高考线性规划题型归纳

高考线性规划题型归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，

目标函数z 最大值为

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点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是

（ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪

-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而

22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易

知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是

为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪--≤⎩ ，

则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2

图2

x y O

2 2 x=2

y =2 x + y =2

B

A

C 、13，

4

5

D 、13，255

解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最

大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点

到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为4

5，选C

练习2、已知x ，y 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,10

52y x y x y x ，则

x y 的最大值为___________，最小值为

____________．

2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例3、在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表

示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域是一个

三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.2

2

S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为

（ ）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形

OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

2x + y – 6= 0 = 5

x ＋y – 3 = 0

O

y

x A B

C M y =2

(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪

+≥⎨⎪≤≤⎩

解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域（如图4所示）时有0

003x y x y x -≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤≤⎩

。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 （ ）

A ．232600y x y x ≥-⎧

⎪-+>⎨

⎪<⎩

B ．232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

C ．232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩

D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩

C

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例

5、在约束条件0

24

x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨

+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数

32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即

max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处

取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数

Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－

1,1），则m 的取值范围是 （ ）

A 、（-3,6）

B 、（0,6）

C 、（0,3）

D 、（-3,3）

解：|2x －y ＋m|＜3等价于230

230

x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩

C

O

2x – y = 0 y

2x – y + 3 = 0