重积分的换元法

0
广义球坐标变换的Jacobi行列式为
x asincos
0
y bsinsin 其中 0
z ccos
0 2
J (x, y, z) abc2 sin ,
(, , )
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f (x(u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w)) | J | dudvdw . '
容易验证，
柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
cos r sin 0
J (x, y, z) sin r cos 0 r,
二重积分的换元法
(Change of Variable in Double Integral)
定 理 设 f (x, y) 在 xoy 平 面 上 的 闭 区 域D 上 连 续 ， 变 换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平 面 上 的 闭 区 域D 变 为 xoy 平 面 上 的D， 且满足 (1) x(u, v),y(u, v) 在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数； (2) 在 D 上 雅 可 比 式 J(u, v) (x, y) 0;
(1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)在 D 上 具 有 一 阶 连 续偏导数； (2) 在 ' 上雅可比式 J(u, v, w) (x, y, z) 0;
(u, v, w) (3) 变 换 T : ' 是 一 对 一 的 ， 则 有
f (x, y, z)dxdydz
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f[x(u, v),y(u, v)]J(u, v) dudv.
D
D'
三重积分的换元法
(Change of Variable in Triple Integral)
定 理 设 f (x, y, z) 在 有 界 闭 区 域 上 连 续 ， 变 换T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w),将o uvw 上 的 闭 区 域' 变 为o xyz 上 的 闭 区 域， 且 满 足
(r, , z)
0
01
球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
sincos coscos sinsin
J (x, y, z) sinsin cossin sincos 2 sin
(, , ) cos sin