二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题

知识点睛

1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________．

2.研究背景图形：

①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．

②

___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．

3．二次函数之面积问题的常见模型

①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：

若S △ABP =S △ABQ ，

若S △ABP =S △ABQ ，

当P ，Q 在AB 同侧时，

当P ，Q 在AB 异侧时，

PQ ∥AB ． AB

平分PQ ．

例题示范

x B -x A

x B -x A B

M

P P

M

A

1

()2

APB

B A S PM x x =⋅⋅-△B

A P

O y

x

A B C

例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式．

（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．

（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，

B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

第一问：研究背景图形

【思路分析】

读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．

再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．

【过程示范】

解：（1）由223y ax ax a =+-

(3)(1)a x x =+-

可知(30)A -，

，(10)B ，， ∵OA OC =，

∴(03)C -，

， 将(03)C -，

代入223y ax ax a =+-，

第二问：铅垂法求面积 【思路分析】

（1）整合信息，分析特征：

由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3

注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】

如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ，易得:

AC l 设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，， ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，

∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)2

2

2

ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302

-<，

∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32

t =-， ∴当32

t =-时，ACP S △最大，为

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． 第三问：平行四边形的存在性

【思路分析】

分析不变特征：

以A，B，E，F为顶点的四边形中，A，B为定点，E，F为动点，定点A，B连接成为定线段AB．分析形成因素：

要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．

画图求解：

先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．

①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．

②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB

标．

结果验证：

【过程示范】

（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，

如图所示，设E 点坐标为(-1，m )，

当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F

代入抛物线解析式，可得，m =12，

∴F 1(3，12)；

当四边形是□ABEF 时，

由(30)A -，，(10)B ，可知，F 2(-5，m )，代入抛物线解析式， 可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．

②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，

AB 的中点D (-1，0)，设E (-1，m )，则F (-1，-m )，代入抛物线解析式，可得，m =4，

∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)． 精讲精练

1.如图，抛物线经过A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．

（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作

MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．

（3）在（2）的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC

的面积最大若存在，求出点M 不存在，请说明理由．