任意角的三角函数(终边定义法)

任意角的三角函数（第一课时）教学设计

一、学情分析

教学对象是高一的学生（按照1、4、5、2、3的顺序讲解），他们在初中学学习过锐角三角函数.因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅.学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？ 二、教学目标 1. 知识与技能目标

理解任意角的三角函数的终边定义法，了解单位圆定义法． 理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2. 过程与方法目标

通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解. 3. 情感与态度价值观

激发学生探求新知欲望；

体会数学数学概念的严谨性和科学性. 三、教学重、难点

重点：任意角的三角函数的定义．

难点：①由初中锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义；

②在直角坐标系中用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数； ③三角函数定义的应用.

四、教学设计思路

1.复习初中学过的锐角三角函数的定义引出任意角的三角函数的定义

提出问题：三角函数能否用终边上的点的坐标来表示？ （1）初中学过的锐角三角函数的定义

（2）把角放在直角坐标系中研究引出坐标表示

①在α的终边上任选一点P （a ,b ），||0OP r =>（由相似知与点P

sin α=

斜边

对边，con α=

斜边

邻边，tan α=

对边邻边

（图1）

的选取无关）

以锐角α为自变量，以与坐标有关的比值为函数值的函数. 2.任意角

（1）理论基础

任意角α

α−−−−→唯一对应

的终边的坐标b a b r r a

−−−−

→唯一对应或或 即任意角b a b r

r

a α−−−−

→唯一对应

或或

（2）沿用初中的三角函数的名称

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（x ,y ），它与原点的距离是r （022>+=y x r ），那么：

① 正弦r

y

=αsin ； ②

余弦r x

=

αcos cos x α=； ③

正弦tan (0)y

x x

α=≠.

即：正弦、余弦、正切都是以角（实数）为自变量，以坐标的比值为函数值的函数，我们称它们为三角函数.（终边定义法） ①正弦函数sin y x =，定义域为R ，值域[-1,1]； ②余弦函数cos y x =，定义域为R ，值域[-1,1]；

sin α=

斜边对边

=

MP OP =b

r ，con α=斜边邻边=

OM OP =

a

r

，

tan α=

邻边对边

=

MP OM

=

b a

（图3）

（图4） （图5）

③正切函数tan y x =，定义域为|,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

，值域R .

为了研究的方便，可取r =1（圆心在原点，r =1的圆称为单位圆）.则sin y α=、

cos x α=、tan (0)y

x x

α=

≠.（简单提及单位圆定义法） 3.应用

例1.求

53

π

的正弦、余弦和正切值.

解法1：

53

π

与单位圆的交点坐标为1(,2，

则5sin

3π=51cos 32π=，5tan 3

π

=

解法2：设53

π

的终边上一点的坐标为(1,P ，||2OP =，

则5sin

3π=，51cos 32π=，5tan 3

π= 例2.已知角α的终边经过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值. 解：（终边定义法）5||0=OP ， 则54sin -==

r y α，53cos -==r x α，3

4

t ==x y an α. 4.课堂小结

重要知识点：三角函数的终边定义法与单位圆定义法 方法及思想：数形结合思想 5.分层作业

必做题：课本P15 练习1、2 选做题：课本P20 2