北京四中高中数学-04三角函数的诱导公式

三角函数诱导公式

北京四中 苗金利

一、知识要点

1、角α与α+()2k k Z π⋅∈的三角函数间的关系

()()()sin 2sin ,

cos 2cos ,tan 2tan .

+⋅=+⋅=+⋅=k k k απααπααπα （一）

诱导公式（一）的作用：把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题 转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题。它描述了各三角函数 的周期性：角α与α+()2k k Z π⋅∈终边相同。

2、角α与α-的三角函数间的关系

()()()sin sin ,

cos cos ,tan tan .

-=--=-=-αααααα（二）

诱导公式（二）的作用：利用正角的三角函数表示负角的三角函数。 它描述了各三角函数的奇偶性，正弦函数和正切函数是奇函数， 余弦函数是偶函数。角α与α-的终边关于x 轴对称。

3、其它诱导公式

二、典型例题

例题1、化简：

（1）()()()()

cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ； （2）()sin 2

n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解析：

例题2、计算

（1）252525sin cos tan()634

πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---

（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解析：

例题3、（1）如果1cos 5α=，且α是第四象限角，则cos()2

πα+=______. （2）已知1sin()43πα-=，则cos()4

πα+=__________. 解析：

例题4、设A 、B 、C 、为ABC ∆的三个内角，求证：

（1）()sin sin A B C +=；

（2）sin

cos 22

A B C +=； （3）tan cot 22A B C += 解析：