比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见

关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见

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教学论文

关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见

多力昆·阿布都热西提

2014.6.3

关于比较一次函数的函数值与二次函数的

函数值大小之我见

多力昆·阿布都热西提

在初中数学中，一次函数的图像和二次函数的图像的复杂的和潜

在的概念现象大部分的师生分析问题陷入困惑。数学教师对这一点的忽略引起了学生对这个内容的探究精神的欠缺。

数学没有明确概念，解决问题一定会受阻，如果概念里模糊，问题与学过知识之间的技术处理一定会失败。我认为，一次函数的图像与二次函数的图像之间的函数值的大小问题应该分层次分析。

下面，我来分析二次函数的图像与一次函数的图像之间存在的模糊问题的看法。

1、在同一个平面直角坐标中，二次函数y

1

= ax2+bx+c和一次函数

y

2

=ax+b的函数值的大小问题

（1）判断二次函数的图像与一次函数的图像的关系，如果二次函

数y

1

= ax2+bx+c的图像与一次函数的图像相交，则函数值相等，即

y

1= y

2

。

由上可得：ax2+bx+c=ax+b。

整理得：ax2+（b-a）x+c-b=0。

检验：Δ=b2—4ac=(b—a)2—4a(c—b)

第一：当Δ>0时，二次函数的图像与一次函数相交于不同的两个点。

设交点的坐标为（x 1，y 1），（x 2

，y 2），

在y= ax 2+bx+c 中，当a>0（x 1< x 2）时，x 1 y 1，当x> x 2

或x< x 1时，y 2< y 1（图1）在y= ax 2+bx+c 中，当a<0（x 1< x 2

）

时，x 1 y 2。当x> x 2

或x< x 1时，y 2> y 1。（图2）

图1 图2

在图1中，在直线x= x 1与直线x= x 2

之间，一次函数的图像在

二次函数的上方，即，y 1> y 2在直线x= x 1的右边与直线x= x 2

的右边，

一次函数的图像在二次函数的下方，即y 1> y 2。

在图2，在直线x= x 2

之间，二次函数的图像在一次函数的图像，

即：y 1> y 2。在直线x= x 1的左边与直线x= x 2

的右边，一次函数的图

像在二次函数的图像上方，即y 2> y 1。

第二，当 Δ=0时，一次函数的图像与二次函数的图像有一个交点，此时，设交点的坐标为（x 0，y 0），在y 1=ax 2+bx+c ，当a>0时，在x= x 0的条件下，y 1> y 2，（图3）。在x ≠ x 0的条件下，y 1> y 2，（图4）。 在y 1= ax 2+bx+c ，当a<0时，在x= x 0的条件下，y 1= y 2， 当x ≠x 0时，y 2> y 1。

y

x =x 2

x

x =x

1

Y 2=ax+b

Y 1=ax 2

+bx+

y

O

x =x 2

x

x =x

1

Y 2=ax+b

Y 1=ax 2+bx+c

图3 图4

在图3，直线x= x 0经过二次函数的图像与一次函数的图像的交点，即 y 1= y 2。

当x ≠x 0时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方。

在图4，直线x= x 0经过一次函数的图像与二次函数图像的交点，即y 1= y 2。当x ≠ x 0时，一次函数的图像在二次函数图像上的上方。

第三：Δ=0时，二次函数的图像与一次函数的图像没有交点。 此时，当a>0，y 1> y 2（图5） 当a<0，y 1< y 2（图6）

图5 图6

y

O x =x

x

x =x

Y 2=ax+b Y 1=ax 2+bx+y

O

x =x

x

x =x

Y 2=ax+b Y 1=ax 2+bx+c

y

O

x =x

x

x =x

Y 2=ax+b Y 1=ax 2+bx+

y

O

x =x

x

x =x

Y 2=ax+b

Y 1=ax 2+bx+c

在图5，当 x= x 0时，都 y 1> y 2。 在图6，当x= x 0时，都y 1< y 2。

2、判断一次函数y 2=ax+b ，（y 2=b ）与二次函数y 1= ax 2+bx+c 的关系。

这种特殊情况下判断一次函数的图像与二次函数的图像位置关系，跟第一步骤一样，如下图：

图7

图8

y

O

x =x 2

x

x =x

1

Y 2= b

Y 1=ax 2+bx+c

y

O x =x 2

x

x =x

1

Y 2= b

Y 1=ax 2+bx+c

y

O

x

x =x 0

Y 2= b

Y 1=ax 2+bx+c

y

O

x =x 0

x

x =x

1

Y 2= b

Y 1=ax 2+bx+c