一条线段最值问题的研究

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l P

A 图1C

B A D E 图2

C A E B

D F

G

图3C B A M E D

一条线段最值问题的研究

初中阶段线段最值问题涉及广泛，有一条线段的最值问题，两条及多条线段和的最小值问题，还有两条线段差的最大值问题等，这里主要讨论一条线段最值问题。

基本原理：一条线段由两个点组成，不是动点即为定点，可以按照单动点和双动点分类，也可以按照动点形成的轨迹去分类。初中阶段考察最多的轨迹是直线和圆（或其部分），经过排列组合可以得到多种情形（这里不穷举，只讨论常见部分）。由于压轴题中动点形成的轨迹难以确定，

或者需要转化，所以也是造成部分优生答题困难的重要原因。

基本情形1：一个定点和一个轨迹为定直线的动点 如图，给定定点A 和直线l 上的动点P ，利用“垂

线段最短”可知AP 与l 垂直时AP 值最小。 例1.如图1，在⊿ABC 中，∠CAB=30°，∠CBA=90°，

BC=1，D 为直线AB 上一动点，把点D 绕点C 顺时针旋

转60°得点E ，求BE 的最小值．

分析：D 的运动轨迹是直线,所以经过旋转后E 的运动轨迹也是直线,所以只需把直线AB 绕点C 顺时针旋转

60°可得E 的轨迹,从而转化成点到直线的距离. 例2.如图2,在⊿ABC 中，∠CAB=15°,AC=3,D 为直线AB

上一动点(不与A 、B 重合), ⊿AED 为等腰直角三角形且∠DAE=90°,过E 作EF ⊥DE,F 为垂线上任一动点,G 为DF 的中点,求线段CG 的最小值. 分析:连接EG 、AG 可得⊿ADG ≌⊿AEG,从而可知∠CAG=60°,所以G 在直线上运动, 从而转化成点到直线的距离. 例3.如图3,在直角⊿ABC 中，CB=3,CA=4，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD ⊥AC 于D ，过M 作ME ⊥BC 于点E ，求线段DE 的最小值为 . 分析:连接CM,则CM=DE,则只需求CM 的最小值,从而双动

点转化成单动点,并且又一次转化成点到直线的距离.

例4.如图4，⊿ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2，D 是

线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，

F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 _________ ．

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图6图7

B A 图8（

1）图8（2）B

P A 分析：连接OE 、OF ，可得EF=3OE ，AD=2OE ，而EF= 32

AD ， 从而只需求出AD 的最小值，并且又一次转化成点到直线的距离.

基本情形2：一个定点和一个轨迹为定圆的动点

如图，已知定点A(A 也可在圆内)和圆B 上一动点P ，

且AB=d ，圆B 半径为r ，易知当A 、B 、P 三点共线时的AP 有最大值d+r 和最小值d r -. 例5.如图5，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将⊿

ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到⊿A ′B ′C,取AC 中点E ，A ′B ′

中点P,连接EP ，则在旋转过程中线段EP 的最大值

是 ，最小值是 .

分析: 连接CP 可知CP=1,所以P 的轨迹是定圆,所以此

题即可转化成基本情形2.

例6.如图6，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,点

D 在边AC 上且AD=4，连结BD ，,将线段AD 绕点A 旋转，点

F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值和最小值.

分析：因为BD=2CF ，所以只需求BD 的最值，而D 的轨迹

是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.

例7.如图7， E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，

满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若

正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．

分析：由全等可以知道∠DAG=∠DCG=∠ABE ，∠GAB=∠GCB ，

从而可知∠AHB=90°，所以H 的轨迹是圆（确切是半圆），所以

此题即可转化成基本情形2.

基本情形3：含有其它轨迹的动点

这种类型的题目有些可以转化成基本情形1和基本情形2，

如例3、例4和例6，有些可以构造三角形，利用三角形第三

边大于两边之差小于两边之和，如图,A 是定点，B 、C 是动点，

则AB AC BC AB AC -≤≤+，当A 、B 、C 三点共线时BC 取到最值.

例8.如图8(1)，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边

OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩

形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D

到点O 的最大距离为 .

分析：并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也不

一定认识，比方说本题可以作DP ⊥OA ，设AP=a ，DP=b ，由相似

可知OA=2b ，所以点D 的坐标可以假设为（x ，y ）=（b ，a+2b ），

根据221a b +=得，22(2)1y x x -+=，是一个椭圆，所以应该寻求

新的方法.如图8(2)取AB 的中点E,连接OE 、DE 、OD,构成三角形，

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9图10

B

B

图13D 显然OD ≤OE+DE,可得最大值OE+DE.

例9.如图9,在⊿AOB 中，AB=OB=2，在⊿COD 中，CD=OC=3, 连

接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点. 固定⊿AOB ，

将⊿COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.

分析：连接BM 可知∠BMC=90°,所以BC=2PM,所以只需求BC

的最大值即可, BC 、OB 、OC 构成三角形，显然BC ≤OB+OC,可得最

大值5.

例10,如图10,在Rt ⊿ABC 中, ∠ACB=90°,BC=6,tan ∠BAC=0.5.点D 在边AC

的三等分处,将线段AD 绕点A 旋转,

连接BD,F 为BD 的中点,求线段CF 的最大值. 分析：取

AB 中点G ，连接FG 、CG ，可得CG=，FG=2，

又FG 、CG 、CF 构成三角形，显然CF ≤FG+CG,可得最大值

2. 基本情形4：两个轨迹为定直线的动点

这里不讨论两条直线相交情况，如图A 、B a 、b 上的动点，且a ∥b ，则当AB ⊥a 时AB 有最小值.

例11,如图11,在等腰直角⊿ABC 中，∠BAC=90°,AB=2E 、F 为直线BC 上的动点，M 和E 关于直线AB 对称，AP 由线段AF 逆时针旋转90°得到，求线段PM 的最小

值.

分析：这里M 和P 形成的轨迹都是直线，并且平行，可以转化成两条平行线之间的距离.

基本情形5：两个轨迹为分别为定圆和定直线的动点 直线和圆位置关系有三种情况,这里只讨论直线与圆

相离的情况.如图圆O 与直线l 相离,A 、P 分别为直线l 和圆P 的动点，显然当OA ⊥l 且O 、A 、P 共线时线段AP 取到值.到直线l 的距离为d,圆O 半径为r,则AP 的最大值为d+r,d-r.

例12,如图12, 在⊿ABC 中，∠BAC=45°, ∠ABC=60°, CB=2，D 为AC 右侧一动点，且点D 和点B 到AC 的距离相等，E 为BC 下方一动点，且∠BAC=∠E ，求线段DE 的最大值.

分析：这里E 的轨迹是一段圆弧，D 的轨迹是一条与圆相离的直线，从而可以转化成上述情形.

基本情形6：两个轨迹为定圆的动点

由于两圆的位置关系比较多,这里只讨论相离的情况.如图A 、

B 是圆O 和圆P 上的动点，则当A 、B 、O 、P 四点共线时取到

最值.设圆心距为d,两圆半径分别为r 和R,则AB 的最大值为

d+r+R ，最小值为d-r-R. 例13,如图13, 在正方形ABCD 和正⊿ABE 中,AB=2，K 、G 、F 、

J 分别是边AB 、BC 、CD 、AE 上的动点，且AK=EJ ，DF=CG ，AF 、DG 交于H ，EK 、BJ 交于L ，求线段HL 的最小值. 分析:易知∠AHD=90°, ∠ELB=120°,所以动点H 、L 的轨迹