几何概型经典练习题

几何概型题目选讲

1.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C 、现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A 、16 B 、13 C 、23 D 、4

5

解析:设AC ＝x ,由题意知x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12,所求事件的概率P ＝4－0＋12－812＝2

3

、

2.已知圆C:2

2

12,:4325x y l x y +=+=在圆上任取一点P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。 解:P(A)=

1

6

3.设不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

0≤x ≤2

0≤y ≤2表示的平面区域为D 、在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率

就是

解析:坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心,2为半径的圆内及圆上,⎩⎨⎧

0≤x ≤2

0≤y ≤2

表示的区域D 为边长

为2的正方形及其内部,所以所求的概率为4－

π×444＝4－π

4

、

4.在区间[0,9]上随机取一实数x,则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为__________.

解析:由1≤log 2x ≤2,得2≤x ≤4,根据区间长度关系,得所求概率为2

9

、

5.在[－6,9]内任取一个实数m,设f(x)＝－x 2＋mx ＋m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于__________. 解析:函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足Δ＝m 2＋4m ≥0,解得m ≤－4或m ≥0,又m ∈[－6,9],故－6≤m ≤－4或0≤m ≤9,因此所求概率P ＝2＋915＝11

15

、

6.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达就是等可能的.

(1)如果甲船与乙船的停泊时间都就是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析:(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y,则0≤x ＜24,0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4、

作出区域⎩⎨⎧

0≤x ＜24

0≤y ＜24

y －x ＞4或y －x ＜－4、

设“两船无需等待码头空出”为事件A,则P(A)＝

2×1

2×20×2024×24

＝25

36、 (2)当甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x －y ≥2或y －x ≥4、

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域

⎩⎨⎧

0≤x ＜240≤y ＜24

y －x ＞4或x －y ＞2、

P(B)＝12×20×20＋1

2×22×2224×24

＝442576＝221288、

7、知k ∈［－2,2］,则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2

＋kx －2y －

5

4

k ＝0相切的概率等于 【解析】、∵圆的方程化为222

k 5k k (x )(y 1)1244＋＋－＝＋＋,∴5k ＋k 2＋4>0,∴k<－4或k>－1、∵过A(1,1)可以作两

条直线与圆222k 5k k (x )(y 1)1244＋＋－＝＋＋相切,∴A(1,1)在圆外,得222

k 5k k (1)(11)1244

>＋＋－＋＋,

∴k<0,故k ∈(－1,0),其区间长度为1,因为k ∈［－2,2］,其区间长度为4,所以P ＝

1

4

、 8.已知k ∈[－2,2],则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －5

4k ＝0相切的概率等于

解析:∵圆的方程化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y －1)2＝5k 4＋k

2

4

＋1,∴5k ＋k 2＋4>0,∴k <－4或k >－1、∵过A (1,1)可以作两条直线与圆⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y －1)2＝5k 4＋k 2

4＋1相切,∴A (1,1)在圆外,得⎝⎛⎭⎫1＋k 22＋(1－1)2>5k 4＋k

2

4

＋1, ∴k <0,故k ∈(－1,0),其区间长度为1,因为k ∈[－2,2],其区间长度为4,∴P ＝14

、

9.已知集合A ＝{x |－3

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪ x ＋2

x －3<0、(1)求A ∩B ,A ∪B ; (2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ,求“x ∈A ∩B ”的概率; (3)设(a ,b )为有序实数对,其中a 就是从集合A 中任取的一个整数,b 就是从集合B 中任取的一个整数,求“b －a ∈A ∪B ”的概率. 解:(1)由已知B ＝{x |－2

8

、

(3)因为a ,b ∈Z,且a ∈A ,b ∈B ,所以,基本事件共12个:(－2,－1),(－2,0),(－2,1),(－2,2),(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(－1,2),(0,－1),(0,0),(0,1),(0,2).设事件E 为“b －a ∈A ∪B ”,则事件E 中包含9个基本事件,事件E 的概率P (E )＝9

12＝

34

、 10.袋子中放有大小与形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号就是2的小球的概率就是1

2

、

(1)求n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b 、 ①记事件A 表示“a ＋b ＝2”,求事件A 的概率; ②在区间[0,2]内任取2个实数x ,y ,求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率. 解:(1)由题意可知:

n 1＋1＋n ＝1

2

,解得n ＝2、 (2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件