2020北京交大附中初三(上)10月月考数学含答案
2024年北京交大附中初三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2（x －1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M ，∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2， 则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。
北京交大附中2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试卷(讲解版)
同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
得到A疏散乘客比E快；
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，
而点（-1，0）关于直线x=3的对称点为（7，0），
∴二次函数 （m是常数）的图象与x轴的另一个交点为（7，0），
∴则关于x的一元二次方程 的根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．
所以B′C=5﹣B′D=1．
故答案是：1．
15.若二次函数 的最小值是 ，则它的图象与 轴的交点坐标是________．
【答案】
【分析】根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．
【详解】∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，
∴ ＝ ＝7，
解得c＝8，
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.方程 的根是______．
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法解方程，即可得到答案．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
10.已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是______．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
2020年北京交大附中初三年级数学10月月考答案
2021 届初三10 月月考练习数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C D B A D D二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9. x1 = 2, x2 = −410. 1 11. y= −x2 + 2 （答案不唯一）12.<13. x1 = −1, x2 = 7 14. 1 15. (0,8) 16. D三、解答题（本题共68 分，第17~22 题，每小题5 分，第23~26 题，每小题6 分，第27~28 题，每小题7 分）17. 解：原式=2–√3；……5 分18.解：x1 = 3, x2 = −119. 解: 设解析式为y=a(x-2)2+5 .......................... 2 分代入x=0，y=1，得1=4a+5 ........................................ 3 分a= -1 ............................................. 4 分所以解析式为y=-(x-2)2+5或y=-x2 +4x+1 ........................... 5 分20.解：（1）根据题意知△= (-2k)2 - 4⨯1⨯(k2 +k - 2) > 0 ，即-4k + 8 > 0 ，解得k < 2 ；（2）k < 2 且k 为正整数，∴k =1，∴x2 - 2x = 0 ，解得x = 0 或x = 2 ．21.解：(1)由表知,抛物线的顶点坐标为(−1,4),设y=a(x+1)2+4，把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3，解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−(x+1)2+4,即y=−x2−2x+3；(2)函数图象如图所示，(3)当−4<x⩽1 时，−5<y⩽4.22.证：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，∴DC=BC,GC=EC,∠BCD=∠GCE=90°, .............. 1 分∴∠BCG=∠DCE................................................................................. 2 分在∆BCG 和∆DCE 中DC=BC∠BCD=∠GCEGC=EC∴∆BCG≅∆DCE ............................................................................ 4分∴BG=DE.................................... 5分23.解：建立如图所示坐标系 ............................... 1 分则可得过点（4，-4） ................................ 2分设解析式为y =ax2…………………………………………3 分代入（4，-4）得a =-14所以解析式为y =-1x24……………………………4 分把y=1-代入，得x=±2 ..................................................................... 5 分则水面的宽减少了8-4=4（米）........................... 6 分24. 解：（1）画图正确； ........................ 3 分5 （2）①2 π；........................... 4 分② （-1，3）....................... 5 分2 ⎩ ⎩y 6 5 4 3 2 1–4 –3 –2 –1 O1 2 3 4 5 x–1–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –925. 解：（1）m =1，n =0； ........................................ 2 分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4 分 （3） 4 < x 1 + x 2 + x 3 < 3 +6分 26．解：（1）由题意直线 y =x +1 与 x 轴交于点 A可得点 A 坐标为(-1,0) ......................................................................................... 1 分 又因抛物线 y =x 2+bx +c 经过点 A所以将点 A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即 c =b -1 ............................................................................................... 2 分 （2）①设 y =x +1 与 y 轴交于点 C ，可得 A (-1,0)，C (0,1).可知 OA =OC =1. 又因∠AOC =90º, 所以∠OAC =45º.如图，已知 AB =3 2 ，过 B 作 BD ⊥x 轴于点 D , 易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB =3 2 ， 所以 AD =BD =3.所以点 B 的坐标为(2,3) ............................................................................... 3 分 将点 B 的坐标(2,3)代入抛物线 y =x 2+bx +c 的解析式可得 2b +c =-1. 并与（1）中得到的 c =b -1 联立方程组可得：⎧2b + c = -1,⎨c = b -1. ⎧b = 0, 解得⎨c = -1. 得抛物线的解析式为 y = x 2 -1 ....................................................................4 分 y8 7 6 5 4 3 2 BA1 C–4 –3 –2 –1 O–1–2D1 2 34 x（本题解法不唯一，证明过程正确即 ⎨② b ≤ 0或b ≥ 6 ............................................................................................. 6 分27. (1)①60° ............................................................. 1 分 ②在 GE 上取 H ，使 GH =GB ,连接 HB ，EB ．∵∠EGB =∠EAB =60°，∴△HGB ，△EAB 是等边三角形， ∴BE=BA ，BH=BG ，∵∠HBE =∠GBA ，∴△HBE ≌△GBA ， ..................................................... 2 分 ∴HE =GA ，∴GE=GH +HE =BG +AG ． ................................................. 3 分 (2)结论：EG + BG = 2 AG ． ............................................. 4 分 证明：将△AGE 绕 A 顺时针旋转 90°至△AHB 处，∴HB =GE ，AH =AG ．∵在四边形 ABGE 中，∠ABG +∠AEG =180 °，∴∠ABH +∠ABG =180°，即 H ，B ，G 三点共线． ........................... 5 分∵AH =AG ，∴△AHG 是等腰直角三角形，………………………………………………………… 6 分∴HG =2 AG∵HG =HB+BG =EG+BG ，∴EG+BG = 2 AG ．..................................................... 7 分可）28. （1）a =b =﹣2，故抛物线的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣2． 故答案为：y =x 2﹣2x ﹣2； ⎧4 - 2a + b = -2 将点 A 、B 坐标代入y =x 2+ax +b得： ⎩16 + 4a + b = -2，解得：a =﹣2，b =﹣10． 故答案为：(﹣2，﹣10)；（2）①由点 A 、C 的坐标得：直线 AC 的表达式为：y =2x +2， 设点 P (m ，2m +2)，则抛物线的表达式为：y =x 2+mx +2m +2， 顶点为：( - 1 m ， - 1m 2+2m +2)，242 令 x =- 1m ，则 m =﹣2x ，2则 y =- 1m 2+2m +2=﹣x 2﹣4x +2，4即抛物线Ω 的解析式为：y =﹣x 2﹣4x +2；②如图所示，Ω 抛物线落在△ABC 内部为 EF 段，抛物线与直线 AC 的交点为点 E (0，2)；当y =﹣2 时，即 y =﹣x 2﹣4x +2=﹣2，解得：x =﹣2 ±2 ， 故点 F (﹣2 +2 故 0＜x ＜﹣2+2 ，﹣2)；，由①知：a =m =﹣2x ，故：4﹣42＜a ＜0．2 2。
2019-2020交大附中九上10月月考(压轴题)
2019-2020学年度第一学期第一次月考交大附中 九年级数学试卷10、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=3，P 为对角线BD 上一点，当对角线BD 平分∠NPM 时，PN PM -值为( )A.1B.2C.2D.322解：A解：对角线BPM ∴∠BPM '∴∠PM \-在正方形∴点M ¢∴AM ¢AM AB ¢\ABC \AM ¢\?BC M ⅱ\?OC 中点BM ⅱ\M ¢\故，本题选A16、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 中顶点A 坐标(0,6)，顶点B 坐标(-2,0)，顶点C 坐标(8,0)，点E 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，求过点E 且到点C 的距离最大的直线解析式＿＿＿＿＿.解：3734-=x y解：设直线l 的解析式为：y kx b =+ ∴y ∴k ?∴k =将∴b =24、(2)如图②，△ABC 中AB=4，AC=3，BC=6，D 是△ABC 中AC 边上的点，AD=2，过点D 画一条直线l 将△ABC 分成两部分，l 与△ABC 另一边的交点为点P ，使其所分的一个三角形与△ABC 相似，并求出DP 的长；(3)如图③所示，在等腰△ABC 中，CA=CB=10，AB=12.在△ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，若较大正方形的边长为a ，请用含a 的代数式表示较小正方形的边长.解：（1（2）CD \①当BC 时，APD ABC ∽263PD AD PD BC AC\=，即PD \②当AB 时，CDP CAB ∽143DP CD DP AB CA \=，即 PD \=③当?CDP CBA ∽16PD AB \PD\=（3过点C 1012CA CB AB ===，6AG BG \==在t R AGC 中，由勾股定理，得：8CG =由题意得：ADN AGC ∽，BFP BGC ∽图3图2 图1F E D BAC C B B AAD DN AG CG \=，BF PF BG CG =68AD a =即，68BF b = 3344AD a BF b \==， +12AD DE EF FB ++= 3+4a a \487b \=。
2020年北京交大附中九年级(上)月考数学试卷
月考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是（）A. x=-2B. x=2C. x=1D. x=-13.抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A. y=2（x+1）2+3B. y=2（x+1）2-3C. y=2（x-1）2-3D. y=2（x-1）2+34.平面直角坐标系内一点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A. （3，-2）B. （2，3）C. （-2，-3）D. （2，-3）5.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A. 45B. 60C. 90D. 1206.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A. 29°B. 31°C. 59°D. 62°7.已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表x……-10245……y1……01356……y2……0-1059……当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A. -1＜x＜2B. 4＜x＜5C. x＜-1或x＞5D. x＜-1或x＞48.小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象．如左下图所示．小明选择的物体可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：______．10.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）11.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为______．12.二次函数y=x2-6x+m（m是常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），则关于x的一元二次方程x2-6x+m=0的根是______．13.如图，⊙O的直径AB⊥弦CD．垂足为点E，连接AC．若CD=2，∠A=30°，则BD的长为______．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：______．15.若二次函数y=x2+2x+c的最小值是7，则它的图象与y轴的交点坐标是______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC=2，∠ABC=60°，则线段MN的最大值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．18.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG=DE；（2）BG⊥DE．19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，-1）．（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径AA'的长度为{C}______{C}（结果保留π）；②点B'的坐标为______．21.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连结CD、BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连结DE，若∠ADC=115°，求∠BED的度数．22.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…-3-2-101…y…0-3-4-30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-4＜x＜-2时，直接写出y的取值范围．23.已知二次函数y=kx2-（k+1）x+1（k≠0）（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．24.图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？25.如图，直线AM和AN相交于点A，∠MAN=30°，在射线AN上取一点B，使AB=6cm，过点B作BC⊥AM于点C，D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D 作CD的垂线交射线CA于点E．（1）确定点B的位置，在线段AB上任取一点D，根据题意，补全图形；（2）设AD=x cm，CE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．①通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm012345y/cm 5.2 4.4 3.8 3.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt△CDE斜边CE上的中线时，AD的长度约为______cm（结果保留一位小数）．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若AB=2，①求抛物线的解析式：②已知点E（，4），F（4，4），将抛物线在0≤x≤3的部分向上平移n个单位得到图象G．若图象G与线段EF恰有1个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．27.在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'=，则称点Q为点P的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．（1）①点（，1）的限变点的坐标是______；②在点A（-1，-2），B（-1，2）中有一个点是函数y=2x图象上某一个点的限变点，这个点是______；（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是-5≤b'≤2，求k的取值范围．（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n，令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=x2+2x-3中，a=1，b=2，c=-3，∴抛物线的对称轴x=-=-1．故选：D．先根据抛物线的解析式得出a、b、c的值，再根据抛物线的对称轴方程进行解答即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=-是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（x+1）2-3．故选：B．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4.【答案】D【解析】解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）．故选：D．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为120．故选：D．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．6.【答案】B【解析】【分析】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°-∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°．故选B．7.【答案】D【解析】解：∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选：D．利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．8.【答案】B【解析】解：由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，由开始和结尾可知A、C错误，由中间不变可知，D错误，故选：B．根据图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，可以确定问题的形状．本题考查的是动点问题的函数图象，读懂图象信息是解题的关键，要找出水面高度随时间的变化情况．9.【答案】y=-x2+2【解析】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），则可设顶点为（0，2），所以此时抛物线的解析式为y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．把（0，2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】＞【解析】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；11.【答案】1【解析】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以B′D===4，所以B′C=5-B′D=1．故答案是：1．B′C=5-B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=5是解题的关键．12.【答案】x1=-1，x2=7【解析】解：∵二次函数y=x2-6x+m（m是常数）的图象的对称轴为直线x=-=3，而点（-1，0）关于直线x=3的对称点为（7，0），∴二次函数y=x2-6x+m（m是常数）的图象与x轴的另一个交点为（7，0），∴则关于x的一元二次方程x2-6x+m=0的根为x1=-1，x2=7．故答案为x1=-1，x2=7．先确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到二次函数y=x2-6x+m（m是常数）的图象与x轴的另一个交点为（7，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x 的一元二次方程x2-6x+m=0的根．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．13.【答案】2【解析】解：如图所示，则∠BDC=∠A=30°，∵AB⊥CD，∴CE=DE=CD=，∠BED=90°，∴BD=2BE，设BE=x，则BD=2x，由勾股定理得：BD2=BE2+ED2，，x=1，∴BD=2，故答案为：2．由圆周角定理得出∠BDC=∠A=30°，由垂径定理得出CE=DE=CD=，再由三角函数或勾股定理设未知数可得BD的长．本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出ED是解决问题的关键．14.【答案】（4，2）【解析】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．15.【答案】（0，8）【解析】解：∵二次函数y=x2+2x+c的最小值是7，∴==7，解得c=8，∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），故答案为（0，8）．根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．16.【答案】3【解析】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=A′B′=2BC=4，∵NB′=NA′，∴CN=A′B′=2，∵CM=BM=1，∴MN≤CN+CM=3，∴MN的最大值为3，故答案为3．连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=A′B′=2，利用三角形的三边关系即可解决问题．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+5，把（0，1）代入解析式得，1=a（0-2）2+5，解得a=-1，则抛物线的解析式为：y=-x2+4x+1．【解析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+5，再把（0，1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．18.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，即：∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠GBC=∠EDC，∵∠GBC+∠BOC=90°，∠BOC=∠DOG，∴∠DOG+∠EDC=90°，∴BG⊥DE．【解析】先证∠BCG=∠DCE，再证明△BCG≌△DCE，即可得出结论．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°-∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°-∠AOC）=40°．【解析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．20.【答案】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①②（-1，3）【解析】解：（1）见答案；（2）①∵AC==5，∠ACA′=90°，∴点A经过的路径的长为=，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（-1，3），故答案为：（-1，3）．【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B'的坐标．本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．21.【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB=∠ADC；（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=115°．∴∠BED=55°．【解析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=115°可得．本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．22.【答案】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（-1，-4），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2-4，把点（0，-3）代入y=a（x+1）2-4，得a=1，故抛物线解析式为y=（x+1）2-4，即y=x2+2x-3；（2）如图所示：（3）∵y=（x+1）2-4，∴当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5，当x=-2时，y=-3，又对称轴为x=-1，∴当-4＜x＜-2时，y的取值范围是-3＜y＜5．【解析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y=a（x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．23.【答案】（1）证明：根据题意得k≠0，∵△=（k+1）2-4k=（k-1）2≥0，∴无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）解：当y=0时，kx2-（k+1）x+1=0，解得x1=1，x2=，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（，0），∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，∴k=1或-1．【解析】（1）利用二次函数的定义得到k≠0，然后计算判别式的值得到△=（k-1）2≥0，从而得到结论；（2）解方程kx2-（k+1）x+1=0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（，0），然后利用该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数确定k的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24.【答案】解：由题意知，抛物线过点（4，-4），设抛物线解析式为y=ax2，将点（4，-4）代入，得：16a=-4，解得：a=-，所以抛物线解析式为y=-x2，当y=-1时，-x2=-1，解得：x=2或x=-2，则水面的宽减少了8-4=4（m）．【解析】设抛物线解析式为y=ax2，将点（4，-4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y=-1时x的值即可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．25.【答案】（1）（2）①4.0；②函数图象如图3所示，③5.2.【解析】解：（1）见答案，（2）①如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=6，在Rt△BCG中，BG=BC=，CG=，∵AB=6，AD=4，∴DG=AB-AD-BG=6-4-=，过点E作EF⊥AB于F，∴∠DFE=∠CGD=90°．∴∠DCG+∠CDG=90°，∵DE⊥CD，∴∠CDG+∠EDF=90°，∴∠DCG=∠EDF，∵∠EFD=∠DGC=90°，∴△DEF∽△CDG，∴，∴=，∴DF=3EF，在Rt△AEF中，AF=EF，AE=AF，∴DF=3AF，∴AD=AF+DF=4AF=4，∴AF=1，∴AE=，∴y=CE=AC-AE=3-=≈0.4，故答案为：4.0；②见答案；③如图4，∵AD是Rt△CDE的斜边的中线，∴AD=CE=AC，由（2）知，AC=3，∴AD=3≈5.2，故答案为：5.2．【分析】（1）根据题意直接画出图形；（3）先描点，再连线，即可得出结论；（4）先判断出AD=AC，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是求出AD=4时，y的值．26.【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（1，-1）；（2）①∵抛物线的对称轴为直线x=1，而AB=2，∴A（0，0），B（2，1），把A（0，0）代入y=mx2-2mx+m-1得m=1，∴抛物线解析式为y=x2-2x；②当x=时，y=x2-2x=-，当x=3时，y=x2-2x=3，∴n的范围为1≤n＜或n=5．【解析】（1）利用配方法得到y=m（x-1）2-1，从而得到抛物线的顶点坐标；（2）①利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，1），然后把A（0，0）代入y=mx2-2mx+m-1中求出m得到抛物线解析式为y=x2-2x；②计算出当x=时，y=x2-2x=-，当x=3时，y=x2-2x=3，当顶点在线段EF上，则n=5；当顶点不在线段EF上，而图象G与线段EF恰有1个公共点，结合它们得到n的范围为1≤n＜．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．27.【答案】解：（1）如图：（2）∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°-2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°-α，由（2）知∠ABH=90°-2α，∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，∴=，∴=，∴=，∴BC=DP．【解析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°-2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，据此可得BC=DP．本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．28.【答案】（，1） B【解析】解：（1）①点（，1），∵，故该点的限变点的坐标（，1），故答案为：（，1）；②设点B是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：（-1，-2），该点限变点为（-1，2），即为点B，同理验证点A不符合条件，故答案为：点B；（2）由题意得：函数y=-x+5（-2≤x≤k，k＞-2）图象上的点P的限变点Q必在函数y=的图象上（如图1）．当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3，∴x=-2或x=8；当b′=2时，2=-x+3，∴x=5．∵-5≤b'≤2，∴由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8；（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，如图2所示，b′的取值范围是b′≥m或b′≤n，与题意不符．若t≥1，如图3所示，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1，∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．（1）①点（，1），∵，故该点的限变点的坐标（，1），即可求解；②设点B是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：（-1，-2），该点限变点为（-1，2），即为点B，同理验证点A不符合条件，即可求解；（2）由题意得：函数y=-x+5（-2≤x≤k，k＞-2）图象上的点P的限变点Q必在函数y=的图象上（如图1）由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8；（3）若t＜1，如图2所示，b′的取值范围是b′≥m或b′≤n，与题意不符．若t≥1，如图3所示，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1，即可求解．本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是：（1）根据兄弟点的定义找出点A，B的限变点的坐标；（2）依照题意，画出函数图象，利用数形结合找出结论；（3）根据限变点的定义结合图形，确定m，n的值。
北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷
北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷一、单选题1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，3 B ．2，1，3- C ．−2，1，3 D ．2，1-，3- 2．巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．抛物线2(4)5y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．开口向下，(4,5)-B ．开口向上，(4,5)-C ．开口向下，(4,5)--D ．开口向上，(4,5)--4．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是( )A ． ()222x +=B ．(()222x -=C ．()222x -=-D ．()226x -= 6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）A ．0a <B ．0c >C ．0b >D ．20a b +>7．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．已知点()()()1212,2024,,2024P x Q x x x ≠在二次函数21y ax bx =++的图象上，则当12x x x =+时，y 的值为（ ）A ．1B ．2025C ．1-D ．2024二、填空题9．方程25x x =的解是．10．点()1,2P -关于原点的对称点的坐标为．11．如果关于x 的方程2310kx x +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 12．将抛物线223y x =-向右平移2个单位，向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2),(1,0)-，将线段AB 绕点(2,2)逆时针旋转α角()0180α︒<<︒，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则α为，点B 的对应点B '的坐标为．14．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点1E AE =，寸，10CD =寸，求直径AB 的长．小宇对这个问题进行了分析：（1）由直径AB CD ⊥于E ，可得5CE DE ==，其依据是．（2）连接OC ，则有OC OA =，在COE V中利用勾股定理列方程可求得OC 的长，从而得到直径AB 长为寸．16．如图，菱形ABCD 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD 的对称中心O 处，此时这个直角的两边分别交边,BC CD 于M ，N ，若ON CD ⊥，且2ON =，则MN 的长为．三、解答题17．解方程：233x x x -=+．18．如图，ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE V ．连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19．已知1x =是关于x 的方程2230x mx m -+=的根，求代数式2(2)(3)(1)m m m -+-+的值． 20．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点(0,3),(1,0)A B ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象；(3)写出当13x -<<时，函数值y 的取值范围．21．判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明）(1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；(2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．22．已知关于x 的一元二次方程22230x mx m --=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程恰有一个实根大于1-，求m 的取值范围．23．如图，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为t （单位：秒）．(1)①当运动停止时，t 的值为______.②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）(2)设PCQ △的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示），并写出t 的取值范围；②S 是否可以为7？若可以，请求出此时t 的值，若不能，请通过计算说明理由． 24．如图，MPN α∠=，点A ，B 在射线PN 上，以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆交射线PM 于点C ，D ．(1)如图1，当30α=︒时，若,AB 10CD 6==，求AP 的长；(2)如图2，若PC OB =，且AB ，求α的值．25．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．(1)经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求y 与x 满足的函数关系式．(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =--+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11x y ，，()21a y +，在抛物线22y x ax c =-+上．(1)抛物线的对称轴为______（用含a 的式子表示），当01a <<时，2y 与c 的大小关系为2y ______c （填“>”“<”或“=”）；(2)若110x -<<，且对于每个1x ，都有12y y >成立．①求a 的取值范围；②若抛物线还过点()33a y ，，求证：如果1230y y y <，那么()2130y y y ->．27．如图，在ABC V 中，90,45,ACB BAC D ∠=︒∠<︒为边AC 上一点（不与点A ，C 重合），点D 关于直线AB 的对称点为E ，连接BD ，将线段BD 绕点B 旋转，使点D 的对应点F 恰好在线段AE 的延长线上．(1)求证：12ABC DBF ∠=∠； (2)连接DF ，过点C 作AB 的垂线，分别交,AB DF 于点G ，H ．①依题意补全图形；②用等式表示DH 与HF 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a b ，对于点M 给出如下定义：将点M 向右（0a ≥）或向左(0)a <平移a 个单位长度，得到点M '，点M '关于点P 的对称点为N ，称点N 为点M 关于点P 的“联络点”．(1)若点(2,0)M -，点(1,1)P ，则点M 关于点P 的“联络点”的坐标为______；(2)如图，若点M 与点P 关于原点O 对称，点M 关于点P 的“联络点”为点N ，①求作：点M '和点N （尺规作图，保留作图痕迹）；②连接MN ，在MN 上取点T ，使PT x ∥轴，连接OT ，求证：14OT M N '=；(3)已知点C 是直线2y x =+上的动点，点D 是直线y x =-上的定点，点C 关于点D 的“联络点”为点E ，若线段CE 长的取值范围是CE ≥D 的横坐标D x 的取值范围．。
2019年北京交大附中初三数学10月考试卷
北京交大附中2019—2020年度第一学期10月月考练习初三数学试卷班级姓名学号一、选择题（每题2 分，共16 分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y =x2 + 2x -3的对称轴是直线（）A. x =-2B. x =2C. x =-1D. x =13．抛物线y = 2x2向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y = 2（x+1）2+3 B. y = 2（x+1）2 -3C．y = 2（x-1）2 -3 D. y = 2（x-1）2 +34．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（）A．45 B．60 C．90 D．1206．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD = 59︒，则∠C 等于（）A. 29︒B. 31︒C. 59︒D. 62︒7. 已知一次函数y1 =kx +m(k ≠ 0) 和二次函数y2=ax2+bx +c(a ≠ 0) 部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1 时，自变量x 的取值范围是（）A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1 或x＞5 D．x＜-1 或x＞48. 小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是（）A B C D二、填空题（每题2 分，共16 分）9．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：．10. 在平面直角坐标系xOy 中，函数y =x2 的图象经过点M (x1, y1) ，N (x2, y2) 两点，若- 4 <x1<-2，0 <x2 < 2 ，则y1y2.（用“<”，“=”或“>”号连接）11. 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C' D' ．若点B 的对应点B' 落在边CD 上，则B'C 的长为．12. 二次函数y =x2 - 6x +m（m 是常数）的图象与x 轴的一个交点为(-1，0) ，则关于x 的一元二次方程x2 - 6x +m = 0 的根是．13．如图，⊙O 的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AC，若CD=23，∠A=30º，则BD 的长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C（0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标是：．15．若二次函数y =x2 + 2x +c 的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是．16．如图，在Rt∆ABC 中，∠ACB = 90o ，将∆ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∆A'B'C,M 是BC 的中点，N 是A 'B ' 的中点，连接MN，若BC=2,∠A BC=60°，则线段MN 的最大值为.三、解答题（第17-22 题每题5 分，第23-26 题每题6 分，第27-28 题每题7 分，共68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 已知二次函数的图象经过点(0,1) ，且顶点坐标为(2,5) ，求此二次函数的解析式．18. 已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB>CE．连接BG、DE．求证：BG=DE.yCO19.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （3，3），B （4，0），C （0， -1 ）．ABx（1）以点 C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转 90°，画出旋转后的△ A ' B 'C ；（2）在（1）的条件下，① 点A 经过的路径 AA ' 的长度为 （结果保留 π）；② 点 B ' 的坐标为．21．如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60︒得到线段 AE ,连结 CD,BE. （1）求证：∠AEB ＝∠ADC ; （2）连结 DE ，若∠ADC ＝115°,求∠BED 的度数.22. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当 -4 < x < 2 时，直接写出 y 的取值范围．23．已知二次函数y =kx2 -(k +1)x +1 (k ≠ 0) ．（1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值.24．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m. 水面上升3 米，水面宽度减少多少？25．如图，直线AM 和AN 相交于点A，∠MAN＝30°，在射线AN 上取一点B，使AB＝6cm，过点B 作BC⊥AM 于点C，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D，根据题意，补全图形；（2）设AD=x cm，CE=y cm，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律.①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt△CDE 斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为cm（结果保留一位小数）．26. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =mx2 - 2mx +m -1(m > 0) 与x 轴的交点为A, B .（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若AB =2,①求抛物线的解析式；②已知点E(12,4) ，F(4,4) ，将抛物线在0 ≤x ≤ 3 的部分向上平移n 个单位得到图象G ，若图象G 与线段EF 恰有1 个公共点，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.27．在等腰△ABC 中，AB=AC，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD，使BD⊥AC 于H，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P.(1)依题意补全图形；(2)若∠BAC=2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(a,b) 和点Q(a, b') ，给出如下定义：若b'=,1,1b ab a≥⎧⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点(2,3)的限变点的坐标是2,3)，点(-2, 5)的限变点的坐标是(-2, -5)．（1）①点)的限变点的坐标是；②在点A(-1,-2)，B(-1,2)中有一个点是函数y = 2x 图象上某一个点的限变点，这个点是；（2）若点P 在函数y =-x +3(-2≤x≤k,k >-2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b'的取值范围是-5≤b'≤2 ，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数y =x2 - 2tx +t2 +t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'<n ，其中m >n ．令s =m -n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围。
北京市2020版九年级上学期数学10月月考试卷A卷
北京市2020版九年级上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）下列函数是二次函数的是（）A . y=2x+1B . y=﹣2x+1C . y=x2+2D . y=x﹣22. （2分）已知二次函数，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m－3，m ＋3 时对应的函数值为y1 ， y2 ，则（）A . y1＞0，y2＞0B . y1＞0，y2＜0C . y1＜0，y2＞0D . y1＜0，y2＜03. （2分）能用直接开平方法求解的方程是（）A . x2+3x+1=0B . x2-2x+3=0C . x2+x-1=0D . x2-4=04. （2分）已知函数y=3-(x-m)(x-n)，并且a,b是方程3-(x-m)(x-n)=0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是（）A . m＜n＜b＜aB . m＜a＜n＜bC . a＜m＜b＜nD . a＜m＜n＜b5. （2分）二元二次方程组的解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A . 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B . 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C . 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D . 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位7. （2分）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝ gt2（g为定值）；④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2019九下·锡山月考) 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0；⑦方程ax2+bx+c ＝﹣4有实数解，正确的有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个9. （2分） (2019九上·番禺期末) 某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元。
精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.点P （2，﹣1）关于原点对称的点P ′的坐标是（ ）A. （﹣2，1）B. （﹣2，﹣1）C. （﹣1，2）D. （1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P （2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.抛物线()21y x =+的对称轴是（ ） A. 直线1x =B. 直线0x =C. 直线1x =-D. 直线0y =【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数顶点式的性质判断即可.【详解】()21y x =+的对称轴是:x =-1.故选C.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于牢记基础知识.3.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则S △ADE :S △ABC 等于（ ）A. 1:5B. 1:4C. 1:3D. 1:2【答案】B【解析】【分析】 证出DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC ，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、C 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC ， ∴△ADE∽△ABC，∴S △ADE ：S △ABC =（12）2=14； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．4.O e 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，点P 与O e 的位置关系是( )A. 无法确定B. 点P 在O e 外C. 点P 在O e 上D. 点P 在O e 内 【答案】D【解析】【分析】根据点在圆上，则d r =；点在圆外，d r >；点在圆内，d r(d <即点到圆心的距离，r 即圆的半径)，进行判断即可．【详解】解：OP 35=<Q ，∴点P 与O e 的位置关系是点在圆内．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 5.已知近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数解析式为（ ）A. y ＝200xB. y ＝200xC. y ＝100xD. y ＝100x【答案】D【解析】【分析】 首先由题中给出y 与x 成反比例写出反比例函数函数解析式的一般形式y ＝k x；把当x ＝0.5，y ＝200，代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程；解方程求出待定系数的值，从而得到函数解析式.【详解】解：∵近视镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，∴设y ＝k x（k ≠0）， ∵200度近视镜的焦距为0.5m ，∴当x ＝0.5时，y ＝200，∴k ＝xy ＝0.5×200＝100. ∴眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y ＝100x. 故选D.【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.用待定系数求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般形式；（2）把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.6.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，»»AD CD=，如果∠CAB ＝40°，那么∠CAD 的度数为（ ）A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC =50°，进而判断出∠ABD =∠CBD =25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC ，BD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵∠CAB =40°，∴∠ABC =50°．∵弧AD =弧CD ，∴∠ABD =∠CBD 12=∠ABC =25°，∴∠CAD =∠CBD =25°． 故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．7.在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，2OE =，则OB 的长为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】 由△AEO ∽△CBO ，可知OE ：BO=3:1，即可得出OB 的长.【详解】∵:1:2AE ED =∴:1:3AE AD =，则:1:3AE BC =∵△AEO ∽△CBO ， ∴13OE AE OB CB ==， ∴OB=6，选C.【点睛】此题主要考察相似三角形的应用.8.对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误；当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选C ．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x 的解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小題2分）9.已知反比例函数1myx+=的图象经过点()2,3-，则m=______.【答案】-7【解析】【分析】将点(2,-3)代入反比例函数即可求出m的值. 【详解】将点(2,-3)代入得: 132m+-=, 解得:m=-7 故答案为:-7. 【点睛】本题考查反比例函数的代入求值,关键在于理解图象过点的意思.10.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是______mm．【答案】200【解析】【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA=OA=500mm．∵OD⊥AB，AB=800mm，∴AC=400mm，=300mm，∴CD=OD-OC=500-300=200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为200【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．11.已知二次函数221y x bx=-+-图象的顶点在x轴上.则b=______.【答案】±【解析】【分析】根据二次函数的顶点公式得出顶点纵坐标,令其等于零即可解出.【详解】由题意得,顶点纵坐标:244ac ba-=即:()()()242142b⨯-⨯--=⨯-.解得:b=±.故答案为: ±【点睛】本题考查二次函数顶点的几何意义,关键在于理解顶点纵坐标为零.12.在－1，0，1这三个数中任取两个数m，n，则二次函数()2y x m n=-+图象的顶点在坐标轴上的概率为______.【答案】2 3【解析】【分析】将所有的可能的情况枚举出来,再根据频率计算概率即可.【详解】由题意顶点坐标m,n共有(-1,0)(-1,1)(0,-1)(0,1)(1,-1)(1,0)6种情况,其中在坐标轴的由4种,概率为:42 63 =.故答案为: 23. 【点睛】本题考查二次函数与概率计算,关键在于把顶点坐标表示出来.13.已知1(1)y -，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．【答案】2y x -=(答案不唯一). 【解析】【分析】先根据题意判断出k 的符号，再写出符合条件的解析式即可．【详解】∵（-1，y 1），（2，y 2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y 1＞y 2，∴函数图象的分支在二四象限，则k ＜0．故答案为y=-2x ，答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k 的符号．14.已知点A 在反比例函数k y x=的图象上，点B 在x 轴上，O 是坐标原点，若AO AB =，AOB ∆的面积等于3，则k 的值为______.【答案】3±【解析】【分析】根据题意画出图象,利用公式法列出式子求出即可.【详解】由题意画如下图象:∵A(x A ,y A )在反比例函数上,∴OB=2 |x A |且x A ·y A =k .S △AOB =1||2A OB y ⋅⋅=3 即: 12||||2A A x y ⋅⋅=3,解得:|k|=3, ∴k=3±.故答案为: 3±.【点睛】本题考查反比例函数与几何的结合,主要在于画出图形了利用公式解题. 15.如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0k y k x =<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C e 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【解析】【分析】 作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值.【详解】 如图,连接BP ,由对称性得:OA=OB,∵M 是AP 的中点,∴OM=12BP ,∵OM 长是最小值为1,∴BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD ⊥x 轴于D, ∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, Rt △BCD 中,由勾股定理得:BC 2=CD 2+BD 2,∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35,∴B(35,95-),∵点B 在反比例函数()0ky k x =<的图象上,∴k=35×95-=2725-.故答案为: 2725-.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线.16.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子中大约有100kg的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【解析】【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解方程：22530x x --=． 【答案】x 1=3，212x =- 【解析】 【分析】 因式分解法解.【详解】22530x x --= (-2x-1)(-x+3)=0 x 1=3，212x =-. 【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键． 18.已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式； ()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【答案】（1）2(x 2)1--；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1Q =--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．Q 函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 19.下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，O e 和O e 外的一点P .求作：过点P 作O e 的切线. 作法：如图2，①连接OP ；②作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交O e 于点A 和B ； ④作直线PA 和PB .则PA ，PB 就是所求作的O e 的切线. 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（______）（填依据）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（______）（填依据）.【答案】（1）详见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【解析】 【分析】(1)根据题中描述画图即可.(2)利用圆周角的性质求得OA PA ⊥，OB PB ⊥，即可得切线. 【详解】(1)如图所示:(2) 连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 【点睛】本题考查圆的尺规作图,关键在于掌握尺规作图的方法. 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，()4,0B ，()0,1C -.（1）以点C 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90︒，画出旋转后的A B C '''∆； （2）在（1）的条件下，①点B 经过的路径¼BB '的长度为______（结果保留π）；②点A '的坐标为______. 【答案】（1）详见解析；（2）①172；②()4,2-. 【解析】 【分析】(1)利用网格和旋转的性质画出点A 、B 对应的点A ′和B ′,相连得到所求三角形.(2)①先根据勾股定理求出CB 的长,然后根据弧长公式求解即可;②根据所画图形写出A ′坐标即可. 【详解】(1)如图所示, A B C '''∆即为所求:(2)①BC=221417+=,∠BCB ′=90°.所以点B 经过的路径¼BB'=901717ππ⋅⋅=,②由图象可得:A ′坐标为:()4,2-【点睛】本题考查旋转变化作图,关键在于先找到旋转后对应的点,也需要牢记弧长公式.21.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，12AC =，5BC =.当DE DC =时，求AD 的长.【答案】263AD = 【解析】 【分析】由题意得出ADE ABC ∆∆∽,利用对应边成比例列出式子解出即可. 【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90DEA ∠=︒. 又∵90ACB AED ∠=︒=∠，A A ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∴AD DEAB BC= 在Rt ABC ∆中，∵12AC =，5BC =， ∴13AB =. 设AD x = ∵DE DC =∴12135x x -= 解得263x =∴263AD =.【点睛】本题考查相似的判定和性质,关键在于找到判定条件并利用性质列出式子. 22.如果抛物线2y x 2x 2k 4=++-与x 轴有两个不同的公共点．()1求k 的取值范围；()2如果k 为正整数，且该抛物线与x 轴的公共点的横坐标都是整数，求k 的值．【答案】（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【解析】 【分析】()1利用判别式的意义得到()2242k 40=-->V ，然后解不等式即可；()2先确定正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，然后分别解方程2x 2x 20+-=和2x 2x 0+=可确定满足条件的k 的值．【详解】解：()1根据题意得()2242k 40=-->V， 解得5k 2<；()52k 2<Q ， ∴正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当y 0=时，2x 2x 20+-=，解得1x 13=-+，2x 13=--，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标不是整数；当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，当y 0=时，2x 2x 0+=，解得1x 0=，2x 2=-，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标为0和2-，k ∴的值为2．故答案为:（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：抛物线与x 轴的交点个数由判别式确定：2b 4ac 0=->V 时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=V 时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<V 时，抛物线与x 轴没有交点．23.在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与双曲线ky x=相交于点()1,A m . （1）求反比例函数的表达式： （2）画出直线和双曲线的示意图；（3）直接写出4kx x≥-+的解集______； （4）若点P 是坐标轴负半轴上一点，且满足2PA OA =.直接写出点P 的坐标______. 【答案】（1）3y x=；（2）详见解析；（3）01x <≤或3x ≥；（4）()131,0P 或(0,339P 【解析】 【分析】(1)将点A 代入直线坐标中求出m,再将点A 代入反比例函数中求出即可.(2)根据题意画出图象即可. (3)由图象即可看出.(4)设P(x,y)代入等式即可算出.【详解】（1）∵将A 代入直线4y x =-+,m =-1+4=3.∴()1,3A . ∴反比例函数的表达式为:3y x=. （2）如图所示:（3）由上图可得:01x <≤或3x ≥ （4）设P 点坐标(x,y) 223110+=10()()2213x y -+-()()2213x y -+-10.当x=0时,y=339-当y=0时,x=131∴()131,0P 或(0,339P【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于数形结合,熟悉基础知识.24.已知：如图，点C 是以AB 为直径的O e 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F .（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若3ED =，5EF =，求O e 的半径. 【答案】（1）详见解析；（2）O e 的半径为6. 【解析】 【分析】(1)连接CB 、OC,根据切线得∠ABD=90°,根据圆周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF 是O 得切线;(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接CB ，OC ， ∵BD 为O e 的切线，AB 是O e 的直径， ∴DB AB ⊥，90ACB ∠=︒. ∴90ABD ∠=︒. ∴90BCD ∠=︒. ∵E 为BD 的中点， ∴CE BE =. ∴BCE CBE ∠=∠. 又∵OCB OBC ∠=∠∴90OBC CBE OCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒. ∴OC CF ⊥. ∴CF 是O e 的切线.（2）解：∵3CE BE DE ===，5EF =∴8CF CE EF =+=∵90ABD ∠=︒，∴90EBF ∠=︒，∵90OCF ∠=︒，∴EBF OCF ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴EBF OCF ∆∆∽ ∴BE OC BF CF=， ∴348OC = ∴6OC =，即O e 的半径为6.【点睛】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、圆周角定理,关键在于熟悉圆的基础知识及性质. 25.阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工.处理这种材料时，材料温度()y ℃是时间()x min 的函数.下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：()1在这个函数关系中，自变量x 的取值范围是______．()2如表记录了17min 内10个时间点材料温度y 随时间x 变化的情况： 时间()x min 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ⋯温度()y ℃15 24 42 60 3007 1003 30011 30013 m 30017⋯ 上表中m 的值为______．()3如图，在平面直角坐标系xOy 中，已经描出了上表中的部分点.根据描出的点，画出该函数的图象．()4根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0x 5≤≤时，y 与x 之间的函数表达式为______，当x 5>时，y 与x 之间的函数表达式为______．()5根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为______min ．【答案】（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253. 【解析】【分析】（1）根据自变量x 表示的实际意义即可求解；（2）观察表格，可得x 5>时，时间与温度乘积不变；（3）用平滑曲线连接即可；（4）根据图象或表格，可知当0x 5≤≤时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题； 根据图象或表格可知，当x 5>时，函数是反比例函数，利用待定系数法即可解决问题；（5）将30℃分别代入两个表达式，结合图象确定加工时间．【详解】解：()1根据题意知x 0≥，故答案为x 0≥；()2x 5>时，时间与温度乘积不变，故15m 300=，m 20=，故答案为20；（3）()4当0x 5≤<时，设，y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，把()0,15、()1,24代入得{15b 24k b ==+,解得k 9=，b 15=，y 9x 15∴=+；当5≥时，设，y 与x 之间的函数表达式为ky x =，把()15,20代入得k 300=，300y x ∴=，故答案为y 9x 15=+，300y x =；()5当y 30=时，309x 15=+，30030x =， 解得5x 3=，x 10=，5251033-=， 故答案为253．故答案为（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253.【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的应用，正确确定函数表达式是解答关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ，()3,4B -. （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有一个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为2242y x x =-++，抛物线的对称轴为1x =；（2）4433t -≤<或4t =. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 代入利用待定系数法解出即可.(2)由题意确定C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出D 纵坐标的最小值,求直线AC 解析式,令x =1求出y 的值,由对称性即可得范围. 【详解】解：（1）∵点A ，B 在抛物线22y x mx n =++上， ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩ 解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为2242y x x =-++.∴抛物线的对称轴为1x =.（2）由题意得:C(-3,4),二次函数2242y x x =-++的最大值为4.设直线AC:y=kx+b, 将点A 和C 代入得:234b k b =⎧⎨-+=⎩,解得: 223b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩. ∴直线AC 的表达式为223y x =-+. 当x =1时, 43y =. 由对称性可知,此时与BC 交点的纵坐标为: 43-. ∴点D 纵坐标t 的范围为:4433t -≤<或4t =. 【点睛】本题考查二次函数的图象,关键在于掌握待定系数法和画图方法.27.如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于E .（1）求证：CAE CBD ∠=∠.（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE .①依题意补全图形；②用等式表示线段AF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②22AF CE BE =+，理由详见解析.【解析】【分析】(1)利用同角的余角即可解出此问.(2)①根据题意补全图形;②过点C 作CG ⊥CE 角AE 于G,进而判断出∠CAE=∠CBD,即可判断△ACG ≌△BCE,得出AG=BE,CG=CE,进而判断出EC=2CE,得出AE=BE+2CE,再判断出EF=AE,即可.【详解】（1）证明：如图1，∵90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，∴90ACB AEB ∠=∠=︒，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠.（2）①补全图形如图2.②22AF CE BE =.证明：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌.∴CM CE =，ACM BCE ∠=∠.又∵90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒.∴90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒.∴ME =.又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后得到AF ，且90AEF ∠=︒，∴EF AE AM ME BE ==+=+.∴2AF CE ==+【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于利用全等将线段进行转换.28.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 的“近距离”，记为(,)d M N .特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，(,)0d M N =.已知(4,0)A -，(0,4)B ，(2,0)C -，（1）(d 点A ，点)B = ，(d 点A ，线段)BC = ；（2）⊙O 半径为r ，①当1r =时，求⊙O 与线段AB 的“近距离”(d ⊙O ，线段)AB ；②若(d ⊙O ，)ABC ∆1=，则r = .（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点'B ，⊙D 与'BAB ∠的“近距离”(d ⊙D ，')1BAB ∠<，请直接写出圆心D 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）（2）①1;1或5;（3）64m -<< 【解析】【分析】(1) 根据图形M ，N 间的“距离”的定义即可解决问题;(2) ①设P 为⊙O 上一点，Q 为线段AB 上一点，根据当O 、P 、Q 共线时，PQ 最小求解即可; ②利用圆外一点到圆上的最近距离即可确定出半径的范围；(3)分两种种情形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图所示：(d 点A ，点)B = 22443242+==，(d 点A ，线段)BC =4-2=2;（2）①作OD⊥AB 交AB 于D,交⊙O 于点E,OD=442242⨯=，∴(d ⊙O ，线段)AB =DE=22-1，②若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)BC 时，(d ⊙O ，)BC =45525DO ==,14515r =- ；若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)AB 时，(d ⊙O ，)AB =MN=2415r =+=,∴r 的值为455或5；(3)6224m -<<①D 在A 点左侧时，近距离为AM 的长；②D在A点右侧时，近距离为PN垂线段的长.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，图形M，N间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题．。
北京交大附中2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题
北京交大附中2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是【 】A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2的顶点坐标是（ ） A ．（2，1）B ．（﹣1，2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）3．抛物线223y x x =+-的对称轴是直线( ) A ．2x =-B ．2x =C ．1x =-D ．1x =4．已知2是关于x 的方程3x 2﹣2a ＝0的一个解，则a 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．将抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ） A ．y ＝2x 2+3B ．y ＝2x 2﹣3C ．y ＝2（x ﹣3）2D ．y ＝2（x +3）26．在平面直角坐标系中，点P （–2，3）关于原点对称的点Q 的坐标为（ ） A ．（2，–3）B ．（2，3）C ．（3，–2）D ．（–2，–3）7．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1208．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是A ．-1＜x ＜2 B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞4二、填空题9．方程2 280x x +-=的根是______．10．已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______． 11．写出一个抛物线开口向下，与y 轴交于（0，2）点的函数表达式_____． 12．若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a _____b .（填“>”，“=”或“<”）13．二次函数26y x x m =-+（m 是常数）的图象与x 轴的一个交点为(-1，0)，则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根是______．14．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB 'C 'D '．若点B 的对应点B '落在边CD 上，则B 'C 的长为______．15．若二次函数2y x 2x c =++的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是________．16．地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口， 疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是______． 三、解答题17()011π-18．解方程：223x x -=19．已知二次函数的图象过点()0,1且顶点坐标为()2,5，求此二次函数的解析式.20．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2+k ﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根．21．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的表达式； （2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当41x -<≤时，写出y 的取值范围．22．已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB CE >连接BG 、DE .求证：BG DE =.23．图中所示的物线形批桥，当找顶离水面4m 时，水面宽8m ，水面上升3米，水面宽度减少多少24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()A 3,3，()B 4,0，()C 0,1-．()1以点C 为旋转中心，把ABC 逆时针旋转90，画出旋转后的△A B C '' ；()2在()1的条件下，①点A 经过的路径'AA 的长度为______(结果保留π)； ②点'B 的坐标为______．25．探究函数2y x x =-的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m= ，n= ；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =+交于A, B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）△ 若点B 在第一象限，且AB = △ 若AB ≥b 的取值范围.27．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE AB =，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得EGB EAB ∠=∠，连接AG ．（1）如图1，当EF 与AB 相交时，当60EAB ∠=︒时，△请直接写出C ∠度数为______； △求证：EG AG BG =+；（2）如图2，当EF 与CD 相交时，且90EAB ∠=︒，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论．28．定义：对于平面直角坐标系xOy 上的点(),P a b 和抛物线2y x ax b =++，我们称(),P a b 是抛物线2y x ax b =++的相伴点，抛物线2y x ax b =++是点(),P a b 的相伴抛物线．如图，已知点()2,2A --，()4,2B -，()1,4C ．（1）点A 的相伴抛物线的解析式为______；过A ，B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为______；（2）设点 (),P a b 在直线AC 上运动：△点(),P a b 的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式． △当点(),P a b 的相伴抛物线的顶点落在ABC 内部时，请直接写出a 的取值范围．参考答案：1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D9．12x =，24x =- 10．111．y ＝﹣x 2+x +2（答案不唯一） 12．<13．11x =-，27x = 14．1 15．()0,8 16．D17．2 18．13x =，21x =- 19．241y x x =-++20．（1）k ＜2；（2）k ＝1，x ＝0或x ＝2．21．（1）2 23y x x =--+；（2）见解析；（3）54y -<≤22．见解析 23．4米24．（1）见解析；（2）△5π2；△()1,3-.25．（1）m=1，n=0；（2）见解析；（3）12334x x x <++<26．（1）c=b-1；（2）△抛物线的解析式为21y x =-；△ 0b ≤或6b ≥.27．（1）△60；△证明见解析；（2）EG BG +=，证明见解析28．（1）222y x x -=-，(21)0--，；（2）△抛物线Ω的解析式为：242y x x =--+；△40a -<。
北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试卷(含详解)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据切线的性质定理得∠OAB=90°，进而可求得∠AOB=50°，再根据圆周角定理即可求得∠ACD的度数．
【详解】解：∵ 为 的切线，切点为 ，
∴∠OAB=90°，
∵∠ABO=40°，
①求Q点 纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
23.如图， 是等腰直角三角形， 是直角三角形， ，点 为边 中点将 绕点 顺时针旋转，旋转角记为 ，点 为边 的中点．
如图，求初始状态时 的大小；
如图，在旋转过程中，若点 构成平行四边形，请直接写出此时 的值；
【详解】A.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
B.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
C.对于函数 ，∵xy=-2<0，∴x，y异号，故不存在“同号点”；
D.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义问题，以及函数图像上点的坐标特征，正确理解“同号点”的定义是解答本题的关键．
∴∠AOB=90°﹣∠ABO=90°﹣40°=50°，
∴∠ACD= ∠AOB=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的两锐角互余、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
5.已知点 在反比例函数的 的图像上，当 时， 的取值范围是（）
A. B. 或
C. D. 或
B选项中的三边长分别为： ，3， ，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为： ，1，2 ，
北京师范大学附属中学2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷及答案
2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题。
（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。
1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝53．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣24．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（）A．B．2C．D．55．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5B．0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞5D．x＜0或x＞39．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题。
2020-2021学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（共8小题）.1．一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3B．2，1，﹣3C．2，﹣1，3D．2，﹣1，﹣3 2．如图，圆O的弦中最长的是（）A．AB B．CD C．EF D．GH3．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（﹣1，0）4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝6D．（x+1）2＝6 5．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（）A．CA＝CD B．△CDF≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF8．在平面直角坐标系xOy中，对于自变量为x的函数y1和y2，当﹣1≤x≤1时，都满足|y1﹣y2|≤1成立，则称函数y1和y2互为“关联的”，下列函数中，不与y＝x2为“关联的”的函数是（）A．y＝x2﹣1B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣x2+1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为．10．写出一个对称轴为y轴的二次函数的表达式．11．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为．12．如图，AB是⊙的弦，直径CD⊥AB于点H，若⊙O的半径为10，AB＝16，则DH的长为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则a0，b2﹣4ac0（两空均选填“＞”，“＝”，“＜”）．14．如果m是方程x2+3x＝2020的根，那么代数式m（2m+1）﹣（m﹣1）2的值为．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足表格：x…﹣10123…y…105212…根据图表中信息推断，方程ax2+bx+c﹣10＝0的根为．16．如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且满足CE＝2BE，过点B作AE的垂线，与CD交于点F，点P、Q分别为线段AE和BF的中点，连接PQ，若PQ＝2，则正方形ABCD的边长为．三、解答题（本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分）解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程17．解方程：x2+5x+7＝3x+8．18．求抛物线y＝x2﹣2x与x的交点坐标，并在坐标系中画出图像．19．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在直线BC上，F在BA的延长线上，且满足BF ＝CE，∠E＝∠F．求证：AE＝DF．20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；（2）若此方程的根都为正整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），B（2，3），C（2，1），将△ABC绕平面内的某个点P逆时针旋转α．（0°＜α＜180°）角度后，得到△DEF，其中点A、B、的对应点为D（0，2）、E（﹣2，1）．（1）在图中标出点P的位置，并画出旋转后的△DEF；（2）旋转角α的度数为°；（3）小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，将请将其补全；先将△ABC关于直线x＝1对称，再将所得的图形再关于直线．（填直线的表达式）对称得到△DEF．22．小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均3m，今有宽2.4m 的卡车在道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小字以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小雨解决这个问题．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，若M为CD的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）连接AD，OE，若OE∥AD，求∠BAD的度数．24．小字在学习过程中遇到一个函数y＝|x﹣1|（x2﹣2x+1）﹣2．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：（1）对于函数y1＝|x﹣1|，图像关于直线x＝1对称；对于二次函数y2＝x2﹣2x+1，图像的对称轴为；综合上述分析，进一步探究发现，函数y的图像也是轴对称图形，其对称轴为．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中画出了函数y的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整．（3）结合数图像和解析式的分析，小得出以下三个结论：①函数y有最小值，没有最大值；②函数y的图像与轴的负半轴交点的横坐标p满足﹣1＜p＜−1 2．③若（x1，m），N（x2，n）函数y图像上的两点，若x1＜x2，且x1+x2＞2，则一定有m＜n．所有正确结论的序号是．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图像上．（1）当t＝2时，求二次函数对称轴的表达式；（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答：①当这个函数的最小值为0时，求t 的值；②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围．26．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC ＜PA ，连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上．（1）依题意补全图形；（2）求证：①PA ＝PB ；②∠BPD ＝∠BCD ；（3）过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC 是一个定值，画出图形，并求出这个定值．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A （a ，b ）和给定的实数t （t ＞0）．若这个函数在a ≤x ≤a +t 上有定义且满足：当a ≤x ≤a +t 时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M ﹣m ＝t ，就称这个函数满足性质Φ（A ，t ）． 如图1，对于函数y ＝x ，给定其图象上的点O （0，0）和t ＝1，在0≤x ≤1上函数值y的最大值M ＝1，最小值m ＝0，满足，M ﹣m ＝t ，因此函数y ＝x 满足性质Φ（0，1）．（1）根据定义，判断函数y ＝x 2是否满足性质Φ（0，1），并说明理由；（2）已知函数y ={−12x ，x ≤0kx ，x ＞0，点M 的坐标为（﹣2，1），若这个函数满足性质Φ（M ，3），结合函数图像，求k 的值；（3）点P 为二次函数y =12x 2图像上的动点，若存在唯一的t ＞0，使得函数y =12x 2满足性质Φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．。
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2020北京交大附中初三（上）10月月考数 学班级：姓名：一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是( )2.抛物线()212y x =-+的顶点坐标为( )A. (-1，2)B. (1，2)C. (1，-2)D. (2，1)3.抛物线223y x x =+-的对称轴是直线( )A. x =-2B. x =2C. x =-1D. x =14.已知2是关于x 的方程2320x a -=的一个解，则a 的值是( )A.3B.4C.5D.65.将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为( )A. 223y x =+B. 223y x =-C. ()223y x =+D. ()223y x =-6. 平面直角坐标系内一点P (-2，3)关于原点对称的点的坐标是( )A. (2，-3)B. (2，3)C. (-2，-3)D. (3，-2)7.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是( )A.45B.60C.90D.1208.已知一次函数1)0(y kx m k =+≠和二次函数22)0(y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当21时，自变量x 的取值范围是( ) A. -1<x <2B. 4<x <5C. x <-1或x >5D. x <-1或x >4二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9.方程2280x x +-=的根是.10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 . 11.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0，2)的抛物线的表达式：.12. 若二次函数()213y x =-+的图象上有两点A (0，a )，B (5，b )，则ab .(填“>”，“=”或“<”)13.二次函数26y x x m =-+(m 是常数)的图象与x 轴的一个交点为(-1，0)，则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根是.14.如右图所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB ’C ’D ’.若点B 的对应点B'落在边CD 上，则B ’C 的长为 .15.若二次函数22y x x c =++的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是.16.地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是.三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.01()1π--18.解方程：223x x -=19.已知二次函数的图象经过点(0，1)，且顶点坐标为(2，5)，求此二次函数的解析式.20.关于x 的一元二次方程22220x kx k k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根.21.若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：(2)画出此函数图象(不用列表).(3)结合函数图象，当-4<x ≤1时，写出y 的取值范围.22.已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB >CE .连接BG 、DE .求证：BG =DE .23.图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m.水面上升3米，水面宽度减少多少?24.如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A (3，3)，B (4，0)，C (0，-1).(1)以点C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C ； (2)在(1)的条件下，①点A 经过的路径'AA 的长度为(结果保留π)；②点B'的坐标为.25.探究函数2y x x =-的图象与性质.小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究. 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x 与y 的几组对应值.m=，n=.(2)如图，小娜在平面直角坐标系x O y 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为123x x x ，，，且123x x x <<.请直接写出123x x x ++的取值范围26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线y =x +1交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上.(1)用含有b 的代数式表示c ；(2)①若点B 在第一象限，且AB =②若AB ≥b 的取值范围.27.在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .(1)如图1，当EF 与AB 相交时，当∠EAB =60°时， ①请直接写出∠C 度数为；②求证：EG =AG +BG ；(2)如图2，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论.28.定义：对于平面直角坐标系xOy 上的点P (a ，b )和抛物线2y x ax b =++，我们称P (a ，b )是抛物线2y x ax b =++的相伴点，抛物线2y x ax b =++是点P (a ，b )的相伴抛物线.如图，已知点A (-2，-2)，B (4，-2)，C (1，4). (1)点A 的相伴抛物线的解析式为；过A ，B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为；(2)设点P (a ，b )在直线AC 上运动：①点P (a ，b )的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式.②当点P(a，b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围.2020北京交大附中初三（上）10月月考数学参考答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)9.1224x x ==-， 10.111.22y x =-+(答案不唯一) 12.<13.1217x x =-=， 14.1 15.(0，8) 16.D三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)17.解：原式2=......5分 18.解：1231x x ==-，19.解：设解析式为()225y a x =-+. ......2分代入x =0，y =1，得1=4a +5......3分 a =-1. ....4分所以解析式为()225y x =--+或241y x x =-++. .....5分20.解：(1)根据题意知()()2224120k k k =--⨯⨯+->， 即-4k +8>0， 解得k <2；(2)∵k <2且k 为正整数， ∴k =1， ∴220x x -=， 解得x =0或x =2.21.解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(-1，4)，设()214y a x =++，把(0，3)代入得()20143a ++=，解得a=-1，∴抛物线的解析式为()214y x =-++，即223y x x =--+；(2)函数图象如图所示，(3)当-4<x ≤1时，-5<y ≤4.22.证：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，∴DC =BC ，GC =EC ，∠BCD =∠GCE =90°....1分 ∴∠BCG =∠DCE ....2分 在△BCG 和△DCE 中DC BC BCD GCE GC EC =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩= ∴△BCG ≌△DCE .........4分 ∴BG =DE .............5分23.解：建立如图所示坐标系............. 1分则可得过点(4，-4) ...........…2分设解析式为2y ax =...........…3分 代入(4，-4)得14a =-........…4分 所以解析式为214y x =-把y =-1代入，得x =±2..........…5分 则水面的宽减少了8-4=4(米) ..........……6分 24.解：(1)画图正确；.........……3分 (2)①52π；.........……4分 ②(-1,3) .........……5分 25.解：(1)m =1，n =0；........……2分 (2)如图：.........……4分(3)12343x x x <++<分 26.解：(1)由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1，0). .......…….1分 又因抛物线2y x bx c =++经过点A所以将点A 坐标(-1，0)代入抛物线解析式可得 1-b +c =0，即c =b -1.........…….2分 (2)①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得 A (-1，0)，C (0，1). 可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90°， 所以△OAC =45°.如图，已知AB =B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知∠ADB =90°.又因∠BAD =45°，AB = 所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2，3)........….3分将点B 的坐标(2，3)代入抛物线2y x bx c =++的解析式可得2b +c =-1. 并与(1)中得到的c =b -1联立方程组可得：211.b c c b +=-⎧⎨=-⎩，解得01.b c ⎧⎨⎩==-，得抛物线的解析式为21y x =-.........….4分 ②b ≤0或b ≥6.........…..6分 27.(1)①60°….......…1分②在GE 上取H ，使GH =GB ，连接HB ，EB .∵∠EGB =∠EAB =60°，∴△HGB ，△EAB 是等边三角形，∴BE =BA ，BH =BG ，∵∠HBE =∠GBA ，∴△HBE ≌△GBA ，….......……2分∴HE =GA ，∴GE =GH +HE =BG +AG . ….......….3分(2)结论：EG BG +=. ….......….4分证明：将△AGE 绕A 顺时针旋转90°至△AHB 处，∴HB =GE ，AH =AG .∵在四边形ABGE 中，∠ABG +∠AEG =180°，∴∠ABH +∠ABG =180°，即H ，B ，G 三点共线. .........5分∵AH =AG ，∴△AHG 是等腰直角三角形，........6分∴HG =∵HG =HB +BG =EG +BG ，∴.EG BG +=…7分28.(1)a =b =-2，故抛物线的表达式为：222y x x =--.故答案为：222y x x =--；将点A 、B 坐标代入2y x ax b =++得：4-221642a b a b +=-⎧⎨++=-⎩解得：a =-2，b =-10. 故答案为：(-2，-10)； (2)①由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：y =2x +2，设点P (m ，2m +2)，则抛物线的表达式为：222y x mx m =+++， 顶点为：211(,22)24m m m --++令12x m =-，则m =-2x ， 则22122424y m m x x =-++=--+， 即抛物线Ω的解析式为：242y x x =--+；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC 内部为EF 段，抛物线与直线AC 的交点为点E (0，2)；当y =-2时，即2422y x x =--+=-，解得：2x =-±故点)22(F -+-；故02x <<-+a =m =-2x ，故：40a -<<.。