2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学(理)试题Word版含答案

2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（ ）

A ．(0,1)

B ．[0,1]

C ．[1,)+∞

D ．(1,)+∞

2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）

A ．复数z 的实部为5

B ．复数z 的虚部为12i

C ．复数z 的共轭复数为512i +

D ．复数z 的模为13

3.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）

A ． C ．-． 4.双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）

A ．54

B ．5

C

D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）

A ．49-

B ．43-

C ．43

D ．49

6.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =

，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）

A ．

20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．40362019

7.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）

A ．1

1π- B ．2

1π- C ．3

1π- D ．12

8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）

A ．3

π B ．32

π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）

A ．1008

B ．2017

C ．2018

D ．3025

10.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩

，则p 是q

的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要的条件

11.已知圆C ：22

(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．[2,6]-

B ．[3,5]-

C ．[2,6]

D ．[3,5]

12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有（ ）

A ．()2()64f f π

π> B ．3()()63f f ππ> C ．()3()63f f ππ> D ．()3()64f f ππ

> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若2sin()45πα-=-，则cos()4

πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……

2018b 的均方差为 ．

15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2π

ϕ<向左平移3

π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ= ．

16.函数23()123x x f x x =+-+，23

()123

x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =⋅+.

（1）求()f x 的最小正周期；

（2）当[0,]2x π

∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.

18.如图所示，矩形ABCD 中，AC

BD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的

点，且BF ⊥平面ACE .

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；

（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.

19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）

与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：

（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；

（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；

（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X

N μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.

附：参考公式和有关数据11222

11()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 3.2≈ 1.8≈，若

2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.

20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；

（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R

，T 两点，且12l

l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.

①设00(,)W x y ，证明：22001

2x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.

21.已知函数1()1

x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①ln

1<，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2

f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题