泛函分析复习题

，则有
中至多只有可列多 ，在 中任取 n个元素
于是在 中使得
的 只有有限个。
记
，显然有
，则
显然是可列集，且当
时，
Fourier 系数中非零项至多可列个。
，即在 关于 的
取
，则 在 上无界，因此
，
使得
成立。
类似地过程一直进行，直到
取
，则 在 上无界，因此
，
使得
成立。
因此，
，使得
，但
另外，如果有
，当
，有
由于在 上不能找到一点
，使得
，因此对所有的
点
，均无法使得
成立，因此，在条件
下，对
于所有的点
，
均不成立。所以 在 上的 0 点不
是连续的，故 不是连续的。
5． 对 于 每 个 有 界 序 列
。
又因为
，故存在实数 ，对所有的 ，
满足 从而对每个 有
即 是有界数列，
，又
有
故当当
时，
，所以 是完备的度量空间。
14．证明：
是可分空间。
解：考虑集合
，即 是由至多
有限个坐标不为 0，且坐标都是有理数的元素构成。因此， 是可数集。
对于
，有
，所以
，当
时， 使得 令
，有有理数的稠密性，可取得
，
。且
即在
，定义线性算子
，
求 解：由于
有界，所以有
，使得
对于
，
，
从而
另外，有
，从而 有界序列，设
则对
，有 ，使得
可取
， ，所以
，因此
，由于 的任意性，于是有
成立
综上所述有
6． 我 们 知 道 有 命 题 ： 对 于 算 子 序 列 ， 若
，
。此命题的逆命题不成立。
试考虑算子序列
，
。
，则
解：
，
，
所以
（
）
取
，
由不动点原理，
，存在唯一的一个
，
使得
11．考虑
上的非线性积分方程
其中
，
是
满足
的连续函数，
证明当 足够小时，此方程存在唯一解
。
解：由于
是完备的，
映射
，
所以
所以，当
时，映射
是压缩映射
由不动点原理，
，存在唯一的一个
，
使得
12．验证：（1）开球
是开集；
（2）闭球
是闭集。
解：（1）
，则
，
所以，
，
即
是开集，故，开球
映射：
使得
，有
立 则 线性保距同构映射，因此
17．求空间
上的线性泛函
解：空间
上的范数为
有
成
的范数。 ，所以
可知 是有界线性泛函，且
，
另一方面，取
，知
，且
于是
从而
18．设 是可分的 Hilbert 空间，证明是 中任一规范正交基至多是 可列的。
证明：有题设知 是可分的，故必有 的开列子集 ，且 在
中稠密， 设
是开集。
（2）
，则
，
所以，
，
即
是开集，故，闭球
是闭集。
13．证明：有界数列集合组成的空间 是完备的。 解：取 是空间 中的基本点列，
间 的度量取
，
，
由于取 是空间 中的基本点列，所以
，空 ，当
时，有
对每个固定的 ，当
时，有
（1）
所以，数列
是 C 中的收敛列，即当
时， 由此得，
由（1）中，令
，则当
时，有
是 中的一组规范正交基，考察以一切 为球心，
为半径的球簇，则若 不是可列的，球簇也不是可列的。于是
至少某两个球簇含有同一个 ，即有
使得
， 于是 另一方面由勾股定理得
这样导出矛盾，故 是可列的。
19．设
是内积空间 中的一组规范正交基，证明：
， 关于 的 Fourier 系数 个不为零。 证 明 ： 依 照 Bessel 不 定 式 ，
1）
，因此
也是使 成 有：
和
且当
时
，
于是
和
以及若
均有 2） 因此 和 3）
或
成立，于是 ，
成立
，因此
以及设
，
所以
，所以 单增，
综上所述
故
和
和
均满足度量空间的三条件，
均使 成为度量空间。
3．设 是内积空间，
，则当
，
时，
，即内积关于两变元连续。
解： 是内积空间，设 是由其内积导出的范数，由于
，
，
所以
中稠密。依定义知
是可分的。
15．举例说明：在完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点的结
论中，若将压缩映射改为满足
的映射时，其结论不
成立。
解：例如，
，
，
于是由微分中值定理得：在 和 之间存在 使得
因此 动点，否则若有不动点，那么必有 这个显然是不正确的。
故若将压缩映射改为满足 成立。
成立，但其不存在不
成立，即
成立，
的映射时，其结论不
16．证明
，其中
时有序列
和
使得
，
解： 是所有收敛序列全体的集合，范数
取基元集 ，
，在 中
对
，即 取 设
， ，记
，有
，则 ，对
且 收敛于 所以有
取
且
，
，其中
，则
，所以
令
，即得
，且
再证反向不等式。对 对每个 定义
， ，则 是 上的线性泛函，且有
所以
，且
。
综合两个不等式得
泛函分析复习题 2013
1．在实数轴 上，令
，当 为何值时， 是度量
空间， 为何值时， 是赋范空间。
解：若 是度量空间，所以
，必须有：
成立
即
，取
，
有
，所以，
若 是赋范空间，
，所以
，
必须有：
成立，即
，
，
当
时，若 是度量空间，
时，若 是赋范空间。
2．若
是度量空间，则
，
为度量空间。
解：由于
是度量空间，所以
解：
，已知
收敛，取
收敛于有限数。
，则 收敛，
则，
，
所以
收敛。
，已知
，
收敛，即
，
标量列
收敛，
取
，
此时
由标量列 收敛，从而
收敛。
若
收敛，则标量列
收敛
设
，则
由标量列 收敛，得 收敛，即
收敛。
10．设
，考虑
上的积分方程
其中
，证明此方程存在唯一连续解。
解：由于
是完备的，映射
，
，所以
因为
，所以映射
是压缩映射
， 使得当
时均有
和
同时由于 取
，故知 有界，
所以 有限。因此可
因此
故
，即
4．设 是线性赋范空间，
是线性算子，则 不是连续
的，当且仅当
，使得
，但
解：设 不是连续的，则 在 上的每一点 都不是连续的，因
此在点
也不是连续的。则 在包含 上 0 点的任何有界邻域内
均无界， 取
，则 在 上无界，因此
，
使得
成立。
，
在 中取基元集
则对
设
，记
，有 ，所以有
取 则
且
，
，其中
，
，所以
令
，即得
，
且
再证反向不等式。对
，
对每个
定义
，则 是 上的线性泛函，且有
所以 映射
，且
。综合两个不等式得
Fra Baidu bibliotek
使得
，有
则 线性保距同构映射，因此
成立
9．设 是 Hilbert 空间， 是 中正交集，则以下三条等价；
1）
收敛，2）
，
收敛，3）
收敛
，
我们有
（
）
另外，对每个固定的 ，我们都可以找到一个元素
有
，但
， ，
因此
， ，故
不成立。
7．设 是线性赋范空间，
是线性算子，则
且仅当
，使得
，
时，有
解： 闭，即有
，
，则
使得
另外，当
，
，使得
因此对于
，
，取
有
，
闭，当 。
，
，
于是有 所以 闭
，即
，
8．证明
，其中
时有序列
使得
，
解： 是所有极限为 0 的序列全体的集合，范数