高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精)

数列通项公式的四大题型

类型一： 观察分析法（已知前几项，写通项公式）

具体方法有：

(1)联想比较法。如由-1，2，-3，4，-5，······ 联想到数列-1，1，-1，1，······和1，2，3，4，5，······ ，可得n a n n •-=)1(；

由3，6，11，18，27，······联想到数列1，4，9，16，25，······，可得22+=n a n ； 由,117,95,73,51······可知该数列中各项分式的分子为2n-1,而分母比分子多4，故3

212+-=n n a n . (2)逐差法。如1，3，5，7，9，······，可发现：3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是归纳得 12-=n a n .

(3)逐商法.如1，3，9，27，81，······可发现,327

819273913====于是归纳可得 13-=n n a . (4)待定系数法.如：3，6，11，18，27，38，······，一次逐差得数列3，5，7，9，11，······，二次逐差得数列 2，2，2，2，······，一般地，逐差k 次后可得常数列，则通项公式可设为k 次多项式.可以猜想通项公式为c bn an a n ++=2.令n=1,2,3,得

a+b+c=3 ○1 4a+2b+c=6 ○2 9a+3b+c=11 ○3 联立○1○2○3可得a=1,b=0,c=2.

经检验适合，故22+=n a n .

类型二：定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公

式.

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴9123

a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵255a S = ∴211)4(2

455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5

353)1(53=⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 类型三：前n 项和法 （已知前n 项和，求通项公式）

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-

,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a

11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-

].)1(2[323])2(1[2)1(2)]

2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n

n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并． 类型四：由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

题型1： 递推公式为)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=- 211=a ， n

n a n 1231121-=-+=∴（2≥n ）

211=a =1123-=满足上式 故n

a n 123-=∴ 题型2 ：递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 解：由条件知1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ， n

a n 32=∴（2≥n ） 321=a 满足上式 故n

a n 32=∴ 注：由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项还可以如下求得： 所以1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，•••，12)1(a f a =依次向前代入，得 1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，

题型三、形如 1n

n n pa a qa p +=+ 的递推式

解法：取倒法构造辅助数列

例5：

{}{}11

1,,21n n n n n a a a a a a +==+数列满足:求通项公式

题型4、 递推式：()n f pa a n n +=+1

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式 ①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

111n 11

n 12111 221a 11 2a a n n n n n n a a a a a a -----+=

==++⎧⎫⎨⎬⎩⎭解：是以为首项，以为公差的等差数列