信息论_举例讲解(信息量、熵及互信息量)解读

二、当事件x发生以后，I(x)表示事件x所提供 的信息量（在无噪情况下)。 在通信系统模型中，不仅可以用自信息量来 研究信源中的每个消息，对信宿也可同样可以。
自信息量计算的应用
例2：假设一条电线上串联了8个灯泡x1,x2,…,x8, 这8个灯泡损坏的可能性是等概率的,假设有也只 有一个灯泡损坏,用万用表去测量,获得足够的信 息量,才能获知和确定哪个灯泡xi损坏。下面就来 看我们最少需要获得多少信息量才能判断出。
自信息量的计算公式
综合上述条件，在概率上已经严格证明了
def I ( x) log p( x)
其中p(x)为消息的先验概率。 自信息量的单位：若这里的对数底取2，则 单位为比特bit，由于在计算机上是二进制，我 们一般都采用比特。其他单位以及相互之间转 换关系查阅教材。
计算自信息量的例子
显然,H(X)>>H(Y),这表示信源X的平均不稳 定性远远大于信源Y的平均不稳定性。
条件自信息量
前面我们引入自信息量以及熵的概念，用 以描述信源或信宿，事实上，信宿收到的消息 是与信源发出的消息密切相关。并且接受信息 与发送信息之间的关系往往是判定一个信道的 好坏的最佳标准。所以，我们需要引入互信息 量。在学习互信息量之前我们先来了解条件信 息量的概念。 设消息x发出的先验概率为p(x)，收到消 息y是由x发出的条件概率为p(x|y),则在收到y 是由x发出的条件自信息量I(x|y)定义为：
H X 0.5 log0.5 0.5 log0.5 1
H Y 0.99 log0.99 0.01log0.01 0.08
H ( X ) 2 1 log 1 2 1 log 1 4 1 log 1 2.75(比特/符号) 4 4 8 8 16 16
计算熵的例子
例4 计算下面一个信源的熵：
xi 000 001 1/4 010 1/8 011 1/8 100 1/16 101 1/16 110 1/16 111 1/16 q(xi) 1/4
[解]由定义有：
我们再回过头来看一下例3中两个信源熵分 别是多少， 结果反映了一个怎样的事实？ [例3解答]由定义有：
[解]第一次测量获得的信息量：
1 1 I ( p1 ( x)) I ( p 2 ( x)) log log 3 2 1(bit) p1 ( x) p 2 ( x)
第二次测量获得的信息量：
1 1 I ( p 2 ( x)) I ( p3 ( x)) log log 2 1 1(bit) p2 ( x) p3 ( x )
离散集自信息量的性质
因此，某事件x发生所提供的信息量I(x) 应该是该事件发生的先验概率p(x)的函数: I(x)=f(p(x)) 且应满足以下四点： (1)I(x)应该是事件概率p(x)的单调递减函数； (2)信息量应具有可加性：对于两个独立事件， 其信息量应等于各自信息量之和； (3)当p(x)=1时，I(x)=0：表示确定事件发生得 不到任何信息； (4)当p(x)=0时，I(x)=∞:表示不可能事件一旦 发生，信息量将无穷大。
信息论基础
信息量、熵和互信息量
在上一次课中我们提到香农对信息定性的 定义——事物运动状态或存在方式的不确定性 的描述。事实上，香农对信息不仅作了定性描 述，而且还进行了定量分析。 信源发出的消息常常是随机的，具有不确 定性。如果信源中某一消息的不确定性越大， 一旦发生，并为收信者收到，消除的不确定性 就越大，获得的信息也就越大。同时事件发生 的不确定性与事件发生的概率有关，概率越小， 不确定性就越大。 研究通信系统的目的就是要找到信息传输 过程的共同规律，以提高信息传输的可靠性、 有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系 统最优化。
例1：信源消息X={0,1,2} 的概率模型如下：
xi
P(xi)
0
1/3
1
1/6
2
1/2
则该信源各消息的自信息量分别为：
xi P(xi) I(xi) 0 1/3 log3 1 1/6 log6 2 1/2 log2
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单位：比特
自信息量的涵义
自信息量代表两种含义： 一、事件x发生以前，I(x)表示事件x发生的不 确定性；
I ( x y ) log p( x y )
def xi X
p( x ) I ( x ) p( x ) log p( x )
i i xi i i
熵的单位是比特/符号. 我们知道，I(xi)是唯一确定xi所需要的信 息量，那么H(X)就是唯一确定X中任一事件所需 的平均信息量。它反映了X中事件xi出现的平均 不确定性。
熵的几条性质
(1)对称性：熵只和分布有关，不关心某一具 体事件对应哪个概率； (2)非负性：H(X)≥0； (3)确定性:若离散事件是确定事件,则H(X)＝0 （4）极值性——最大离散熵定理:设|X|为信 源消息的个数,则有H(X)小于等于log|X|，等 号当且仅当信源X中各消息等概率时成立，即 各消息等概率分布时( p=1/|X|),信源熵最大.
第三次测量获得的信息量：
1 1 I ( p3 ( x)) I ( p 4 ( x)) log log 1 0 1(bit) p3 ( x ) p4 ( x)
故共需要3bit信息量.
信源熵
前面我们根据信源或信宿的概率模型，通过 自信息量的计算，能得到信源以及信宿中每个消 息的不确定性。然而，事实上，人们往往关注的 并不紧紧是每个消息的不确定性，而是整个系统 的不确定性的统计特性即整个信源自信息量的统 计平均值——熵。 我们先来看一个例子： 例3 有两个信源X和Y：
xi 0 1 yi 0 1
P(xi) 0.5 0.5
P(yi) 0.99 0.01
在现实中，能找到很多类似的模型，我们想 知道这两个信源本质的区别在哪里？
平均自信息量——熵的定义
设X是一个集合（即信息系统如信源或信 道），其概率模型为{xi,p(xi)}，则定义系统X 的平均自信息量——熵为：
H X