吴传生 经济数学 微积分 第一章1.6 PPT

5.某产品之需求函数为 Q d =20-3P,供给函数为
Qs
=5P-1,求该商品的静态均衡价格。
6.某工厂生产某产品年产量为 x 台，每台售 价为 250 元，当年产量在 600 台以内时，可 以全部售出，当年产量超过 600 台时，经广 告宣传后又可多出售 200 台，每台平均广告 费为 20 元，生产再多，本年就售不出去了。 试建立本年的销售总收入 R 与年产量 x 的关 系。
2250 100
22 . 5
五、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, R 表示平均收益，则
R R (Q ) , R R (Q ) Q
如果产品价格 P 保持不变，则
R ( Q ) PQ , R P
例
4 设某商品的需求关系是
四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
平均成本

总成本 产量

固定成本
可变成本 产量
即 C AC

C (Q ) Q

C
1
Q

C
2
(Q )
练习题答案
1.R Q Q , R ( 2 . R 0 . 11 Q
0 .4 2
1 2
)
2 9
;
, P ( 15 ) 0 . 0025 , P ( 12 ) 0 . 0034 ,
P ( 20 ) 0 . 0017 , R ( 10 ) 0 . 044 , R ( 12 ) 0 . 041 , R ( 15 ) 0 . 037 ; 3 . C C ( Q ) 200000 1000 Q ;
本之差。即
L (Q ) R (Q ) C (Q )
例 5 设 某 种 商 品 的 总 成 本 为 C ( Q ) 20 2 Q 0 . 5 Q , 若 每 售 出 一 件 该 商 品 的 收 入 是 2 0 万 元 ，求 生 产 1 0 件的总利润．
2
解
由题意知
P 20 （万元） ,
由图可见 ，曲线当 t 0 且无限增大时，
.
其无限与直线
y k 接近 ，
且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设 需 求 函 数 由 P+Q=1 给 出 ， （ 1） 求 总 收 益 函 数 P;(2)若 售 出 1/3 单 位 ， 求 其 总 收 益 。
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求
量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然
一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，
Q n T n
每次进货批量为 q
，进货周期为 t
. 假定
每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为
Q G(P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q 幂函数：
aP b , 其中 a , b 0
A
Q kP
ae
, 其中 A 0 , k 0
, 其中 A 0 , b 0
指数函Fra Baidu bibliotek：Q
bP
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
1 .4
2.某 工 厂 对 棉 花 的 需 求 函 数 由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1） 求 其 总 收 益 函 数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若 工 厂 生 产 某 种 商 品 ， 固 定 成 本 200,000 元 ， 每 生 产 一 单 位 产 品 ， 成 本 增 加 1000 元 ， 求总成本函数。
4.某 厂 生 产 一 批 元 器 件 ， 设 计 能 力 为 日 产 100 件 ， 每 日 的 固 定 成 本 为 150 元 ， 每 件 的 平 均 可 变 成 本 为 10 元 ,(1)试 求 该 厂 此 元 器 件 的 日 总 成 本 函 数 及 平 均 成 本 函 数 ;（ 2） 若 每 件 售 价 14 元 ， 试 写 出 总 收 入 函 数 ;（ 3） 试 写 出 利 润 函 数 。
250 x , 0 x 600 5 . R 250 600 ( 250 20 )( x 600 ), 600 x 800 250 600 230 200 , x 800 6 .Pe 21 8 ;
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求 总 收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
第六节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P )
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP ,
a,b 0
.
解
P 0时 Q b ,
它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
Q 0时 P b a ,
它表示价格为 时 ,
a
b
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
总收益为
R ( Q ) P Q 20 Q
所以 L ( Q ) R ( Q ) C ( Q )
20 Q ( 20 2 Q 0 . 5 Q ) 20 18 Q 0 . 5 Q
2 2
2
L ( 10 ) ( 20 18 10 0 . 5 10 ) 110 ( 万元 ).
Q
例 3 已 知 某 种 产 品 的 总 成 本 函 数 为 C ( Q ) 1000
Q 8
2
.
求 当 生 产 100 个 该 产 品 时 的 总 成 本 和 平 均 成 本 ．
解
由题意，求产量为100时的总成本
C ( 100 ) 1000 100 8
2
2250 ,
平均成本为
AC ( 100 )
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例2
设投入
x 与产出
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中 ，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
g ( x ) 间的函数关系为
a
g ( x ) cx 由于
可见，当
a
g ( 2 x ) 2 cx
a 1 时，
a
2 g( x)
a
规模报酬不变； 如果投入增加一倍，产出增
当 a 1 时，
加不到一倍，即规模报酬递减；
当 a 1 时，
如果投入增加一倍，产出增
加不止一倍，即规模报酬递增 .
4 .( 1 ) C ( X ) 150 10 X ( 元 )( 0 X 100 ); C (X ) 150 X ( 2 ) R ( X ) 14 X ( 元 （ ) 0 X 100 ） ; ( 3 ) L ( X ) 150 4 X ( 元 )( 0 X 100 )； 10 ( 0 X 100 );
2
二次曲线需求函数：
Q a bP cP
指数需求函数：
Q Ae
bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP
A
, 其中 A 0 , k 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论
P 0 时的需求量和
Q 0 时的价格