关于利用达朗贝尔原理求解运动学问题的方法讨论
13第十三章-达朗贝尔原理(动静法)解析
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年
第7章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的，是分析力学的两个基本原理之一。
该原理揭示，对动力系统加入惯性力后，惯性力与外力构成平衡，因而提供一种用静力平衡方法处理动力学问题的普遍方法——动静法。
§7.1 质点系的达朗贝尔原理7.1.1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理如图7.1所示，质量为m 的质点沿曲线轨道运动，受主动力F 和约束力N F 作用，由牛顿第二定律有N m +=F F a即0N m +-=F Fa 引入惯性力I m =-F a (7-1)则有0N I ++=F F F (7-2)这就是质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的所有主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。
这样，我们完全可以采用静力学的方法和技巧，求解动力学问题。
顺便指出，达朗贝尔原理作为分析力学的基本原理之一是不需要推导证明的。
这里由牛顿第二定律导出，可以说明它与牛顿力学在数学上的等价性。
问题7-1 如图所示，重为G 的小球用细绳悬挂，试求AC 绳断瞬时AB 绳的张力。
答 研究小球，加惯性力I F ，受力如图所示，由质点达朗贝尔原理，有0I T ++=F G F由力三角形有cos T F G =θ可见，加上惯性力，采用静力学中三力平衡的几何法求解决，直观简便。
2、惯性力的概念质点的惯性力I F 可以想象为：当质点加速运动时外部物质世界作用在质点上的一个场图7.1 质点达朗贝尔原理IF 问题7-1图力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。
惯性力与万有引力是完全等效的。
惯性力与参考系相关，如图7.2(a)所示，小球在旋转水平圆台上沿光滑直槽运动。
在地面惯性参考系观察，小球运动的绝对轨迹为螺旋线，见图7.2(b)，在水平面内受滑槽侧壁对它的作用力N F 作用，加速度如图所示；从转动圆台非惯性参考系观察，小球的运动轨迹沿槽直线，在半径方向，受牵连法向惯性力2()nnIe Ie F mr ω=F 作用，小球沿直槽加速向外运动。
第15章 达朗贝尔原理(动静法)
MIO
FI= ∑FIi = ∑(－miai) =－∑miai
由于∑miai= maC
所以惯性力系的主矢可写作
FI
n
aCn FI
aC
FIi
n
FI= －maC = －maC－maCn
惯性力系的主矩
FIi
τ
FIi
JO
MIO= ∑MO(FIi) = ∑MO( FIi) = ∑ (－FIi ri)=－ ∑miri2 ∴ MIO=－JO
FIi
B x TB
∑Y = 0，
2 0
mr d sin TB 0 2π
2
TA TB
1 mr 2 2π
例15-1续2
已求得飞轮截面A、B处的张力为
ω
A
1 TA TB mr 2 2π
可知：
飞轮匀速转动时，轮缘各截面的张力相等，且正比于 角速度的平方，与其平均半径成正比。 若飞轮轮缘的横截面面积为A，则飞轮轮缘横截面的 平均拉应力为
§15-1 惯性力的概念
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m， 在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆 的顶角为2 。 摆锤 M 受力如图， 其加速度为 T
l
an
v aa l sin
nLeabharlann 2M令R=P+T
则
ma = R = P + T
P
v
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体（地心和绳子） 一对应的反作用力，反作用力的合力为
= (m · 2 －JO) OC ∵ JO = JC+m · 2 OC ∴ MIC= －JC
FI
由此可知，选择不同的简化中心，得到的力总是作用在简化 中心，大小和方向是不变的；而惯性力矩的大小则是变化的。
第10章达朗贝尔原理及虚位移原理ppt课件
例10-1
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60
求:
用达朗贝尔原理求解 v, FT .
解:
FI
m
a
n m
l
v2 sin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FI 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
FT l sin 2
按不同坐标系，惯性力可分解为：
FJ x
max
FJ y
may
FJ z
maz
F J ma ——切向惯性力 FnJ man ——法............... FbJ mab 0
3
10.1.2 质点的达朗贝尔原理
非自由质点M：质量m，受主动力 F， 约束反力 N 作
用， F 、N 的 合力为
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响. 求:轮缘横截面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2
Fx 0,
FIi cos FA 0
Fy 0,
FIi sin FB 0
令 i 0,
FA
2
m R 2 cos
d
mR 2
0 2
2
FB
2
m R 2 sபைடு நூலகம்n
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
0
Fi
r i
FNi ri 0
F i ri 0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
第12章 达朗贝尔原理
第12章 达朗贝尔原理12.1 主要内容12.1.1 质点的达朗贝尔原理设一质量为m 的质点M ，在主动力F 、约束力F N 的作用下运动，根据牛顿第二定律m a =F +F N移项后整理得F ＋F N ＋F I =0其中F I = –ma 称为惯性力，它可表述为：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，这个力的方向与其加速度的方向相反，大小等于其质量与加速度的乘积。
此式表明：在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力F I ，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
12.1.2 质点系的达朗贝尔原理设某质点系由n 个质点组成。
如果在某质点i m 上假想地加上一惯性力F I i ＝–m i a i则对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该质点系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即0I N =∑+∑+∑i i i F F F()()()0I N =∑+∑+∑i O i O i O F M F M F M这就是质点系的达朗贝尔原理。
12.1.3 刚体惯性力系的简化（１）、刚体平移平移刚体的惯性力系可简化为一合力F I = –m a c它的作用线通过刚体的质心，方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积。
（２）、定轴转动惯性力系简化的主矢为c M a F -=RI惯性力系对简化中心O 的主矩为：()()kj i k j i M z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I I I I 22I ++=-++-=εωωε 绕定轴转动刚体的惯性力系向转轴上任意点O 简化时，惯性力主矢、主矩由上式计算。
但应注意，惯性力系的简化结果，主矢和主矩必须作用在同一个简化中心上。
（３）、平面运动随同质心平移而虚加的惯性力系将合成为一合力F I ，合力作用线通过质心，方向与a c 的方向相反，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，即F I ＝–M a c相对质心转动而虚加的惯性力系的主矢等于零（质心在转轴上），主矩为一惯性力偶，且作用于质心C 处，它的转向与角加速度ε的转向相反，大小等于角加速度与刚体对于质心的转动惯量的乘积，即M I = –I c ε12.1.4 定轴转动刚体的轴承动约束力设刚体上的惯性力系向O 点简化的主矢和主矩为ji ji y x c c c c F F x y M y x M F I I 22I )()(+=-++=εωεω ()()k j i kj i z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I M I I I 22I ++=-++-=εωεωε 根据达朗贝尔原理求解可知，轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。
理论力学达朗贝尔原理
Foy
P
P g
R
P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox
P g
R 2
4 3
P
（5）
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第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
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相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
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一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
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第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
达朗伯原理
解：以整个系统为研究对象
FB
作受力图（包括惯性力）
B
FI ma
M IO
J
J
a R
mg FI
FI ma
M IO J
J
a R
α
M IO
O FA
对系统应用动静法
MB 0
mgl2 FIl2 Pl3 MIO FAl1 l2 0
Fy 0
l3
FB FA FB mg P F1 0
偏心状态
r FRA 1
FI1
m
FRB
A r2 m B
FI 2
r1 r2
FI1 FI2
FRA 0 FRB 0
偏角状态
FI1
m
A r1
FRB
r FRA 2
B
r1 r2
FI1 FI2
m FI 2
FRA 0 FRB 0
既偏心又偏角状态
FI1
A r1
m FRB
r FRA 2
m
r1 r2
FIRn
maCn
（3）转轴通过质心，且为
匀速转动 FIR 0
FIRn 0
M IO 0
四、刚体作平面运动
刚体平面运动 = 随质心的平移 + 绕质心的转动
将惯性力系向质心简化：
平移部分的惯性力系
合力
FIR maC
绕质心转动的惯性力系
合力偶 M IC＝－JC
结论：
刚 通体 过作 质平 心面的运合动力时F，I R惯性力m系a简C化为，一以个及 一个合力偶： M IC＝－JC
主矢和主矩和加速度、角加速度的方向相反
4、列出静平衡方程求解
FIR
在m静a平C 衡方程F中IRn ，惯m性a力Cn不加负号M，I直O＝接J代z入
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
分析力学-4--达朗贝尔原理及其应用
i 1
i
n
） 0 Fi Ri mi ri （
两边点乘 ri ：
) r 0 ( Fi Ri mi ri i
( Fi mi ) ri 0 ri
i
当系统所受约束均为理想约束时， 称
FI mr 达朗伯惯性力是在惯性系中
2、质点系达朗伯原理
对由n个质点所组成的力学体系 对第i个质点： Fi Ri Fij mi ri
( Fi Ri mi ) （i=1,2...n） ri 0 对系统进行累加：
A m1g
l F b
a k l
a l
FI
B
δ yC 2l sin b δ b
F
m2 g y
m1 g
2FI δ xA 2m1 g δ y A (m2 g F ) δ yC 0
C
F 2l (1 cos b )k
FI m1 (e l sin b ) 2
例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计, 绳 不可伸长。试求:重力为P1的物体的加速度a1。 自由度1
解:
( P FI1 )δ y1 (P FI2 )δ y2 0 1 2
P FI1 1 a1 g P2 FI 2 a2 g
o
FI 2
x
δ y2 2δ y1 a2 2a1 2 P2 P 1 a1 g 4 P2 P 1
说明：①达朗伯原理仅对建立动力学方程提出了新的线索，
但并未对求解运动微分方程增加任何新的东西；
②对系统所得到的两个公式实际是质点系的质心运动 定理和对固定点角动量定理的另一种表示。
理论力学12达朗伯原理
15
12.3.2 刚体惯性力系的简化 一、刚体作平动 向质心C简化： 质心相对简化中心的矢径
RQ MaC
M rc
MQC mC (Qi )ri (mi aC )mi ri aC 0
所以 F T 代入(3)得 mR F T M FR M QC FR m 2 mR
O
可见，f 越 M FR ( F T ) F ( R ) T (4) 大越不易滑动。 R R R 由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， Mmax的值 必须 F<f N =f (P+S) (5) 为上式右端的
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
13
惯性力主矩可以按照定义式(12.6)直接 计算。
但是，很多物体，在跟随简化中心 D 平动的坐 标系中计算相对运动惯性力主矩更方便，下面 推导这个公式。 我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
由 由质心运动定理：
m a R A m gcos 0 0 m an m gsin 0 R A
n
3g l a ε cos 0 2 4
RA mgsin 0
n
mg , RA cos 0 4
27
[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
(1) (2)
m A ( F ) 0 , m gcos 0 l /2 M QA 0 (3)
由(2)得: R A m gsin 0 ;
第16章 达朗贝尔原理(动静法)
共6个方程， 6个未知量
mg 30 ° a B
aA
联立方程(1)~(6)，得 ε =
3 3 g = 0.666 g rad/s2 = 6.525 rad/s2 13 − 3 3 l
此题共写出3个动力学方程， 3个运动学方程，求解 还是较繁的。
12
现考虑 用动静法求解。 解：画杆受力、运动图，如图。 其中惯性力 和惯性力 偶：
解：I. 求加速度aC 。 研究重物、轮子、滚子整体，画受力图如 图。其中惯性力 和惯性力 偶大小：
FIP = FIC = P P a = aC g g Q aC g aC = rε M IO = M IC = 1Q 2 r ε 2g
A
ε Y M IO O O B a P
XO
M IC FIC
C E
C
§16-2 刚体惯性力系的简化
一、平动刚体 惯性力 系： 向质心 简化：
r r′
r r FIi = −mi aC
r aC
r r r r r r 主矢： FI = ΣFIi = Σ(− mi aC ) = − MaC 即 FI = − MaC ——惯性力 r r r r r r r r r 主矩： M IC = ΣmC ( FIi ) = Σri '×( − mi aC ) = − Σmi ri '×aC = − MrC '×aC = 0
动力学达朗贝尔原理
取板为研究对象
3
X 0F F I 1 F S 2 F S 3 0Fma216ma0
a 8F 11 m
取滚子为研究对象 MA(F)0 F I2rM I2F S 22r0
m 2a 2r1 2m 2r22 arFS 22r0
FS2
3 ma 16
a MB(F)0
F I3rM I3F S 32r0
刚体对轴的转动惯量
Jz miri2
Jz
r2dm
m
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2
1、均质细直杆对z轴的转动惯量
设杆长为l,单位长度的质量为m/l:
Jz
l mdxx2 0l
1ml2 3
Jz
Jz
1 ml2 3
JzCmd2
Jz
1 ml2 12
2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量：
设杆质量为m
J zm iR 2 R 2 m i m 2 R
解：取杆为研究对象，受力分析 和运动分析如图，添加惯性 力后由静力平衡方程有：
MA(F)0
mAarsi3 n0 mrgco 3s 0 0
aA 3g
刚体惯性力系的简化
第6章 达朗贝尔原理
再取轮和杆系统为研究对象，受力分析和运动分析如图，添 加惯性力后由静力平衡方程有：
MD0
FrFIArMI mgrcos30
FS3
3 16
ma
F I1
F
F
Fs2
C
FS3
M I2 F I2
FS2 C
F I3
F S3 M I3
A
B
6 曲柄OA质量为m1，长为r，在力偶矩M 作用下以等角速度ω 绕水平的O轴反时针方向转动。曲柄的A端推动水平板B，使质
理论力学14_动力学_5.达朗贝尔原理
第16章达朗伯( D′Alembert)原理※引言※几个工程实际问题※质点的惯性力与动静法※质点系的达朗伯原理※刚体惯性力系的简化※动绕定轴转动刚体的轴承动反力※结论与讨论引言♉引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理（动静法）。
♉达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
♉达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
几个工程实际问题爆破时烟囱怎样倒塌几个工程实际问题几个工程实际问题sF I F NFm axzyO mAF N ——约束力；F ——主动力；§16-1 惯性力·质点的达朗伯原理根据牛顿定律m a ＝F + F NF + F N －m a ＝0F I ＝－m a F + F N ＋F I ＝0——质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
F I ＝－m aF + F N ＋F I ＝0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式00N N =++=++=++I I y y y x x x F F F F F F F F FωBACll l lααO 1x 1y 1例题16-1离心调速器已知：m 1－球A 、B 的质量；m 2－重锤C 的质量；l －杆件的长度；ω－O 1 y 1轴的旋转角速度。
求：ω－α的关系。
解：1、分析受力：以球B (或A )和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力BF F T2CF T3F T1′2、分析运动：施加惯性力。
球绕O 1y 1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为F I ＝m 1l ω2sin αF IBF F T2CF T3F T1′F I3、应用动静法：)cos (00)sin (sin 0T2T111T2T1211=-+=∑=+-=∑αααωF F g m F F F l m F y x 对于重锤CT1T12T1T3T1cos 2F F gm F F F ＝＝＝''',,α对于球Bg l m m m 2121cos ωα+=例题16-2y振动筛平衡位置Oy＝a sin t求：颗粒脱离台面的最小振动频率平衡位置Oy yma m g F NF I解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
达朗贝尔原理
M I 0 = ∑ ri × FIi = ∑ ri × (− mi ai ) =−
ri
(∑ m r )× a
i i
c
= − mrc × ac
向质心简化： 向质心简化：
FIR = −mac
M Ic = 0
二、平面刚体做定轴转动
mac = ∑miai
z
取转轴上任意一点O为简化中心 取转轴上任意一点 为简化中心 主矢
t i
rt FIi
rn FIi
ω α n n 2 Fi = mai = mriω I i i
x
MIx = ∑Mx ( F ) = ∑Mx ( Ft ) + ∑Mx ( Fn ) Ii Ii Ii
= ∑mi riα cosθi zi + ∑(−mi riω2 sinθi zi )
平面刚体做定轴转动 ? 如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 如果刚体有质量对称面且该面与转轴 垂直；
(1)
∑ M (F) = 0
A
MgC2
FgC2 C2 mg B
l (FgC2 − mg) + MgC2 = 0 (2) 2
联立(1), (2)求解 联立 求解: 求解
FgC2 MgC2 C2 mg B
9g ε1 = 7l
ε2
3g = − 7l
例 题 4 均质圆柱体重为 ，半径为 ，沿倾斜平板从静止状 均质圆柱体重为W，半径为R， 态开始，自固定端O处向下作纯滚动 处向下作纯滚动。 态开始，自固定端 处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力 处的约束力。 角为θ ，忽略板的重量。试求： 固定端 处的约束力。
理论力学-15-达朗贝尔原理
FAx mr( )
2
MA
FAy mg mr( )
2
FAx
n FR
A
C
mg
B
mr M A mgr (3 2 4 ) 3
第十五章 达朗贝尔原理
2
O
MIO
t FR
解法2：将惯性力系向质心C简化。
F maC 2mr
第十五章 达朗贝尔原理
Fx 0
FAx F FN sin 0
A
FAy
A
FAx
例题 15-4 已知：m , h ,a , b, f。 求：为了安全运送货物，小车的 amax。
b
h
C
a
第十五章 达朗贝尔原理
解： 取 货物为研究对象
b
Fx 0 Fy 0 M D( F ) 0
FR
t n FR maC m(aC aC )
M O J z
第十五章 达朗贝尔原理
1.转轴过质心 2.刚体匀速转动
O C
？
3.转轴过质心且匀速转动
MIO
FR
t n FR maC m(aC aC )
M O J z
F F 0 FN mg 0
h
C
h F mgd 0 2 ah F F ma, FN mg, d 2g
货物不滑的条件： F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件： d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
a
FI
mg
D
C
F
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的 amax。
达朗贝尔原理
14.1 惯性力 质点的达朗贝尔原理
钢球随着筒壁作匀速圆周运动,只有法向 惯性力FI,大小 F1 = mrω 2,方向背离中 心 O.列出沿法线方向的平衡方程:
例 题
∑F
ni
=0
FN + P cos α F1 = 0
Theoretical Mechanics
14.1 惯性力 质点的达朗贝尔原理
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx + FNx + FIx = ∑Fx = 0
i
Fy + FNy + FIy = ∑Fy = 0
i
Fz + FNz + FIz = ∑Fz = 0
i
Theoretical Mechanics
Theoretical Mechanics
14.1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 质点的达朗贝尔原理
动静法
F + FN + FI =0
应用达朗贝尔原理求解非 自由质点动约束力的方法
1,分析质点所受的主动力和约束力; ,分析质点所受的主动力和约束力; 2,分析质点的运动,确定加速度; ,分析质点的运动,确定加速度; 3,在质点上施加与加速度方向相反的惯性力. ,在质点上施加与加速度方向相反的惯性力.
Theoretical Mechanics
14.3 刚体惯性力系的简化
如果刚体有对称平面S,并且该平面与转轴z垂直,则 惯性力系简化为在对称面内的平面力系. 再将此平面力系向对称平面与转轴的 交点O简化 n 主矢 FIR =-maC =-m(aτ+ aC ) C 主矩: 主矩:
达朗贝尔原理
F
FAy
A
FAx
F
r
M IA
FIA
r
FIC
r 2
mgr
cos 300
0
C
FIC
3
1
3
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg
(1)
mg 30° B
取AB杆: mA(F ) 0 :
3
1
3
FAy
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg (1)
F
A
FAx
mA(F ) 0 : mgrcos 300 FIC r sin 300 0
FI 1
A
1
L
M I 1 C1
mg
FI 2
L
B MI2
. C2 mg
2
D
P
解: 双自由度, 初瞬时问题求加速度.
P力作用在D处时, BD杆平面运动, 圆盘定轴转动, 惯性力系简化如图示.
aC1
L FI 1 m aC1 m1 2
MI1
J A1
3 2
m(
L 2
)2 1
3 8
m L21
L
aC2
FI 2 m aC2 m( 1L 2 2 )
C FIC
mg 30° B
3
1
mg 2 maA 2 0
aA 3 g ( 2 )
α
M IA
(2) 代入(1)
F
3 2 mAaA
1 2
ma A
3 mg
2
F
A
FIA
aA
aC C
FIC
mAg mg 30° B
得:
F
33 2
mAg
第11章 达朗贝尔原理及其应用
a 3g
mA a
y
F
0
地面摩擦力
FS f S F N f S g m A m
FN m A m g
（2）以圆轮为研究对象：
1 FS r M I m A r a 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
AB 受重力 G、支座 A 处反力F A x 、F A y
。
（2）运动分析及虚加惯性力及力偶
杆 AB 的角速度w = 0，角加速度设为a。 l l 2 n aC aC 0 2 2 G G 1G 2 FI a C l ; M IA J A l g 2g 3g
主矢： 主矩：
FI 0
——惯性力 ——惯性力偶
M IC J C
三、平面运动刚体
主矢： 主矩： M
FI maC
IC
——惯性力 ——惯性力偶
J C
第16章
达朗贝尔原理
关于惯性力和惯性力偶“－”号的处理： （1）画图时总是按照质心加速度和刚体角加速度相反方向画出惯性力 与惯性力偶； （2）写公式时总是只写惯性力与惯性力偶的大小表达式。 例如：画出图中惯性力和惯性力偶，而其表达式为：
a 3g
以圆轮为研究对象： M A 0
FS r M I 0
1 3 FS m A a mA g 2 2
fS FS FN 2 mA m 3 mA
解：（1）以杆为研究对象：
MA F 0
F
IA
m a r sin 300 m g r cos300 0
ห้องสมุดไป่ตู้
解：以小球为研究对象 2 FI man an l sin
理论力学 达朗贝尔原理(动静法)
惯性力系向质心简化得主矩为
M IC
1 P 2 J C l 12 g 1 P la A 12 g
B
FIe
O
C
FIrt
M IC
A
动力学
刚体惯性力系的简化
再向O点简化， 主矢不变
B
FIe
O
C
FIrt
M IC
P FIR aC g FIe FIr
主矩为
Fi(e)
O
Fi(i )
Ii
i
(e)
O
i
(i )
O ( FIi )
0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F
(i )
i
0,
M
Ii
O
(Fi ) 0
(i )
则上式可改写为
F 0 M (F ) M
Fi(e)
O i (e)
O ( FIi )
0
动力学
动力学
达朗贝尔原理
§15-2 达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯 性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 把作用于I质点的所有力分为外力的合力Fi ，内力的合力Fi ，则
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
惯性力 的概念
§15-1
惯性力 的概念
如图，人用手推车时，车在加速运 动过程中，人会感到受到力的作用，这 个力是由于车具有惯性，力图保持原来 的运动状态对人产生的反抗力，称为惯 性力。 如下图质点m 的运动，由牛顿第二定律： ma F FN
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存在平衡与不平衡两种， 因此关于刚体的运动学问题，也包括了静力学问题和动 力学问题： 静力学问题：F = 0 动力学问题：F ≠ 0 F = ma 动力学问题的方程可变为： 、 则 F + Fl = 0 则动力学问题和动力学方程就变成了形式上的静力学问题，即平衡问题，我 们把Fl 看作虚加在质点上的力，大小为 Fl = ma，方向与刚体的加速度相反，我 们称其为惯性力。即，对非平衡的质点，若虚加上惯性力，则转化为形式上的平 衡问题，即质点所受主动力，约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，可像静力 学一样列写平衡方程，并求解。 （2）刚体的惯性力：由于刚体是由无穷多质点所组成的，如果对每一个质 点都列写该质点的平衡方程进而求解刚体的运动特性，显然不符合实际，因此， 对于刚体，我们需要对其进行简化。 ①平动刚体 惯性力系 对其向质心点简化： 惯性力：Fl = Fli = （ − mi ac ） = −Mac 即Fl = − Mac Fli = − mi ac 图一 F − ma = 0 设 Fl = − ma
性力矩。 而支座的约束力与两惯性力构成平衡力系， 进而可以求出支座的约束力， 其方向与惯性力系方向相反，且大小与其相等。
参考文献：[1]水小平， 《理论力学》 ，北京，兵器工业出版社，2009 [2]周照宣， 《理论力学》 ，北京，北京大学出版社，1992 [3]郭玉翠， 《数学物理方法》 ，北京，清华大学出版社，2006
关于利用达朗贝尔原理求解运动学问题的方法讨论
于易生 1120103346 03111003 摘要：本文首先通过对如何求解复杂运动学问题提出疑问，通过相关查阅，论述 了通过利用达朗贝尔原理求解一般运动学问题中的速度，加速度，能量和力的一 般方法。 达朗贝尔原理的定义为：作用于一个物理的外力于动力的反作用力之和 等于零。 通过对刚体运动加速度的分析， 在其上施加达朗贝尔反向惯性力矩和力， 使刚体达到平衡态， 再通过求解关于刚体的平衡方程，进而求解一般动力学问题 的方法。
惯性力矩 Mic = −Ic ε 所以，对于平面运动刚体的惯性力是：作用在质心上的惯性力和作用在刚体 上的惯性力矩。 三：利用达朗贝尔原理解决运动问题的一般方法 利用达朗贝尔原理，我们可以很方便的解决一般的运动学问题。 解题思路： （一） 首先，取所要分析的物体进行受力分析与运动分析，求出对应的 线加速度与角加速度，约束力与约束力矩。 （二） （三） 画受力分析图， 包括刚体所受的主动力， 约束力， 和惯性力 （矩） 列解刚体的静力学平衡方程
则可推出惯性力系为 Fiτ = mri ε
2 Fan i = mri w
通过分别向轴 O 的简化与向质心简化的分析，可得出以 下结果 对向轴 O 简化：惯性力为 Fiτ = −Maτ c 惯性力矩为 Mio = −Io ε (如图二) 对向质心简化：惯性力 （与向轴 O 简化相同） 惯性力矩 Mic = −Ic ε (如图三) ③平面运动刚体 对于在平面内既做平面平动又绕某一轴做转动的刚体， 我们称之为平面运动刚体。 向质心点简化后：可得惯性力 Fl = − Mac 图三 图二 Fin = −Man c
关键词：达朗贝尔原理，动静法，惯性力
正文： 一：达朗贝尔原理的诞生和延续： 达朗贝尔在其物理学著作《动力学》一书中，提出了达朗贝尔原理，它与牛 顿第二定律相似， 但它的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理，还 可以用平面静力的方法分析刚体的平面运动， 这一原理使一些力学问题的分析简 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。 书中， 达朗贝尔还对当时运动量度的争论提出了自己的看法，他认为两种量 度是等价的， 并模糊的提出了物体动量的变化与力的作用时间有关。牛顿是最早 开始系统研究流体力学的科学家， 但达朗贝尔则为流体力学成为一门学科打下了 基础。1752 年，达朗贝尔第一次用微分方程表示场，同时提出了著名的达朗贝 尔原理——流体力学的一个原理，虽然这一原理存在一些问题，但是达朗贝尔第 一次提出了流体速度和加速度分量的概念。 十八世纪， 牛顿运动理论已经不能完善的解释月球的运动原理了。达朗贝尔 开始涉足这一领域， 用他的力学的知识为天文学领域做出了重要贡献。同时达朗 贝尔发现了流体自转时平衡形式的一般结果，关于地球形状和自传的理论。发表 了关于春分点、 岁差和章动的论文， 为天体力学的形成和发展做出了奠定了基础。 二：达朗贝尔原理描述 （1）质点的惯性力：根据牛顿第二定律，我们可以得出，刚体的运动状态
惯性力矩：M − Mrc ∗ ac = 0;
所以，平动刚体的惯性力只有作用在质心上的惯性力，大小等于Mac ，方 向与ac 方向相反(如图一) ②转动刚体 只讨论平面情况，即垂直于质量对称面之轴 O 的刚体。
n 2 对任意质点：aτ i = ri ε a i = ri w
注意：在画图时，对惯性力（矩） ，总应按照质心加速度和刚体角加速度的 相反方向画出惯性力（矩） 。 例：质量为 m,半径为 R 的均质圆盘 C，绕其边缘一点 O 转动，设在图示瞬时 的角速度为 w，角加速度为 a，求此时圆板惯性力系向 C 点简化的结果，并求支 座约束力。 如图所示：
n n 2 2 其中Fiτ = maτ c R与Fi = mw R为刚体的惯性力，Mi = (mR a)/2为刚体的惯