九年级数学上册第5章投影与视图教学案(新版)北师大版

第五章投影与视图1.经历有关投影与视图的实践和探索的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.2.通过背景丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念.3.会画圆柱、圆锥、球、直棱柱及简单组合体的三种视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体.通过实例,了解视图在现实生活中的应用.1.积极参与认识投影与视图的数学活动,对投影与视图有好奇心和求知欲.2.敢于发表自己的想法、提出质疑,养成独立思考、合作交流等学习习惯.本章首先从物体在日光或灯光下的影子说起,引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念,并通过教学理解,让学生了解到中心投影是由同一个点发出的光线形成的投影,之后又通过问题解决,让学生认识到物体在阳光下的不同时刻,不仅影子的大小,而且影子的方向也在变化.对物体的正投影的分析,提升对物体三视图的认识和将立体图形平面化的能力,进一步研究了圆柱、圆锥、球、三棱柱、四棱柱以及组合体的三视图,并揭示出三视图在度量上的联系,长对正,高平齐,宽相等,这是本章的重点,这些内容与培养空间想象能力有直接的关系.本章还运用大量的例子,讲述了看得见的棱画成实线,因被其他部分遮挡而看不见的棱画成虚线,这部分是学习的难点.【重点】物体的三视图.【难点】三视图和实物图形的相互转化.1.根据本章内容的特点,在教学过程中采取多种多样的实践活动,在活动中促进学生对有关内容的理解,增强学生合作交流的意识和能力,同时进一步发展学生的空间观念.2.在太阳光和影子的教学中,让学生尽可能体会物体在阳光下形成的不同影子,并借助具体操作,观察影子在不同时刻的方向和大小等特征的变化.3.在视图部分的教学中,要注意引导学生对实物进行合理的抽象和想象,生活中的物体形状各异,但它们并不是标准的几何体,因而画实物的视图时,必须对实物进行合理的想象,抽象出相应的几何体.4.在画直三棱柱、直四棱柱时,要引导学生分析各个面间的位置关系,从而确定棱的位置关系,并区分视图中的实线与虚线.1投影2课时2视图3课时1投影认识投影的两种基本形式.通过生活情境体验两种不同的投影.体验用投影知识解决问题的乐趣.【重点】认识中心投影和平行投影.【难点】用投影知识解决简单的生活问题.第课时了解投影及中心投影的含义.1.通过皮影和手影,使学生体会中心投影在现实生活中的广泛应用,从而建立学生对中心投影的几何直观认识.2.通过观察、想象,能根据灯光来辨别物体的影子,从而掌握中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化.运用中心投影这一概念解决实际问题的过程中,认识中心投影应用广泛的特点,体会中心投影的价值,并在学习过程中感受成功的喜悦.【重点】利用中心投影解决实际问题.【难点】利用中心投影解决实际问题.【教师准备】生活中与投影有关的几张情境图片.演示用的手电筒、铁架台、小木棒、纸片(三角形与矩形两种)等用具.【学生准备】划分好合作交流小组.导入一:下面是两棵小树在同一时刻的影子,请在图中画出形成影子的光线.导入二:在日常生活中,我们可以看到各种各样的影子,比如,当太阳光照射在窗框、长椅等物体上时,会在墙或地面上留下影子;而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子,如图所示.一、认识中心投影【教师活动】下面请同学们以小组为单位,做如下的实践活动,并回答问题.(1)将事先准备好的手电筒固定在铁架台上,打开手电筒,改变小木棒、纸片的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了怎样的变化?(2)分别固定小木棒和纸片,改变手电筒的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了怎样的变化?(3)小木棒影子的长度与小木棒的长度相同吗?(4)三角形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?三角形纸片的影子可能是一条线段吗?(5)矩形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?矩形纸片的影子可能是一条线段吗?可能是平行四边形吗?【学生活动】学生以小组为单位,完成上面的实践活动,并回答上述问题.【教师总结】(1)物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.(2)探照灯、手电筒、路灯和台灯的照射光线可以看成是从一点发出的,物体经这样的光线照射所形成的投影称为中心投影.[设计意图]通过小组活动,使学生体会在点光源下物体影子的变化情况.二、例题讲解[过渡语]刚才我们通过实践,总结出灯光的光线可以看成是从一点发出的,由此可知,在同一灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过灯泡所在的位置.现在同学们比一比谁理解得更透彻吧!确定下面图中路灯灯泡所在的位置.〔解析〕在灯光下,有两个高度不同的物体所形成的影子,路灯的位置就在影子的顶端和物体顶端的连线上,很显然,一条这样的连线是无法确定灯光的具体位置的.同样的道理,另外一个物体影子的顶端和物体顶端的连线,与前面连线的交点,就是图中路灯灯泡所在的位置.解:如图所示,过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,两直线相交于点O,点O就是路灯灯泡所在的位置.[知识拓展](1)生活中能形成中心投影的点光源主要有探照灯、手电筒、路灯、台灯、投影仪、放映机等.(2)中心投影的光线相交于同一点,这一点就是光源.中心投影的性质:物体上的点和影子的对应点的连线交于一点(光源).如图所示,A'B'是AB的影子,点A的影子是点A',点B的影子是点B',则光源在光线AA'上,光源也在光线BB'上,所以光线AA',BB'相交于光源点O处.从一点出发的光线所形成的投影称为中心投影.1.下列说法是关于中心投影的有()①人在路灯下形成的影子;②投影仪出示的教材图片;③小明在台灯下学习的身影;④舞台上表演的皮影戏.A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④解析:根据中心投影的定义可知①②③④都正确.故选A.2.若小明拿一个等边三角形的木框在灯下玩,则该木框在地面上形成的投影不可能是()解析:由中心投影的性质可知所形成的投影不可能是一点.故选B.第1课时1.认识中心投影2.例题讲解一、教材作业【必做题】教材第127页随堂练习.【选做题】教材第128页习题5.1的2题.二、课后作业【基础巩固】1.经过下列光源照射所形成的投影不是中心投影的是()A.探照灯B.太阳C.手电筒D.路灯2.已知小明比小强高,那么在同一路灯下()A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子与小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长3.一个人晚上迎着路灯走时,他的影长的变化为()A.由长变短B.由短变长C.保持不变D.不能确定【能力提升】4.某时刻两根木棒在同一平面内的影子如下图所示,此时第三根木棒的影子表示正确的是()5.如下图所示,已知李明的身高为1.8 m,他在路灯下的影长为 2 m,李明距路灯杆底部 3 m,则路灯灯泡距地面的高度为m.【拓展探究】6.如右图所示,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.(1)球在地面上的投影是什么形状?(2)当把白炽灯向上远移时,投影的大小会怎样变化?7.某学习小组学习了利用物体的影子测量物体的高之后,发现了建筑物AB被某灯塔上的两个位置不同的灯光照射的影子BC和BD,这个学习小组测得两个影长的差DC=10米,并且测得光线AD与地面所成的角为30°,光线AC与地面所成的角为45°(如图所示),求建筑物AB的高.【答案与解析】1.B2.D(解析:路灯光线的投影是中心投影,在灯光下,直立物体的影子与物体的高度不成正比例.)3.A4.D(解析:先画出形成这两个影子的光线,得到它们交于一点,从而判断出这是中心投影,过交点与第三根木棒的顶端画直线,并交平面于一点,该点为第三根木棒的影子的顶端,与木棒的底端连接,就得到第三根木棒的影子.比较A,B,C,D四个选项,得出D正确.)5.4.5(解析:根据题意,利用三角形相似求解.)6.解:(1)投影是圆形. (2)投影会变小.7.解:设建筑物AB的高为x米,则BC=x米,DB=(x+10)米,AD=2x米,∴x2+(x+10)2=4x2,得x=5+5或x=5-5(舍去),则建筑物AB的高为(5+5)米.灯光与影子在日常生活中有着非常广泛的应用,而本节课是学生在学习过程中第一次体会投影和中心投影这一概念,本节课的目的在于让学生在简单的实践活动基础上,将“灯光与影子”“投影”“中心投影”这些抽象的概念联系起来,从而激发学生的学习兴趣.现代生活中,电灯无疑已成为了人类生活中必不可少的设施.无论是在家里、在学校,还是在马路上,每当夜幕降临,一盏盏灯总会给人们带来光亮.由于电灯就存在于学生的身边,所以学生比较容易掌握本节课的内容.因此在处理相关内容的时候,可以再简单些.学生在解决实际问题时,应该留给学生更多的探索合作时间,这样可以调动学生主动学习的热情.随堂练习(教材第127页)2.解:(1)如图所示,点A就是路灯灯泡所在的位置.(2)线段BC就是婷婷的影长.习题5.1(教材第128页)1.解:(1)如图所示,点O为灯泡所在的位置. (2)如图所示,AB为表示小赵身高的线段.2.解:他到灯杆的距离越近,影子的长度就越短,他到灯杆的距离越远,影子的长度就越长.3.解:如图所示,路灯杆AB,在灯光下,一人在点D处测得自己的影长DF=a,沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=b,若此人的身高为c,可得路灯灯泡的高度为.原理如下:由题意可知CD∥AB,∴.∵EF∥AB,∴.∵CD=EF,∴,即,解得BF=.∴,解得AB=.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,测得李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)解:设路灯的高CD为x m.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴MA∥CD,BN∥CD,∴EC=CD=x m,ΔABN∽ΔACD,∴，即,解得x=6.125≈6.1.∴路灯的高CD约为6.1 m.第课时经历太阳光下投影的探索过程,了解平行投影、正投影的含义.1.通过观察、想象,了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的这一过程,进一步发展学生的空间观念.2.通过综合应用中心投影、平行投影解决实际问题的过程,增强学生的应用意识,提高学生的实践能力.在运用平行投影这一概念解决实际问题的过程中,鼓励学生敢于发表自己的想法,通过积极参与数学活动,进一步增强学生对数学的学习兴趣.【重点】利用平行投影解决实际问题.【难点】利用平行投影解决实际问题.【教师准备】教材情境和例题图片.【学生准备】小木棒若干根,三角形纸片一张、矩形纸片一张.导入一:下面是两棵小树在某时刻的影子,请在图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线?还是灯光的光线?导入二:下图的影子是在太阳光下形成的?还是在灯光下形成的?画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示),并与同伴交流这样做的理由.一、平行投影和正投影【教师活动】物体在太阳光下形成的影子与灯光下形成的影子有什么不同呢?取若干根小木棒及三角形、矩形纸片,观察它们在太阳光下的影子,请同学们按要求完成实践活动:(1)固定投影面,改变小木棒、纸片的摆放位置和方向,观察物体的影子发生的变化;(2)分别固定小木棒和纸片,改变投影面摆放的位置和方向,观察物体的影子发生的变化.问题(1)小木棒影子的长度与小木棒的长度相同吗?(2)三角形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?它的影子可能是一条线段吗?(3)矩形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?它的影子可能是一条线段吗?可能是平行四边形吗?【学生活动】学生们以小组为单位,完成上面的实践活动.【教师总结】太阳光线可以看成平行光线,平行光线形成的投影称为平行投影.平行光线与投影面垂直的投影称为正投影.[设计意图]通过具体操作,使学生体会在平行光线下物体影子的变化情况.【教师活动】下列三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.在三个不同时刻,同一棵树的影子长度不同,请将它们按拍摄的先后顺序进行排列,并说明你的理由.【学生活动】学生先自己判断,再小组讨论.【教师活动】在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系?与同伴进行交流.【学生活动】学生们在小组中讨论得出结论:大树高度与其影子长之比等于小树高度与其影子长之比.[设计意图]让学生在小组合作探究中总结出规律,培养学生的合作意识和归纳整理的能力.二、例题讲解墙边有甲、乙两根木杆,已知乙木杆的高度为1.5 m.(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图①所示,你能画出此时乙木杆的影子吗?(2)在图①中,当乙木杆移动到什么位置时其影子刚好不落在墙上?(3)在(2)的情形下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m,那么你能求出甲木杆的高度吗?〔解析〕这里首先要明确投影的性质是平行投影,然后利用图形相似的知识进行解答.解:(1)如图②所示,连接DD',过点E作DD'的平行线,交地面于点E'.BE'就是乙木杆的影子.(2)如图③所示,平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形(ΔBEE'),直到乙木杆影子的顶端E'抵达墙根为止.(3)因为ΔADD'∽ΔBEE',所以,即.所以甲木杆的高度为AD==1.86(m).[知识拓展](1)在太阳光下,物体影子的长短变化规律:从早晨到正午,影子逐渐变短;从正午到黄昏,影子逐渐变长.(2)平行投影的性质:在平行光线下,物体上的点和影子上的对应点的连线互相平行.如图所示的AB的平行投影,其影子为AB',影子上点B',C'分别是物体上B,C的对应点,所以光线的传播方向为B→B',C→C'.因为光线为平行光线,所以BB'∥CC'.1.投影及平行投影:物体在光线的照射下,会在投影面上留下它的影子,这就是投影现象.物体在平行光的照射下所形成的投影称为平行投影.2.平行投影的规律:(1)物体在平行光线下形成的影子随着物体与投影面的位置的改变而改变.(2)物体上平行线条的投影互相平行或在同一直线上.(3)在不同时刻,同一物体影子的方向和大小都是不同的.就北半球而言,从早到晚影子的指向是:西→西北→北→东北→东,其长度的变化为:长→短→长.(4)在同一时刻,不同物体的高度与其影长之比相等.1.如图所示的是几位同学画出的两根并立的木杆某一时刻在太阳光线下的影子,认真结合平行投影的特征辨别,其中有误的是()A.①②B.①④C.①③D.②④解析:①中影子不平行,④中短杆的影长比长杆的长,故①④有误.故选B.2.小亮的身高是1.7 m,他的影长是 2 m,同一时刻学校旗杆的影长是10 m,则旗杆的高是.解析:设旗杆的高为x m,则有,解得x=8.5.故填8.5 m.3.如图所示的是我国北方某地一棵树在一天中的不同时刻影子的变化情况,仔细观察后回答下列问题.(1)说出这五张图片所对应时间的先后顺序;(2)根据生活经验,谈谈由早到晚该地物体影子的长短变化规律.解:(1)对应时间先后顺序分别是(b)(d)(a)(c)(e).(2)上午太阳光照射物体产生的影子较长,后逐渐变短,到中午最短,到下午又逐渐变长.第2课时1.平行投影和正投影2.例题讲解一、教材作业【必做题】教材第132页随堂练习.【选做题】教材第133页习题5.2的2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是()2.某天同一时刻的太阳光下,甲同学测得 2 m长的测竿在地面上的影长为1.6 m,乙同学测得一棵大树在地面上的影长为19.2 m,则大树的高为()A.20 mB.24 mC.26 mD.30 m3.在某天同一时刻的阳光下小明的影子比小强的影子长,则可以说明()A.小明比小强高B.小明比小强矮C.小明和小强一样高D.无法判断谁高4.(2013·南宁中考)小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是()A.三角形B.线段C.矩形D.平行四边形【能力提升】5.“玫瑰花园”小区有两栋坐北向南的8层楼房,两栋楼房在南北方向线上,且它们之间的距离是5米,平均每层3.5米.当太阳光线与地面成60°角时,张老师住在北边一栋的7楼,此时他能否在自家的阳台上晒太阳?6.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m.某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为 6 m,求DE的长.【拓展探究】7.如图所示,有两根木杆,甲杆长80 cm,乙杆长60 cm.某一时刻,甲、乙两杆均垂直于地面,甲杆的影长是40 cm,乙杆在墙面上的影长是10 cm,乙杆的底端D离墙脚的距离是多少?【答案与解析】1.A(解析:由平行投影的定义及性质可知A正确.)2.B3.A(解析:由平行投影的性质可知小明比小强高.)4.A5.解:能.如右图所示,AB为第一栋楼,CD为张老师所住的楼,AF为太阳光线,根据题意并结合图形可知:.∵AB=3.5×8=28(米),DE=FD,且BE=BD+DE=5+FD,∴FD=28×,得FD=28-5≈19.3(米).∵张老师住7楼,3.5×6=21(米)>19.3(米),∴张老师能在自家的阳台上晒太阳.6.解:(1)连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC的延长线于F,线段EF即为DE的投影. (2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴ΔABC∽ΔDEF,∴,∵EF=6 m,AB=5 m,BC=3 m,∴DE=10 m.7.解:设乙杆的底端D离墙脚的距离为x cm,由题意知,解得x=25.故乙杆的底端D离墙脚的距离为25 cm.本课是在学生学习了投影和中心投影这两个概念后,再一次给出了平行投影和正投影的概念.本课时的目的在于让学生通过众多实例进一步学习物体在太阳光下所形成的影子的大小、形状、方向等几何知识.由于太阳光与影子是日常生活中的常见现象,学生在其他课程的学习中已经积累了物体在太阳光下形成的影子的有关知识.因此在这一点上比较成功.和上一个课时相比,本课时的内容难度要大一些,仅仅依靠学生的想象力,还无法解决全部问题,因此教师应利用课堂时间组织学生动手实践,去体会太阳光与影子之间的关系.这一点在教学中体现的不够充分.准备一个小立方体,让学生体验在两种投影下的不同形状,这样可以加深学生对不同投影概念的认识,并能够比较概念之间的区别.随堂练习(教材第132页)解:如图所示,甲、乙两根木杆的影子长度之比为3∶２.习题5.2(教材第132页)1.解:图(1),下午影子的长度随时间的推移越来越长,因为图(1)中的影子比图(2)中的影子长,且秦老师先参加女子200 m比赛,然后又参加女子400 m比赛,所以图(1)是参加400 m比赛的照片.2.解:教材中的图(2)可能是在太阳光下形成的影子,如图①所示,也可能是在这盏路灯下形成的影子,如图②所示.教材中的图(3)是在太阳光下形成的,如图③所示.3.提示:本题答案不唯一,不同的小组、不同的测量时间,结果会不同,但是我们可以发现相同时刻物高与影长成正比.4.解:通过动手操作,可知立方块的影子可能是四边形或六边形.很早以前,人们发现房屋、树木等物体在太阳光照射下会投出影子,这些影子的变化有一定的规律.于是便在平地上直立一根竿子或石柱来观察影子的变化,这根立竿或立柱就叫做“表”;用一把尺子测量表影的长度和方向,则可知道时辰.后来,发现正午时的表影总是投向正北方向,就把石板制成的尺子平铺在地面上,与立表垂直,尺子的一头连着表基,另一头则伸向正北方向,这把用石板制成的尺子叫做“圭”.正午时表影投在石板上,古人就能直接读出表影的长度值.经过长期观测,古人不仅了解到一天中表影在正午最短,而且得出一年内夏至日的正午烈日高照,表影最短,冬至日的正午,煦阳斜射,表影则最长.于是,古人就以正午时的表影长度来确定节气和一年的长度.譬如,连续两次测得表影的最长值,这两次最长值相隔的天数,就是一年的时间长度,难怪我国古人早就知道一年等于365天多的数值.在现存的河南登封观星台上,40尺的高台和128尺长的量天尺就是一个巨大的圭表.2视图1.会从投影的角度理解视图的概念,能说出基本几何体的三视图的形状,会画三棱柱、四棱柱的三视图.2.能根据几何体的俯视图画出其主视图和左视图.1.经历探索简单几何体及棱柱的三视图的过程,培养学生的空间想象能力及画图能力.2.经历由几何体的俯视图探索主视图和左视图的过程,进一步发展学生的推理能力和空间感.让学生在课堂活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.【重点】从投影的角度加深对三视图的理解,会画简单几何体的三视图,会画三棱柱、四棱柱的三视图,能进行几何体和三视图之间的相互转化.【难点】画直棱柱的三种视图要明确图中实线和虚线的区别.能根据几何体的俯视图想象其形状和大小并画出主视图和左视图.第课时了解视图及主视图、左视图、俯视图的概念.通过观察、交流、讨论等方式领会视图及三视图的含义.积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.【重点】视图和三视图的概念.【难点】三种视图之间的区别.【教师准备】教学用的投影图片.【学生准备】复习以往学过的简单的观察物体的知识.导入一:如图所示,假设有一束平行光线从正面投射到图中的物体上,你能想象出它在这束平行光线下的正投影吗?把你想象的正投影画出来,并与同伴交流.导入二:我们在生活中经常见到航拍的图片,其实这也可以理解为是一种视图的方式.那么,航拍可以理解成什么视图方式呢?[过渡语]工人师傅经常根据三视图的图纸加工零件,那么什么叫做三视图呢?一、三视图的定义教师给出定义:(结合导入一)像这样,用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图.[设计意图]利用多媒体演示,让学生通过直观感受正确画出几何体的正投影,也为下面从投影的角度学习三视图的定义埋下伏笔.【教师提问】这个投影能完全反映这个物体的形状和大小吗?如果不能,那么还需要哪些投影面?【教师总结】为了全面反映一个物体的形状和大小,我们常常选择从正面、左面和上面三个不同方向观察,就得到这个物体的三视图.【给出定义】通常我们把从正面得到的视图叫做主视图,从左面得到的视图叫做左视图,从上面得到的视图叫做俯视图.[设计意图]通过提问让学生思考从三个不同方向观察物体的必要性,从而引出三视图的定义.二、物体的三视图观察下图并思考:(1)把这些物体看成一个几何体,大家的看法一样吗?。