第1章 算法概论(4np完全性理论)

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§1.3 NP 完全性理论
如何理解问题的难解？易解？多项式运行时间？
⏹多项式的运行时间认为是易解算法，当然，你认为θ(n100)难解，但次数如此高的多项式时间问题非常少，且一般都会找到一个更有效的多项式时间算法。

⏹对很多合理计算模型来说，在一个模型上用多项式时间可解的问题，在另一个模型上也可以用多项式时间获得解决。

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如何理解问题的难解？易解？多项式运行时间？
多项式时间可解问题类具有很好的封闭性。

比如一个多项式时间算法输出给另一个多项式时间算法作为输入，或被另一个多项式时间算法作为子程序常数次调用，这样的组合算法运行时间也都是多项式的。

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⏹一般来说，将可由多项式时间算法求解的问题看成易处理的问题，而把需要超多项式时间才能解决的问题看作难处理问题。

⏹“NP完全”（NP-Complete）问题，它的状态是未知的，迄今为止，既没有人找出求解NP完全问题的多项式算法，也没人能够证明对这类问题不存在多项式时间算法。

⏹P≠NP问题，自1971年提出以后，已经成为理论计算机科学研究领域中，最深奥和最错综复杂的开放问题之一了。

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从表面上看，有些NP 完全问题有着与多项式时间算法的问题非常相似的特点，这很诱惑。

⏹最短与最长简单路径：有向图G=(V,E)，单源最短路径可在O(|V|2)时间内完成，但寻找两个顶点间最长简单路径（无重复顶点）问题是NP 完全的。

⏹欧拉游程和哈密顿回路：有向图G=(V,E)，欧拉游程指一个回路，遍历途中每条边一次，但可能不止一次的访问同一个顶点，这可在O(|E|)时间内找到。

哈密顿回路也是一个回路，包含V 中每个顶点。

确定有向图是否存在哈密顿回路的问题是NP 完全的。

探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
⏹NPC类，称NP完全的(NP-complete)，属于NP的一个
最难的子类。

如果一个问题属于NP，且与NP中任何问题一样“难的”。

⏹有宣称：如果任何NPC问题可以在多项式时间内解
决，则NP中所有问题都有一个多项式时间的算法，即有P=NP了。

⏹大多数认为，NP完全问题是难处理的，因为迄今为止
研究过的NP完全问题非常多，但还没有人将其中任何问题在多项式时间内解决。

不能证明！也无法排除！
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10⏹NP 完全问题产生于不同领域：布尔逻辑、图论、算术、网络设计、集合与划分、存储与检索、排序与调度、代数与数论、游戏与趣味难题、自动机与语言理论、程序优化、生物学、化学、物理学……等等。

⏹第一个NP 完全问题：布尔表达式的可满足性问题。

即Cook 定理：给定一个由与、或和非门构成的布尔组合电路，判断它是可满足电路吗？
布尔表达式的可满足性问题SAT 是NP 完全的。

基于SAT ，逐渐地生成一棵以SAT 为树根的NP 完全问题树，其中每个节点代表一个NP 完全问题，该问题可在多项式时间内变换为其任意子节点表示的问题。

目前，这颗树已有几千个节点，且在继续生长。

典型的NP 完全问题：
典型的NP完全问题：
⏹团问题：NP完全的团是无向图G=(V,E)的一个完全
子图，团的规模为其顶点数。

判定：图中是否存在一个给定规模为k的团是NP完全的。

⏹顶点覆盖问题：NP完全的G的顶点覆盖是覆盖E中
所有边的顶点组成的集合，顶点覆盖规模即指它包含的顶点数。

判定：图中是否存在给定规模为k的顶点覆盖，或确定具有最小规模的顶点覆盖都是NP完全的。

⏹哈密顿回路问题：NP完全的图G中一条包含V中每
个顶点一次(除首尾顶点是重复了两次)的一条回路。

判定：图G是否存在哈密顿回路是NP完全的。

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⏹旅行商问题：NP 完全的⏹0-1整数规划问题：NP 完全的⏹0-1背包问题：NP 完全的⏹图的k 着色问题：NP 完全的⏹最长简单回路问题：NP 完全的⏹图的独立集问题：NP 完全的⏹子图同构问题：NP 完全的⏹子集和问题：NP 完全的⏹集合划分问题：NP 完全的⏹带收益和完工期限的调度问题：NP 完全的⏹……（已证明的NP 完全问题已有上千个之多了）典型的NP 完全问题：
典型的
NP完全问题：
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