圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
高中数学圆锥曲线性质与公式总结
1 r22
1 a2
1 b2
(r1 | OP |, r2
| OQ |)
.
16．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上中心张直角的弦
L
所在直线方程为
Ax By
1
( AB
0)
,则(1)
1 a2
1 b2
A2 B2 ;(2)
L
2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2
或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一
条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：x a2 (或 m
y b2 )上. m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相
1
则直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．椭圆 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 SF1PF2
b2
tan 2
， P(
a c
c2 b2 tan 2 , b 2 tan ) 2c 2
应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式是一种比较复杂的数学运算公式，通过利用该公式，我们
可以求得圆锥曲线的焦半径。
一般来说，这个公式非常重要，因为它与圆锥曲线的属性有关，可以对圆锥曲线的平面投影或者轮廓作出准确的描述。
圆锥曲线焦半径公式可以用简洁的数学表示式来表示，如下：
R=c/2√2h
其中：R 为圆锥曲线焦半径，c 为圆锥曲线曲线圆心到曲线上任一点的距离，
h 为圆锥曲线曲线圆心到曲线外点的距离。
圆锥曲线的焦半径是由圆锥曲线的半角和曲率来决定的，它与曲率之间的关系
是正比的，这意味着，随着曲率的增加，圆锥曲线的焦半径也会相应增加。
圆锥曲线焦半径公式的应用非常广泛，它既可以用于求解圆锥曲线的几何特征，也可以用于计算圆锥曲线曲线与所需圆或椭圆的关系。
圆锥曲线的焦半径公式已经被广泛应用于室内景观设计、建筑设计、测量计算等领域。
总之，圆锥曲线焦半径公式是一个复杂但又非常有用的数学公式，它与圆锥曲
线的曲率有关，对于求解圆锥曲线属性和计算各类圆或椭圆的关系有着重要的作用，应用范围也十分广泛，值得我们加以重视。
圆锥曲线焦点弦长公式
圆锥曲线焦点弦长公式
椭圆：
对于椭圆，其标准方程为 a2x2+b2y2=1（其中 a>b）。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数，等于椭圆的长轴长，即 2a。
焦点弦长的一般公式比较复杂，但如果是过焦点的直线与椭圆相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=a2k2+b22b2
双曲线：
对于双曲线，其标准方程为 a2x2−b2y2=1。
焦点到双曲线上任意一点的距离之差为常数，等于双曲线的实轴长，即 2a。
对于双曲线的焦点弦长，情况与椭圆类似，但公式会有所不同。
如果过焦点的直线与双曲线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：L=b2−a2k22b2
抛物线：
对于抛物线，其标准方程为 y2=4px（其中 p 是焦距）。
焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
对于抛物线的焦点弦长，如果过焦点的直线与抛物线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=k22p。
圆锥曲线全部公式及概念
1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。
类型二pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。
ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉∴焦半径PFep．1ecos
解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。化学反应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。
圆锥曲线的焦半径公式推导
圆锥曲线的焦半径公式推导如下：圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。
对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。
推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。
3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。
4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。
通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。
5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。
这里的e是椭圆的离心率。
6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。
在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。
综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。
这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1?已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为）当焦点内分弦外分弦。
证明是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点上的射，，，所以（1）内分弦时。
如图1，，所以（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注?特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解?这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（??）解?的倾斜角为，代入公式得，所以，所以例3题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，轴左侧），则有＿＿＿＿解，代入公式得，解得例4题）已知的一个焦点，线段的延长线交于点，且，则解?设直线与焦点所在的轴的夹角为，所以例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解?这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2?已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有证明，过点作轴的垂线交直线于点，于点由圆锥曲线的统一定义得，，所以。
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。
在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。
一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。
以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。
（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。
（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。
（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。
通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。
研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。
二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。
在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。
一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。
以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。
圆锥曲线的极坐标方程与像性质
圆锥曲线的极坐标方程与像性质圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要概念，用于描述平面上某一点到定点和定直线的距离比例关系。
其中，圆、椭圆、双曲线和抛物线都属于圆锥曲线的特殊情况。
在本文中，我们将重点讨论圆锥曲线的极坐标方程以及它们的像性质。
一、圆锥曲线的极坐标方程在极坐标系中，我们可以利用极径和极角来描述一个点的位置。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程可以通过将笛卡尔坐标系下的方程进行换元得到。
下面分别介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程。
1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程可以表示为 r = a，其中 a 为圆的半径。
由于圆的每个点与圆心的距离都是相等的，因此圆的极坐标方程非常简单。
无论极角θ 是多少，极径 r 都等于 a。
2. 椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为 r = a(1 - ε^2) / (1 - εcosθ)，其中 a 是长轴的一半，ε 是离心率。
椭圆是一个与两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
在极坐标系中，焦点是极角为 0 的点与极角为π 的点。
通过使用离心率ε 可以调节椭圆的形状，当ε = 0 时，椭圆退化为一个圆。
3. 双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以表示为r = a(1 + εcosθ)，其中 a 是双曲线的半径，ε 是离心率。
双曲线是一个与两个焦点的距离之差等于常数的点的集合。
与椭圆不同的是，双曲线在焦点之间是开放的，而且离心率ε 的取值可以小于 1。
4. 抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为r = a(1 + cosθ)，其中 a 是抛物线的焦半距。
抛物线是一个与焦点到直线的垂直距离相等的点的集合。
抛物线具有对称性，其极径与焦点的位置有关。
二、圆锥曲线的像性质每种圆锥曲线都有其独特的像性质，我们将逐一介绍它们。
1. 圆的像性质圆是一种具有高度对称性的圆锥曲线，因此它的像性质也与对称性有关。
无论通过圆的哪个点，所有的光线都会在同心圆上汇聚。
2. 椭圆的像性质椭圆也具有很强的对称性，因此它的像性质也与对称性有关。
圆锥曲线中的应记的二级结论
(11)SABO
p2
2sin
,
yA
M
O •F
x
B
几何特征： （1）AN BN； (2)PF QF; (3)NF AB; (4) AN是PAF的平分线， BN同理； （5）AN是抛物线的切线， BN同理； （6）A,O,Q三点共线， B,O, P三点共线；
直线和圆锥曲线的位置关系中，应该求出坐标的点：
于准线于N , 直线AB的倾斜角为，A(x1, y1), B(x2, y2 ),
代数特征：
（7）x1x2, y1 y2及OA OB均为定值；
(8)
|
AB
|
x1
x2
p
2p
sin 2
;
(9) | AF | p ,| BF | p ;
1 cos
1 cos
(10) 1 1 2 ; | AF | | BF | p
1.两直线的交点； 2.曲线C与坐标轴的交点； 3.直线与圆锥曲线的特殊的交点
b2
BF1 a c cos
=
a2
2ab2 c2 cos2
（长减、短加； 为直线AB与焦点所在对称轴的夹角）
抛物线C:x2 2 py
焦半径 : AF p ，
1 cos
BF = p
1+ cos
焦点弦 :
AB
2p
1 cos2
2p
= sin2
四.和圆中三个垂直关 系对应椭圆中的类似 性质： （1）椭圆的“垂径” 定理:
B2 4AC A2
（1 k 2 ) =
A
（2）同理:椭x 圆m方y 程n
AB
(1 m2 ) A
三.焦半径和焦点弦:
简证 : AF1F2中, 设AF1 m
圆锥曲线必备公式(经典)
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a 2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ，0 ，A 2a ，0 ，B 10，-b ，B 20，bA 10，-a ，A 20，a ，B 1-b ，0 ，B 2b ，0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =ca=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0x b 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c(2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tanθ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之差为常数（大于F 1F 2 ）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yx F 1F2b c 虚轴实轴ayxF 1F 2实轴虚轴标准方程x 2a 2-y 2b 2=1a >0，b >0 y 2a 2-x 2b 2=1a >0，b >0 范围x ≤-a 或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R 顶点A 1-a ，0 、A 2a ，0 A 10，-a 、A 20，a 轴长虚轴长=2b ，实轴长=2a ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2+b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径|PF 1|=a +e x 0，|PF 2|=-a +e x 0左支添“-”离心率e =ca=1+b 2a2e >1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 渐近线y =±b a xy =±a b x切线方程x 0x a 2-y 0y b 2=1x 0x b 2-y 0y a 2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|-|PF 2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2÷tan θ2=c ∙y(4)离心率：e =F 1F 2 PF 1 -PF 2=sin θsin α-sin β =sin (α+β)sin α-sin βyxF 1F 2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2，0 F -p 2，0 F 0，p 2 F 0，-p2准线方程x =-p 2x =p 2y =-p2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ，(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2p (4)AB =2p sin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ，0)则设直线：x =my +a ，可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ，y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ，韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 23、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn，可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2，x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2，代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法（可以拓展为第三定义）：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0，y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中，有k MN ⋅y 0=p .。
圆锥曲线焦半径公式推导过程
圆锥曲线焦半径公式推导过程
要推导圆锥曲线的焦半径公式，我们可以从圆锥曲线的定义和焦点的性质开始。
首先，圆锥曲线可以通过一个定点（焦点）和一个定直线（准线）的几何性质来定义。
根据焦点的性质，对于任意一点P到焦点F的距离与到准线的距离的比值始终是一个常数e，这个常数被称为离心率。
圆锥曲线有三种形式，椭圆、双曲线和抛物线，它们的焦半径公式略有不同。
首先，我们以椭圆为例进行推导。
椭圆的焦半径公式为r =
a(1 e^2) / (1 + e cosθ)，其中a为长半轴，e为离心率，θ为极角，r为极径。
我们可以通过极坐标系来推导这个公式。
首先，假设椭圆的极坐标方程为r = (l / (1 + e cosθ))，其中l为焦距。
我们知道焦距l与长半轴a的关系为l = a e。
接下来，我们可以利用焦点到极点的距离公式r = l / (1 + e
cosθ)来推导焦半径公式。
首先，我们可以利用勾股定理得到焦点到极点的距离的平方为r^2 = x^2 + y^2，其中x = l / (1 + e) cosθ，y = l / (1 + e) sinθ。
将x和y代入上式，经过一系列的化简和代换，最终可
以得到焦半径公式r = a(1 e^2) / (1 + e cosθ)。
对于双曲线和抛物线的焦半径公式推导过程，我们需要分别利用它们的极坐标方程进行推导，具体的推导过程与椭圆有所不同，但是基本的思路是类似的。
总的来说，圆锥曲线的焦半径公式是通过极坐标系和焦点的性质推导而来的，具体的推导过程需要利用数学知识和技巧进行推导和证明。
希望这个回答能够帮助你理解圆锥曲线焦半径公式的推导过程。
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线一共线焦半径性质的发现、引申和应用
圆锥曲线一共线焦半径性质的发现、引申和应用作者：傅建红来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第03期摘要：圆锥曲线有许多统一性质，本文介绍其共线焦半径的一个性质，并例说谈它的应用.关键词：圆锥曲线；焦半径；性质圆锥曲线有许多优美的统一性质，比如统一定义；统一极坐标方程：ρ=；横（纵）向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式：AB=（AB=）（对双曲线为同支焦点弦）…等等. 这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系，展示了圆锥曲线内在的“统一美”，而且其本身也具有很高的应用价值. 作为教师，若能与学生一起进行探究、推导和应用，则不仅能拓宽学生的知识面，加深学生对圆锥曲线所学知识的理解，同时还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 本文探寻圆锥曲线的一个共线焦半径性质，并把它统一成用通径表达的形式，再例谈它的应用，以供参考.性质的发现发现之旅源于对如下的一个学生提问的思考：题目：已知椭圆+=1（a>b>0），过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A，B两点，求证：+为一个与α无关的常数.分析：这是椭圆中的一个普通问题，也是椭圆的一个基本的性质，它的证明可以采用普通方法，也可以用极坐标法解决.证明一：设A（x1，y1），B（x2，y2），F（－c，0）为左焦点，当α≠90°时，设直线l 的方程为：y=k（x+c），联立椭圆方程并消去y得，（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，由韦达定理x1+x2=，x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=，其中e=，代人并化简得+==2·-1，为常数；当α=90°时，+=+=2-1. 综上，对任意的倾斜角α，+=2·-1，为定值.证明二：以椭圆左焦点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=（其中e为离心率，p为焦点到相应准线的距离），设A（ρ1，α），B（ρ2，π+α），则+=+=+=，其中ep=，所以+==2-1，为定值.评注：在处理焦点弦问题中，极坐标法具有明显的优势，它能化难为易，变繁为简.另外，本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等，在此不再赘述.探究：题目已经证完了，但我们不能就此停下脚步. 上述证明表明，椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数，由此引发我们联想：双曲线和抛物线中是否也有同样性质呢？即把上述题目中的椭圆+=1（a>b>0）改成双曲线－=1（a>0，b>0）和抛物线y2=2px后，+是否仍为常数呢？回答是肯定的，由于椭圆、双曲线和抛物线在一定坐标系条件（椭圆的左焦点，或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点，x轴正向为极轴）下具有统一极坐标方程ρ=，根据证明可知，在双曲线和抛物线中+仍为. 由此我们发现：圆锥曲线（同支）共线焦半径的倒数之和为常数，即+=. 但这种常数的形式在普通方程中并没出现过，学生不太容易接受. 于是我们就想，能否把它表示地更一般些呢？这ep究竟是一个怎样的量呢？由e，p 的几何意义我们知道，在椭圆中e=，p=－c=，即ep=；在双曲线中e=，p=c－=，同样有ep=；在抛物线中e=1，故ep=p.为什么椭圆和双曲线中的结果都与有关，而抛物线中只与p有关，同样都是圆锥曲线，这两者之间会不会有某种联系呢？通过对圆锥曲线的仔细分析，发现：即为椭圆和双曲线通径长的一半，那么p不也就是抛物线通径长的一半吗？于是发现：ep 为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m，即有ep=，则+即可统一写成=. 受此启发，本文开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式：AB=（AB=）即可写成：AB=（AB=）. 于是得到了圆锥曲线共线焦半径的如下：性质：已知横（纵）向型圆锥曲线的通径长为m，AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，则（1）+=；（2）AB=（AB=）（上述的同支只针对双曲线）.评注：因为学生对通径相对要熟悉一些，所以这种表示的形式更容易被学生理解和记忆.性质的引申由于AB=AF+BF，联立上述（1），（2）可以求出，经过归纳得到有如下结论：引申1 设F为椭圆的左焦点（或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.引申2 设F为椭圆的右焦点（或双曲线的左焦点，或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.引申3 设F为椭圆的下焦点（或双曲线的上焦点，或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.引申4 设F为椭圆的上焦点（或双曲线的下焦点，或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.性质的应用有了上述的性质和引申，就可以方便地解决有关共线焦点弦问题，如：例1 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF=3，则BF=________.解：由性质1：因为+=，将AF=3，m=2p=4代人，即得BF=.例2 （2010年重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=3，则弦AB 的中点到准线的距离为________.解：由抛物线定义知，弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，由引申1知3=，即cosα=，所以AB===，从而弦AB的中点到准线的距离为.例3 （2010全国卷Ⅱ理）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k （k>0）的直线与C相交于A，B两点．若=3，则k=（）A. 1B.C. D. 2解：由引申2知，=，即得cosα=，所以斜率k=tanα=. 故选B.评注：本文得出的相关结论能有效地解决一类共线焦点弦问题，可在选择题和填空题中直接使用. 此外，本文探究中运用了类比的方法，它是数学学习中的重要方法，也是培养学生创新意识的重要途径，应该予以重视.同型演练1. （2009年全国Ⅱ理）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则C的离心率为（）A. B.C. D.2. （2010年全国卷Ⅰ文）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则C的离心率为________.3. （2010年辽宁理）设椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果AB=，求椭圆C的方程.参考答案：1. A；2. ；3. （1）e=；（2）+=1.。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
初中数学-圆锥曲线焦半径体系-公式与证明-
规定半通径p =b 2a圆锥曲线焦半径体系1.椭圆的焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两点A 和B ，∠AF1F 2为α，则称线段AB 为焦点弦。
AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p ①如图，当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α；当焦点弦过右焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α．② 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为AB =2b 2a．③4a 体:过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F 1的弦AB 与右焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是4a ；证明：(1)AF 1 +AF 2 =2a ;BF 1 +BF 2 =2a ，故AB +AF 2 +BF 2 =4a ；(2)设AF 1 =m ;BF 1 =n ;AF 2 =2a -m ;BF 2 =2a -n ;由余弦定理得m 2+2c 2-2a -m 2=2m ⋅2c cos α；整理得AF 1 =b 2a -c cosα=p 1−e cos α同理：n 2+2c 2-2a -n 2=2n ⋅2c cos 180°-α ；整理得BF 1 =b2a +c cos α=p 1+e cos α两式相加得，则过焦点的弦长：AB =m +n =2ab2a 2-c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α2.双曲线的焦点弦问题：双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 过左焦点F 1(A 、B 都在左支上)，AB =l ，则△ABF 2的周长为4a +2l (如下图左)AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p 焦半径公式：当AB 交双曲线于一支时，与椭圆公式一样。
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecosep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222.cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2co s2epep2ab2若M、N在双曲线不同支上，MN.1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF xp. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
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圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 -或 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 523cos ρθ=-12(,),(,)33A B ππρρπ+12||AB ρρ=+5580||723cos 23cos()33πππ=+=--+12ρρ+12ρρ+()12-ρρ+12ρρ+变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 求AB ｜｜解：附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2px PF +=.利用弦长求面积高考题（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
变式(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点ρ=12(,),(,)66A B ππρπρ+-12||AB ρρ=+11||11)66πππ=++-（）|=4=F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2ρ=设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：2||11cos 2PQ θ=-，202||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+2111sin 2216θ=+ 即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例一．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e pe -=则0240cos 1,60cos 1e pe FB e p e FA -=-=，∴21221ep e e p e +⋅=-，解得32=e ；变式求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，2p ∴=所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos 3cos44AB ρρππ=+=+=--（3）定值问题例1. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A a B b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+ 则11ab+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p （定值） 点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+ 例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11AB CD+为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得 222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin epAB e θ=-则 2112-e =AB CD 2ep+ 注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例三(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠．证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP = 92cos θ-、2||FP =092cos(120)θ-+与3||FP =092cos(120)θ--，因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道00cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此21311123FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点． 推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？ 推广2 设123P P P P n 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP 圆周角等分则n2i=1i1OP ∑也为定值作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15||4AB =，求椭圆方程。