第十三章 电磁感应(部分习题分析与解答1)

θ r
Ek
O′
∫
即有 于是 得到
L
Ek dl = ∫
dB ds S dt
dl
Q
dB 2 dB Ek 2πr = ∫ ds cos π = πr S dt dt
Ek =
r dB 2 dt
方向与回路环绕方向一致,即沿逆时针.
R 2 (l / 2) dB l R 2 (l / 2) dl = r dt 2
G
设某时刻t,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为 θ,则穿过ABCA的磁通量为 φ (t ) = B S = BS cos θ = 1 πr 2 B cos θ 2
dφ 1 2 dθ 1 2 据电磁感 E= = 2 πr B sin θ = 2 πr Bω sin θ 应定律有 dt dt
若设初始时刻,半圆ABCA平面的法向与磁场的夹角为0, 即回路的环绕方向为顺时针(A→B →C →A).则
13.3 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使 这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值. 电路中的半圆在做切割磁感 B C 线的运动,穿过回路的磁通 ω r 量在发生变化,半圆中产生 感应电动势. A B 连接半圆的两端,构成闭 合回路ABCA.
Ε PQ = Ε PQOP
Ek
Q
Ε QO = Ε OP = 0
l l dB = R2 2 2 dt
2
EPQ为正值,说明电动势方向由P指向Q,即Q端电势较高.
在导体棒OP上任取一线元 dl 由于磁场分布具有轴对称性,产生的感 生电场也具有相应的轴对称性.于是过 线元,以O为圆心作一个圆,并设环绕方 向沿逆时针.根据感生电场的环路定理 R O P
EOP + EPQ + EQO = 0
B
Q P
θ
O
ω
Q
P
EOP = E PQ = 1 Bω ( L sin θ ) 2 2
O
13.10 如图所示,金属杆AB以匀速v=2.0m/s平行于一长 直导线移动,此导线通有电流I=40A.问:此杆中的感应电 动势为多大?哪一端的电势高? 建立如图坐标系,并在导体棒 AB上取线元 dl = dxi
根据电磁感应定律得到
dφ 0 d 4 dI E= = ln dt 2π 3 dt
电动势为正,说明与矩形平面法向成右手螺旋关系,即沿顺 时针.当然也可根据楞次定律来判断.
13.7 如图所示,把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感 强度为B的均匀磁场中,当导线以速率v水平向右平动时, 求导线中感应电动势的大小,哪一端电势高? 建立如图坐标系,并在导线上 Y v×B 取线元 d l ,其产生的电动势为
13.11 如图所示,在无限长直载流导线的近旁,放置一矩 形导体线框,该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右 运动,求在图示位置处,线框中感应电动势的大小和方向. 由于矩形框efgh所在平面与磁场 (长直载流直线产生的)垂直 垂直,ef与 垂直 g f 直导线平行,且做平动 平动,故知ef边 I 平动 各处的磁场都相等 相等.所以 相等 v l2 f f Iv Iv l1 d Ε ef = ∫ v × B dl = ∫ 0 dl = 0 l2 e e 2πd h e 2πd 同理 0 Iv 垂直, 垂直 Ε gh = l2 线框efghe中 E=BLv垂直 可得 总电动势为 平动 均匀 2π (d + l1 ) 平动,均匀 g f 0 Iv 0 Iv E = Eef + E gh = l2 l2 2πl1 2π (d + l1 ) Ε gh Ε ef 0 Iv 方向为 = l1l2 e h 顺时针 2πd (d + l1 )
13.9 如图所示,长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中,并绕 OO′轴以角速度ω旋转,棒与转轴间夹角恒为θ,磁感强 度B与转轴平行.求OP棒在图示位置处的电动势. B 在导体棒OP上取线元 其中产生的 dε = v × B dl 电动势为 而由图示可知,线元运动方向与磁场垂直, 二者叉乘方向与转轴垂直.所以
v×B 其中所产生的电动势为 dε = v × B dl O 根据图示, B X A dε = vBdx cos π = vBdx dx 可以得到 0 I B= 又因为 2πx 所以 B 1.1 0 I 0 Iv E AB = ∫ vBdx = ∫ v dx = ln 11 = 3.84 ×10 5V A 0.1 2πx 2π
1 l S = l R2 2 2
2
P
1 2 l 2
2
Q
穿过其中的磁通量为
φ = B S = BS cos π = Bl R 2
根据电磁感应定律得到闭合回路PQOP中的电动势为
Ε PQOP
dφ l l dB 2 = = R dt 2 2 dt
2
R 由于磁场具有轴对称性,变化时产生的 感生电场也具有相应的轴对称性:感生 O 电场线是以磁场中心轴为圆心的一系 列同心圆. P 这样,在半径QO和OP上,线元与感生 电场处处垂直,即 dε = Ek dl = Ek dl cos π ≡ 0 2 所以 于是可知
此题也可用电磁感应定律来解决.使用电磁感应 定律的前提是,要求得穿过一个面的磁通量,这 面 闭合回路.但本题中运动的半 就必然要求导体为闭合回路 闭合回路 圆形导体并不是闭合的,这时可以做辅助线 辅助线,构 辅助线 成闭合回路. P 连接OP,构成闭合回路OAPO A 由于整个回路在磁场中一起运动, 显然穿过回路所在平面的磁通量 保持不变.根据电磁感应定律有 v O dφ ΕOAPO = =0 dt 即整个回路中产生的总电动势为0.所以半圆导体产生的 电动势应与直径OP中的相等.即有 Ε OP = 2 RBv 容易判断方向从O指向P
I
f
g
v
0 Il1l2 v E= 2πd (d + l1 )
O
e dx h
X
电动势E为正,说明与回路环 绕方向一致,即顺时针方向.
13.16 如图所示,在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀 磁场,B的方向与柱的轴线平行.有一长为l的金属棒放在 磁场中,设B随时间的变化率dB/dt为常量.试证棒上的感 应电动势的大小为 2 dB l l 2 Ε= R dt 2 2 连接OP,OQ,构成闭合回路 R PQOP.易求得其面积为 O
dε = vBdl cos α = ωB sin θldl
2
(
)
Q
l sin θ
P
dl
α
θ
O
l
v×B
导体棒OP上产生的电动势为
ΕOP
P L 2
ω
1 2 = ∫ dε = ∫ ωB sin θldl = ωB(L sin θ ) O 0 2
EOP为正值,说明电动势方向由O指向P,即P端电势较高.
此问题也可用电磁感应定律来 解决.做辅助线构成OPQO闭合 回路. 由于闭合回路OPQO所在平面始终与 磁场平行(平面法向与磁场垂直),所以 φ ≡0 由电磁感应定律知,闭合回路OPQO中的 感应电动势为0.即 dφ ΕOPQO = =0 dt 即有 所以
θ = ωt = 2πft
而对闭合回路ABCA来说,辅助线AB不产生电动势.于是 得到半圆中产生的电动势即为
E = π r Bf sin( 2πft )
2 2
E π 2 r 2 Bf sin( 2πft ) I= = R R 可见电路的电流随时间做正弦变化.在图中位置时,电流 沿顺时针.感应电流的最大值为
X
0 I B= 2π ( x + d ) 2πx
0 I
向里为正向
若取矩形面元的法向也向里.则穿过面元的磁通量为
0 I 0 I dφ = B ds = d dx 2π ( x + d ) 2πx
穿过整个矩形回路的磁通量为
φ = ∫ dφ = ∫
2d
d
0 I 0 I 0 Id 3 2π ( x + d ) 2πx d dx = 2π ln 4
B A
Y
I y A
v
B
O
D
dx
C X
由电磁感应定律得到闭合回路ABCDA中的感应电动势为 dΦ I dy Iv Ε ABCDA = = 0 ln 11 = 0 ln 11 = 3.84 ×10 5V 2π 2π dt dt 由于BC,CD,DA都静止,故有 Ε AB = Ε ABCDA = 3.84 ×10 5V
(
)
I
v
EAB为负值,说明电动势方向由B指向A,即A端电势较高.
做一U字形辅助线,与AB棒构 成闭合回路ABCDA. 建立如图坐标系,并设在某时刻AB棒 的位置为y. 在闭合回路ABCDA所在平面,取面元 ds,则穿过其中的磁通量为 0 I dφ = B ds = ydx 2πx 穿过闭合回路ABCDA总的磁通量为 x I I Φ = ∫ dφ = ∫ 0 ydx = 0 ln 11 y S x 2πx 2π
(
)
利用13.10,知穿过线框efghe的磁通量为 x I I I x x +l Φ = ∫ dφ = ∫ 0 l2 dx = 0 l2 ln h = 0 l2 ln e 1 S x 2πx 2π xe 2π xe
h e
线框中的电动势为 dΦ 0 Il1l2 dxe 0 Il1l2 v E= = = dt 2πxe ( xe + l1 ) dt 2πxe ( xe + l1 ) 线框在图中位置时,有 xe = d 所以
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根据电动势的定义,可得
ε PQ
r dB = ∫ Ek dl = ∫ Ek dl cos θ = ∫ P P P 2 dt
Q Q Q 2
易知电路中的 感应电流为
I m = π 2 r 2 Bf R
13.4 有两根相距为d的无限长平行直导线.它们通以大 小相等流向相反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长. 若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内, 如图所示.求线圈中的感应电动势. 长直导线中的电流发生变 化,其周围的磁场也发生改 I 变,那么穿过矩形线圈的磁 I 通量就随时间改变,线圈中 就会产生感应电动势. 建立如图坐标系,并在x处 x x＋dx O 取宽为dx的矩形面元. 矩形面元处的磁感应强度为
dε = v × B dl
dθ
(
)
P
O′
O
θ dl
由于线元运动方向与磁场垂直,而 二者叉乘方向沿Y轴,所以得到 Y ,
dε = vBdl cos θ = vB cos θRdθ
θ
R
v X
整个半圆导体中产生的电动势为
ΕOP = ∫ dε = ∫ π vB cos θRdθ = 2 RvB
2
P
π
O
2
EOP为正,说明电动势方向从O指向P,即P端电势较高.