线面,面面平行证明题
线线、线面、面面平行练习题(含答案)
DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。
线面面面平行的判定(习题)
学点二 面面平行的判定 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： 平面A1MN∥平面BDFE.
【评析】常用两个平面平行的判定定理 证明两平面平行，实质是通过线线平行 转化为线面平行，先观察平面内已有的 直线是否平行，若不存在，再利用条件 有针对性地作辅助线找出平行直线.
言表示为 判定定理 ,
aβ,b. β,a∩b=P,
用a图∥形α表,b∥示α为 β∥α
学点一 线面平行的证明
已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线 段，E，F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证: 平面EFG和AC平行,也和BD平行.
C
A
F
E
G
B D
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明.
线面、面面平行的判定
（习题课）
1.平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与
此平面 平行.这个定理叫做
直线与平面平行的 判定定.理
符号语言表示为.用图形表示为
.
a α,b α,且a∥b a∥α
2.一这相两交个直平线
面平行.这个定理叫做平面与
平面平行的 .符号语
高中数学练习题 线面、面面平行的判定与性质
线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化1.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β2．已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF②AB与CM成60°③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③3．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n5．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是() A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 6．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．07．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________．8．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等，则α∥β. 其中正确命题的序号为________．9．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n . 其中正确命题的序号是________．10．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．能力拓展提升11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条12．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件13．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．14．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．15．(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．[解析](1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴GH∥CD.∵GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.证法2：连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且F A⊥AD，∴F A⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴F A＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD. ∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，∴V F－ABCD＝13S▱ABCD·F A＝13×82×6＝16 2.(理)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．[解析](1)证明：设AC与BD交于点G，联结EG、GH.则G为AC中点，∵H是BC中点，∴GH綊12AB，又∵EF綊12AB，∴四边形EFHG为平行四边形．∴FH∥EG.又EG⊂平面EDB，而FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.又四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC.∵FH⊂平面BFC，∴AB⊥FH.又∵FB＝FC，H是BC中点，∴FH⊥BC.又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC. 又EG∥FH，∴EG⊥AC，又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，∴BF⊥平面CDEF，∴BF 为四面体B —DEF 的高． 又∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.四边形CDEF 为直角梯形，且EF ＝1，CD ＝2. ∴S △DEF ＝12(1＋2)×2－12×2×2＝22∴V B —DEF ＝13×22×2＝13. 16.(2012·辽宁大连市、沈阳市联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD ＝2AB ，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面P AC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明BO ⊥平面P AC ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵EF ∥CD ，CD ∥AB ，∴EF ∥AB ， 又∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，(2)在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面P AC，此时点O为线段AD的四等分点，且AO＝14AD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BO，又∵长方形ABCD中，AD＝2AB，∴△ABO△DAC，∴∠ABO＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AC⊥BO，又∵P A∩AC＝A，∴BO⊥平面P AC.1．(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案] C[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．2．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )A.12B.8327 C.33 D.23[答案] D[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102，∴EF ＝2，∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，23>8327，故选D.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1、BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] C[解析] 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN ，则平面MEN ∥平面DCC 1D 1，所以BN ＝AE ＝x (0≤x <1)，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，则y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1(0≤x <1，y >0)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．故选C.4．(2012·东营市期末)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α； ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β. 其中真命题的序号是________． [答案] ①④⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫[解析] m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂α n ⊄α⇒n ∥α，故①真； 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD 与ADD 1A 1分别取作平面α，β，其交线AD 为m ，取直线AB 1为n ，则满足n ⊥m ，知②错；m ⊥β，α⊥β时，可能m ∥α，也可能m ⊂α，知③错；⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂αn ⊥β⇒α⊥β，故④真．。
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明(解析版)
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。
线面平行判定练习(总结较全)
线面平行判定练习（总结较全）第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴，又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ．答案：111∶∶第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） 求线段MN 的长．（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ．答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //．PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上答案：Ｃ．第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１） 求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ； （２） 设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分．答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．，EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．（２）设PQ平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PCEF M =．PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．EF ∵ 是ABC △是的中位线，M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第15题. a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b答案：Ａ．第16题. 若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为 ． 答案：20．第17题. 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且EFGH 为菱形，若AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC m =，BD n =，则AE BE =： ．答案：m n ∶．第18题. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面EFGH EF =，BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形EGFH 为平行四边形． （２）解：∵AD 与BC 成60角，∴60HGF ∠=或120，设:AE AB x =，∵EF AEx BC AB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-， 得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形(1)2ax a x =⨯-⨯22()2a x x =-+2211()24x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦． 当12x =时，28S a =最大值， 即当E 为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为28a ．第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于ABC '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' ．答案：425∶第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE ME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第21题. 已知平面α//平面β，AB ，CD 是夹在两平行平面间的两条线段，A ，C 在α内，B ，C 在β内，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE EB CF FDm n ==∶∶∶． 求证：EF //平面α．答案：证明：分AB ，CD 是异面、共面两种情况讨论． （１） 当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB CF FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２） 当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // 交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH m n =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（ ）．Ａ．4a Ｂ．2aＣ．32aＤ．周长与截面的位置有关答案：Ｂ．第24题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且:PE EA BF =答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EAFD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ， 又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第26题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截得11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -， 求证：平面11AB D //平面1C BD ．答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体， 所以1111D C A B //，1111D C A B =． 又11AB A B //，11AB A B =， 所以11D C AB //，11D C AB =， 所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D A D B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外． 求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ． 因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //．因为a b //， 所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄， 所以b α//．第29题. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面ABC '''．答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''． 进而可证平面ABC //平面ABC '''．第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是（ ） Ａ．直线a 与平面α内的一条直线平行 Ｂ．直线a 与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a 与平面α内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线a 与平面α内的无数条直线平行答案：Ｃ．。
线面平行与面面平行判定题型全面汇总精品
例3 如图，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是 △ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.
抓关键 促规范 由重心联想到边的中点，是该题的切入点． 利用重心得到的线段长度比要准确无误． 线面平行判定定理应满足三条，简写为“内，外，平 行”缺一不可．
练习1 如图所示，已知正四棱锥P－ABCD，M，N分别 是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC.
练习 3 如下图所示，已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，D 是 AC 的中点．求 证：AB1∥平面 DBC1.
证明：∵A1B1C1-ABC 是三棱柱， ∴四边形 B1BCC1 是平行四边形， ∴连接 B1C 交 BC1 于点 E，则 B1E＝EC. 连接 DE，在△AB1C 中， ∵AD＝DC，∴DE∥AB1. 又 AB1⊄平面 DBC1，DE⊂平面 DBC1， ∴AB1∥平面 DBC1.
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[证明] (1)连接 B1D1. ∵E，F 分别是边 B1C1，C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D 四点共面． (2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD， ∴MN∥BD.
练习3 如右图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为 矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
练习4 如图，正方体AC1中，E为DD1的中点，试判断BD1 与平面AEC的位置关系，并说明理由。
证明: 连接BD交AC于点O, 连接EO.
四边形ABCD是正方形, DO BO
又 E为DD1的 中 点,
D1
C1
EO为BD1D的 中 位 线, A1
B1
EO // BD1
线面平行的证明及应用测试题(含答案).docx
线面平行的证明及应用一、单选题（共10道，每道10分）1.下列条件能得出直线m与平面a平行的是（）A.直线m与平面a内所有直线平行B.直线m与平面a内无数条直线平行C.直线m与平面a没有公共点D.直线m与平面a内的一条直线平行答案:C解题思路：选项A：条件本身说法错误，直线不可能和平面内所有直线平行，故A不正确；选项B：如图，加u tz , n^a ,且用"刃则平面内所有与«平行的直线都与m平行，满足直线m与平面a 內无数条直线平行，但是此时加u a,不能得岀直线加与平面a平行，故B不正确；选项C：符合直线与平面平行的定义，故C正确；选项D：由选项B知，此条件也无法得岀直线用与平面a平行, 故D不正确.综上，选C.试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定2.己知a, |3表示平面，a, b表示直线，贝IJ下列条件能得出a〃a的是（）A.a丄B，a丄卩= a//bC.a//b, b//aD.创0，a U 0答案：D 解题思路:选项A：如图,有可能岀现Q UQ的情况，故A不正确;选项B：如图,有可能岀现Q UQ的情况，故B不正确;选项C：如图,b有可能岀现Qua的情况，故C不正确;选项D：如图,a与平面。
不可能有交点，故“la. 综上，选D.试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判泄3.若a, b是空间两条不相交的直线，那么过直线b且平行于直线a的平面（A.有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有无数个答案：B解题思路:T G方是空间两条不相交的直线，・・・G方的位置关系有两种：平行或者异面，①当all b时，过直线b且平行于直线。
的平面有无数个;②当a与方异面时，如图,在b上任取一点0,过点0作直线c II a,则方，c确定的平面a满足a II a,所以当。
与b异面时，过直线b且平行于直线a的平面只有1个. 综上，过直线方且平行于直线a的平面至少有一个，故选B.试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定4•如图，在正方体曲匚£)-4卯儿久屮，下列直线与平面加C平行的是(A.DQ1B.4UC.GD】D平答案：D 解题思路:•・• DDjI ByD 』BQ, CQ 』巒出巩BQ,且BB 、,妨C], 与平面且B]C 都相交，B]Cu 平面且BQ,•••与平面平行的直线是,故选D ・试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定5.如图，A, B 是正方体的两个顶点，M, N, P 分别是其所在棱的中点，其中能得出AB 〃平 面MNP 的是（）A.①②B.③④C.②③D.①④答案：D 解题思路:② ③ ④①①如图，连接川C,A MBMNII AC f NPllBC,则平面ABC II平面MAP 所以脑"平面MVP；②如图，。
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。
三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。
又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。
又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。
因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。
11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。
又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。
又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。
因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。
必修2-2.2线面平行面面平行的经典7道证明题
D CA 1A For personal use only in study and research; not for commercial use必修2 —2.2线面平行、面面平行的证明经典练习1.直三棱柱111C B A ABC -中，D 是AB 的中点，证明：1BC //平面1ACD 2.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点。
求证：直线EF ∥平面PCD ；3.4.5.如图，在四棱锥P —ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
证明PA//平面EDB ；6.正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点。
求证：//1C B 平面BD A 1；7.两个边长均为3的正方形ABCD 和ABEF 所在平面垂直相交于AB ，,AC M∈FB N ∈,且FN AM =.（1）证明：//MN 平面BCE ；仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
立体几何中线面平行经典方法经典题附详细解答
高中立体几何证明平行方法) C的专题(基本立体几何中证明线面平行或面面平行都可 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些 (1)通过“平移” 。
(2)利用三角形中位线的 四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图，四棱锥P -ABCD 勺底面是平行四边形，点 E 、F 分 转化为 方法：性质。
(3)利用平行别为棱AB PD 的中点.证：AF//平面PCE 分析：取PC 的中点G,连EG., FG贝踢证AEGF四边形 2、如图，已知直角梯形 ABCD 中, AB// CD , AB 丄BC, AB是平(第 1题 BC=2, CD= 1+ 3 , 过A 作AE± CD 垂足为E, G F 分别为AD CE 的中点，现将△ ADE 沿 AE 折叠，使得DEI EC.(I)求证：BC 丄面CDE (U)求证：FG//面 BCD 分析：取DB 的中点H,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形D E F C 3、已知直三棱柱 ABC- ABC 中，D, E, M 为BE 的中点，AC 丄BE.求证:分别为AA, CC i , AB/的 DC(I) CD 丄 BC; 分析：连EA 易证C i EAD 是平行四边形，于是4、如图所示，四棱锥P ABCD底面是直角梯形，证明:EB//平面PAD ; A B A B B 1FM. K 匚〃匚△ B 1«IVIr/ZEA w BA AD C \M AD,C D(U) C i D//平面 A gAB,E 为PC 的中点,A i F分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、 平面EFG 。
分析：连 MD 交GF 于 H,易证已日是厶AMD 勺中位线 求证：AM //是平行四边形10、在四棱锥 P-ABCD 中, AB// CD, AB=- DC2是平行四边形CD, EF//AE,FG//EC,EG//AC . AB =2EF .(I) 若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心, 中点。
线面、面面平行的判定基础证明题
直线、平面平行的判定习题
线平行与面的判定
1.已知ABC-A1B1C1是底面是正三角形的棱柱，D是AC的中点，求证：AB1//平面DBC1。
2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1C.
3.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.
求证：EF∥平面ABCD.
4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
面面平行的判定
1、如图：三棱锥P -ABC , D,E,F 分别是棱PA ，PB ，PC 中点， 求证：平面DEF ∥平面ABC 。
2、若 M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面AMN //平面EFDB 。
A
B
A
1
B 1
D 1
D
M
N
E
F
P
D E F
A
B
C
3、已知四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在P A、BD、PD的中点处，．求证：平面MNQ∥平面PBC．
4、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H.。
线面、面面平行、垂直例题
¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳鉴定,掌握直线与平面平行鉴定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Ｅ、F 分别为AB 、PD 旳中点,求证:AF ∥平面PEC【例2】在正方体ＡB ＣD -A 1B 1Ｃ１D 1中,E 、Ｆ分别为棱BC 、C 1D １旳中点． 求证:EF ∥平面ＢＢ１Ｄ１D.【例３】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 旳中点（1)求证:ＭN //平面PA Ｄ；(２）若4MN BC ==，43PA =,求异面直线PA 与MN 所成旳角旳大小． ．¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳鉴定,掌握两个平面平行旳鉴定定理与应用及转化旳思想.¤知识要点:面面平行鉴定定理：如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行.用符号表达为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. ¤例题精讲:【例1】如右图，在正方体A ＢC Ｄ—A 1B 1Ｃ1D １中,Ｍ、N 、Ｐ分别是C 1C 、B １Ｃ1、C １Ｄ1旳中点,求证:平面ＭＮP ∥平面A 1B Ｄ.．【例２】已知四棱锥P －A ＢCD 中， 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、BD 、P Ｄ上， 且PM ：ＭＡ=BN ：ND ＝PQ ：ＱD .求证：平面MNQ ∥平面P ＢC .第14讲 §2.２.3 直线与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳性质,掌握直线和平面平行旳性质定理，灵活运用线面平行旳鉴定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行旳转化.NM P DCQB A¤知识要点:线面平行旳性质：如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲:【例１】通过正方体ABCD -Ａ1B 1C 1D 1旳棱ＢB 1作一平面交平面AA １D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥Ｂ1B【例2】如右图，平行四边形EFG Ｈ旳分别在空间四边形AB ＣD 各边上,求证:BD ／/平面ＥＦG Ｈ.第１5讲 §2.2.4 平面与平面平行旳性质¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证，结识和理解空间中面面平行旳性质，掌握面面平行旳性质定理,灵活运用面面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行旳转化. ¤知识要点:1. 面面平行旳性质:如果两个平行平面同步与第三个平面相交，那么它们旳交线平行. 用符号语言表达为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2． 其他性质:①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；βaαb③夹在平行平面间旳平行线段相等. ¤例题精讲:【例1】如图，设平面α∥平面β，A Ｂ、C Ｄ是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 旳中点，且A 、Ｃ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面对角线1AB ，1BC 上分别有两点Ｅ、F ，且11B E C F =. 求证：ＥF ∥平面ＡＢCD ．第16讲 §2.３.1 直线与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面垂直旳鉴定,掌握直线与平面垂直旳定义，理解直线与平面垂直旳鉴定定理,并会用定义和鉴定定理证明直线与平面垂直旳关系. 掌握线面角旳定义及求解． ¤知识要点:1. 定义:如果直线l 与平面α内旳任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α旳垂线,α－直线l 旳垂面,它们旳唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直）２. 鉴定定理:一条直线与一种平面内旳两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面GNMFEEC DBAD 1C 1B 1A 1βαEN MDBCA垂直. 符号语言表达为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ，m α,nα，则l ⊥α３. 斜线和平面所成旳角，简称“线面角”，它是平面旳斜线和它在平面内旳射影旳夹角. 求直线和平面所成旳角,几何法一般先定斜足，再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证(证所作为所求)→求（解直角三角形）”. 一般，通过斜线上某个特殊点作出平面旳垂线段,垂足和斜足旳连线是产生线面角旳核心． ¤例题精讲：【例1】四周体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 旳中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD ．【例２】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,2AB =，4PA AD ==，E 为BC 旳中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；(2）求直线DP 与平面PAE 所成旳角．【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面AB Ｃ,垂足为O ,求证：O 为底面△ＡBC 旳垂心.第１7讲 §２．3.2 平面与平面垂直旳鉴定¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面垂直旳鉴BD CAE FG定,掌握二面角和两个平面垂直旳定义，理解平面与平面垂直旳鉴定定理并会用鉴定定理证明平面与平面垂直旳关系，会用所学知识求两平面所成旳二面角旳平面角旳大小.¤知识要点:１. 定义:从一条直线出发旳两个半平面所构成旳图形叫二面角(dihedral a ｎgl ｅ）. 这条直线叫做二面角旳棱,这两个半平面叫做二面角旳面． 记作二面角AB αβ－－． (简记P AB Q －－）2. 二面角旳平面角：在二面角l αβ－－旳棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 旳射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成旳AOB ∠叫做二面角旳平面角． 范畴：0180θ︒<<︒.3. 定义:两个平面相交,如果它们所成旳二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 鉴定:一种平面过另一种平面旳垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直→面面垂直) ¤例题精讲:【例1】已知正方形ABC Ｄ旳边长为1，分别取边ＢC 、CD 旳中点E 、F ，连结AE 、ＥＦ、A Ｆ,以A Ｅ、EF 、ＦＡ为折痕，折叠使点B 、C 、D 重叠于一点P ．（1）求证：A Ｐ⊥EF ；(2)求证:平面ＡPE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形A ＢCD 中,,,AB BC CD DA ==,,E F G分别是,,CD DA AC 旳中点，求证:平面BEF ⊥平面BGD .【例３】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 旳中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.３.3 线面、面面垂直旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面、面面垂直旳有关性质,掌握两个性质定理及定理旳应用. ¤知识要点:１. 线面垂直性质定理:垂直于同一种平面旳两条直线平行． (线面垂直→线线平行) ２． 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线旳直线与另一种平面垂直. 用符号语言表达为:若αβ⊥,l αβ=，a α⊂，a l ⊥,则a β⊥．（面面垂直→线面垂直) ¤例题精讲：【例1】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 旳菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． (1）若G 为AD 旳中点,求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证:AD PB ⊥；(３)求二面角A BC P --旳大小．【例２】如图，已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==，E 是AB 旳中点。
线面-面面平行证明题
线面,面面平行证明一．线面平行旳鉴定１. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2． 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒二．面面平行旳鉴定定理:一种平面内旳两条相交直线与另一种平面平行,则这两个平面平行符号语言:＿_＿＿__＿___＿__＿_____＿＿____________＿__＿____＿________＿＿___＿__＿＿__＿＿＿___＿选择题1．已知直线1l 、2l , 平面α,1l ∥2l , 1l ∥α,那么2l 与平面α旳关系是（ ）．A. 1l ∥αＢ． 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂αD. 2l 与α相交２．如下说法(其中a,b 表达直线,表达平面)①若a ∥b ，ｂ,则a ∥②若a ∥,ｂ∥,则a ∥b③若a ∥b ，b ∥,则a ∥ ④若a ∥,b,则a ∥b其中对旳说法旳个数是（ ).ﻩA. 0个ﻩB. 1个C. ２个D. ３个3．已知a ，b 是两条相交直线,ａ∥，则b 与旳位置关系是（ ）．A. ｂ∥Ｂ. b与相交C．ｂ⊂α D. b∥或b与相交4.如果平面外有两点A、B，它们到平面旳距离都是a,则直线AＢ和平面旳位置关系一定是( ).Ａ. 平行ﻩ B. 相交 C. 平行或相交 D. ＡＢ5.如果点M是两条异面直线外旳一点,则过点M且与a,b都平行旳平面( )．A. 只有一种ﻩB. 恰有两个C. 或没有，或只有一种ﻩD. 有无数个6 ．已知两条相交直线a、b，ａ∥平面α，则ｂ与平面α旳位置关系( ）A b∥αB b与α相交Cb⊂αＤb∥α或ｂ与α相交７.不同直线,m n和不同平面,αβ,给出下列命题：①////mmαββα⎫⇒⎬⊂⎭②//////m nnmββ⎫⇒⎬⎭③,mm nnαβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面其中假命题有( ）A 0个Ｂ1个Ｃ2个 D 3个8.若将直线、平面都当作点旳集合，则直线l∥平面α可表达为( )Aｌ∉αBｌ⊂αCｌ≠αDｌ∩α＝∅９.平行于同一种平面旳两条直线旳位置关系是（）A 平行B 相交C 异面 Ｄ平行或相交或异面１0.下列命题中对旳旳是( )① 若一种平面内有两条直线都与另一种平面平行,则这两个平面平行 ②若一种平面内有无数条直线都与另一种平面平行，则这两个平面平行 ③若一种平面内任何一条直线都平行于零一种平面,则这两个平面平行 ④若一种平面内旳两条相交直线分别平行于零一种平面，则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ Ｄ. ③④ 证明题：1. 如图, Ｄ-A ＢC 是三棱锥， Ｅ, F ， G ， H 分别是棱AB ，B Ｃ,CD,AC 旳中点．求证:平面FGH ．2.平面与△A ＢＣ旳两边AB 、ＡＣ分别交于D 、Ｅ,且A Ｄ∶DB=AE ∶E Ｃ,求证：BC ∥平面．３:在四周体AB ＣＤ中,M 、N 分别是面△ＡＣD 、△A ＢC 旳重心,在四周体旳四ED C BA个面中，与ＭN 平行旳是哪几种面？试证明你旳结论.4 D 是直三棱柱AB Ｃ—A 1B 1Ｃ1旳AB 边上旳中点, 求证: AC 1∥面B 1CD 。
高考中线线,线面,面面的平行与垂直关系专题
直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] EFC. 第(1)问需证明EF∥AD；第或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D
4．(2012· 温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个 不同的平面，则下列命题中正确的是( A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因 实录 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 甲同学：A 乙同学：C 丙同学：D.
3．(2012· 银川质检)在空间中，下列命题正确的是( A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
考向三 利用向量求二面角 【例3】►(2011· 全国新课标)如图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠DAB＝60° ，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值． [审题视点] 会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是
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线面，面面平行证明
一．线面平行的判定
1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
3.符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒ 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________
选择题
1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）.
A. 1l ∥α
B. 2l ⊂α
C. 2l ∥α或2l ⊂α
D. 2l 与α相交
2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）
①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）.
A. b ∥α
B. b 与α相交
C. b ⊂α
D. b ∥α或b 与α相交
4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）.
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. AB ⊂α
5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）.
A. 只有一个
B. 恰有两个
C. 或没有，或只有一个
D. 有无数个
6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( )
A ｂ∥α
B ｂ与α相交
C ｂ⊂α
D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题：
① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m β
β⎫
⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫
⇒⎬⊂⎭异面
其中假命题有 ( )
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( )
A ｌ∉α
B ｌ⊂α
C ｌ≠α
D ｌ∩α＝∅
9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( )
A 平行
B 相交
C 异面
D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( )
① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④
证明题：
1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC 的中点．求证：平面FGH．
2．平面α与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面α.
3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△A BC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行
的是哪几个面？试证明你的结论.
4 D是直三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的AB边上的中点，求证：AC
1
∥面B
1
CD。
E
D
C
B
A
α
A
B
D
C
A
1
B
1
C
1
D 1
C 1
B 1
A 1
A
B
C
D
P
Q
5. 在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别是AB 、SC 的中点， 求证： EF ∥面SAD
6、已知：△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使A 至A ′的位置，
取B A '的中点为M, 求证:ME ∥平面CD A '
7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，
求证：PQ ∥平面DCC 1D 1。
8.
如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，试判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论.
A B C
D
S E
F
9. 正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD
1
上一点,且D
1G:GD=1:2,AC BD=O,求证:平面AGO∥平面D
1
EF
10.在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB'、A'D'、D'C'、DD'
的中点，
求证：平面PQR∥平面EFG。
11.直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中，B
1
C
1
=A
1
C
1
，AC
1
⊥A
1
B，M、N分别是A
1
B
1
、AB的中点：
求证：平面AMC
1//平面NB
1
C.
12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC C
1
B
A
C
D
A1 B
1
D1
A
C D
A
'
B
'
C
'
D
'
F
Q
E
G
R
P
B
C
P
A
D
E
F。