重积分的换元法
高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
重积分的换元法
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
三二重积分的换元法
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
重积分换元法与分部积分法
重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。
在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。
重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。
在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。
重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。
对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。
通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。
分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。
在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。
分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。
对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。
通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。
综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。
通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。
重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
16-5三重积分换元
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) dxdydz 例 6 计算 ∫∫∫ 2 2 2 x + y + z +1 V 2 2 2 其中积分区域V = {( x , y , z ) | x + y + z ≤ 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
解
由x
2
V 由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2 2
⇒
z = x + y
2
r =
2
2a ,
π ϕ = , 4
⇒
V : 0 ≤ r ≤ 2a ,
0≤ϕ ≤
π
4
,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
V = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π,
0 ≤ θ ≤ 2π.
如图，三坐标面分别为 如图，
r 为常数
球 面； 圆锥面； 圆锥面； 半平面． 半平面．
z
ϕ
O x θ r
M
y
P
ϕ 为常数 θ 为常数
如图， 如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
一般地， 平面对称， 一般地，当积分区域V关于 xoy平面对称，且被 积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为 的奇函数， 的偶函数， 零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重 平面上方的半个闭区域的三重积分 积分为V在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍. 的两倍
三重积分换元法
三重积分换元法三重积分是数学中的一个重要概念，它与物理、工程等领域密切相关。
三重积分中的换元法是其中一个非常重要的技巧，能够帮助我们更加高效地求解三重积分问题。
下面，我们将详细介绍三重积分换元法的相关知识。
1. 三重积分介绍三重积分是指对三维立体空间中的某一区域进行积分，其结果通常为一个实数或者也可能是一个向量值函数。
在三重积分中，我们通常会用到三个自变量，这三个自变量通常被称为 $x, y, z$。
对于三重积分问题，我们通常需要先确定被积函数和积分区域，然后再进行求解。
在实际应用中，三重积分通常被用来求解物理、工程等领域的问题。
2. 三重积分换元法的基本原理在求解三重积分时，有时候我们会发现积分区域的形状比较复杂，这时候我们可以使用换元法来简化计算。
三重积分换元法的基本原理是将三重积分中的自变量替换为新的自变量，使得积分区域转化为简单的坐标轴画图形式，从而将原积分区域直接变换为新的积分区域。
具体来说，我们通常会选取满足一定条件的替换，使得其中至少一个自变量的下限和上限随着新的自变量而发生变化，从而简化原有的计算问题。
3. 三重积分换元法的常用技巧在实际计算中，三重积分换元法有多种常用技巧。
下面我们就来分别介绍一下。
（1）圆柱换元法当积分区域为旋转体时，我们可以使用圆柱换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为极坐标系中的角度和半径，从而将积分区域转化为一个简单得多的圆柱体积分。
（2）球面换元法当积分区域为球体时，我们可以使用球面换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为球面坐标系中的极角、方位角和距离，从而将积分区域转化为一个简单得多的球体积分。
（3）柱坐标换元法当积分区域为柱体时，我们可以使用柱坐标换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为柱坐标系中的高度、极径和极角，从而将积分区域转化为一个简单得多的柱体积分。
4. 总结三重积分是数学中的一个重要概念，而三重积分换元法则是其中的一个重要技巧。
三重积分的换元法(北工大)
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
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容易验证，
柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
cos r sin 0
J (x, y, z) sin r cos 0 r,
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f[x(u, v),y(u, v)]J(u, v) dudv.
D
D'
三重积分的换元法
(Change of Variable in Triple Integral)
定 理 设 f (x, y, z) 在 有 界 闭 区 域 上 连 续 ， 变 换T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w),将o uvw 上 的 闭 区 域' 变 为o xyz 上 的 闭 区 域， 且 满 足
(r, , z)
0
01
球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
sincos coscos sinsin
J (x, y, z) sinsin cossin sincos 2 sin
(, , ) cos sin
(1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)在 D 上 具 有 一 阶 连 续偏导数； (2) 在 ' 上雅可比式 J(u, v, w) (x, y, z) 0;
(u, v, w) (3) 变 换 T : ' 是 一 对 一 的 ， 则 有
f (x, y, z)dxdydz
0
广义球坐标变换的Jacobi行列式为
x asincos
0
y bsinsin 其中 0
z ccos
0 2
J (x, y, z) abc2 sin ,
(, , )
二重积分的换le Integral)
定 理 设 f (x, y) 在 xoy 平 面 上 的 闭 区 域D 上 连 续 ， 变 换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平 面 上 的 闭 区 域D 变 为 xoy 平 面 上 的D， 且满足 (1) x(u, v),y(u, v) 在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数； (2) 在 D 上 雅 可 比 式 J(u, v) (x, y) 0;