递函数为：
K (0.5s 1) G( s) s( s 1)(0.5s 2 s 1)
确定使系统稳定的K值范围。 解：闭环传递函数为：
K (0.5s 1) ( s) 0.5s 4 1.5s 3 2s 2 (1 0.5K ) s K K ( s 2) 4 s 3s 3 4s 2 (2 K ) s 2 K
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。 （3） G(s) 特征方程：1+G(s)=0 s4+6s3+100s2+20s+10=0 S4 1 100 10 解： K v lim sG ( s ) s 0 S3 6 20 第1列系数均 2 r (t ) 2t ess 0 S2 96.7 10 为正，系统 Kv 稳定 S1 19.4 r (t ) 2 2t t 2 S0 10
S1 €
S0 48
（2）s6+4s5-4s4+4s3-7s2-8s+10=0
劳斯列表
S6 S5 S4 1 4 -5 -4 4 -5 -7 -8 10 -5s4-5s2+10=0 -20s3-10s=0 第1列符号变化2次，有两个右根。 系统不稳定 10
S3 -20 -10 S2 -2.5 S1 -90 S0 10 10
K P lim sG ( s ) 10 速度误差系数：
s 0
速度误差：
1 ess 0.1 Kp
3-11 已知系统的特征方程为：
3s 4 10s 3 5s 2 s 2 0
用劳斯判据确定系统的稳定性 解：列劳斯列表 S4 3 5 2
S3 10
S2 4.7 S1 -3.26
1
2
S0 2 第1列符号变化两次， 说明有两个正根，系统不稳定。
3-12 已知系统的特征方程如下，试求系统在S右半平面的根 数及虚根值。
（1） s 3s 12s 24s 32s 48 0
5 4 3 2
S5 1 S4 3 S3 4 S2 12
12 24 16 48
32 48 0 12S2+48=0 S2+4=0 S1,2=±2j 两个纯虚根
特征方程：
s 4 3s 3 4s 2 (2 K )s 2K 0
s 3s 4s (2 K )s 2K 0
4 源自文库 2
劳斯列表： S4 1 4 2K
S3
3
2+k
2K
S2 (10-K)/3 S1 (20-10K-K2)/(10-K) S0 2K
欲使系统稳定，劳斯列表的第一列系数必须大于零 10-K>0 K<10
R(s)
1s
-
-
10 s ( s 1)
C(s)
2s
10(1 1 s) 10(1 0.1s) （2）开环传递函数 G( s) s( s 1) s(s 1) s 10 ( s) 2 s 2s 10 2 系统存在一个 0 . 316 n 10 3.162 零点Z=-10 2 n
(2) G( s)
K s( s 2 4s 200)
K K p lim G( s) lim 2 s 0 s 0 s ( s 4s 200 ) K K K v lim sG ( s) lim s 2 s 0 s 0 s( s 4s 200) 200 K K a lim s G( s) lim s 0 2 s 0 s 0 s( s 4s 200)
3-6 已知控制系统的阶跃响应为：
h(t ) 1 0.2e 60t 1.2e 10t
试确定系统的阻尼比ξ和自然频率ωn 解：对h(t)求导，得系统的单位脉冲响应为：
y(t ) h’ (t ) 12e 60t 12e 10t 12 （e 10t - e 60t）
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