振动与波动 简谐波

称固有频率…
位相 周相 初位相

初相位
取决于时间零点的选择
简谐振动解析式
x A cos t
π dx A sin t A cos t dt 2
a A cos t π
2
d 2 a A cos t dt 2 x
2
d2 x 2 x 0 2 dt
这就是物体的运动方程，这个方程显示了物体 受力的基本特征，即在运动过程中，物体所受 力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方 向与位移方向相反，具有这种性质的力称为线 性回复力。 可以解得：
x A cos t
单摆
5

时 , sin
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 （1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0 2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s1 )t ]
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
A＇ x0 2 解
0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4 π 1 x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ]
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3

A
o
v A sin t
A 2
x
它们的相位差为
当 或 的整数倍时，这两个振动的步调完全一致， 即它们同时达到某一方向的最大值，同时过零点，这时将 这两个振动称为同相(位)。当 或 的奇数倍时，这 两个振动的步调完全相反，即一个达到正的最大值时，另 一个达到负的最大值，这时称它们为反相。
当 为其它值时，如果 振动比第一个振动在相位上超前 个振动比第二个振动在相位上滞后 , 我们说第二个 , 或者反过来说第一 。
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
由此可知：当某矢量绕其始点（即坐标原 点）以匀角速度旋转时，其末端在x轴上的投 影点的运动，是简谐振动。 初始时刻作圆周运动的矢量的矢径与x轴的 夹角就与振动的初相位相等，圆运动的角速度 和周期也分别与振动的角频率和周期相等。 由此所绘制的曲线，是矢量末端在x轴上的 投影点的位移与时间的关系曲线，称为简谐振 动曲线。
1
•质点过平衡位置向负方向运动
π t 2
同样
x0
< 0

A
A
A
A
π t π 3
A x 2
< 0
o
A
x
t π
x A
5 4
< 0
x
3 2
1
注意到：2 3 4
向负方向运动
向正方向运动
π t π 3
2π 或 3
因为 v 0
v0 tan＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
2
2 v0
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式 的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基 础。
振动的形式: 受迫振动 振动 自由振动 共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
第一节 简谐振动 一、简谐振动的描述
二、简谐振动的判据
三、简谐振动的特征物理量 四、简谐振动的旋转矢量表示 五、简谐振动的能量 六、阻尼振动与阻尼受迫振动（自学）
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
3） 方便比较不同物理量振动步调
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
o
x
T
t
T 2
四、简谐振动的旋转矢量表示

当
t 0时
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 A sin
v0 t an x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第五章
振动与波动
教学基本内容
⑴ 简谐振动的动力学方程和运动学方程, 三个 特征量, 旋转矢量。 • ⑵ 谐振动的能量。 ⑶ 同频率、振动方向相互平行和同频率、振动 方向相互垂直的谐振动的合成。 ⑷ 简谐波的概念和简谐波方程。 ⑸ 波的能量,能量密度, 能流,能流密度。 ⑹ 声波和超声波。 ⑺ 惠更斯原理, 波的干涉和衍射。
F kx m x
2
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
教学基本要求
掌握简谐振动的动力学方程和运动学方程, 三个 特征量, 旋转矢量及其应用, 理解谐振动的能量, 掌握同频率、振动方向相互平行振动的合成, 了解振动方向相互垂直的谐振动的合成。 掌握简谐波的概念和简谐波方程, 了解波的能量,能量密度,能流, 理解能流密度, 掌握惠更斯原理, 波的干涉和衍射.

A x 2
>0
3π t 2 π 或 2
>0
x0
o
x
A
8
A
6
A
7
x
t 3
A x 2 >0
678 > 0 向正向运动
讨论

相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t 2 ) (t1 )
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1

x
A
A2

a
b
π 3
tb
o
A
பைடு நூலகம்
v
t
A
0
A ta A
2

x
π 3 1 t T T 2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
曲线描述
A A
x x t 图
T
o
o
t
t
A
A
v v t 图
T
x a
A
o
2 A
A
t
A
a a t图
T
2
T
o
2
t
A
常数 A 和 的确定
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
x, , a 均是作谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系

m A am A
超前 落后
2
相位差
相位的概念还可用来比较两个简谐振动“步调”上的差 异。设有两个同频率的简谐振动，它们的振动表式分别 为
一、简谐振动的描述
弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
以弹簧谐振子为例
k
m
0
设弹簧原长为坐标原点
由牛顿第二定律 F kx ma 整理得
d x k x0 2 dt m
2
kx
x x
d2 x kx m 2 dt
k 令 m
2
d x 2 x 0 简谐振动 2 dt
前言
一、什么是振动 从狭义上说，通常把具有时间
周期性的运动称为振动。
从广义上说，任何一个物理量
在某一数值附近作周期性的变化， 都称为振动。
二、什么是机械振动 机械振动是物体在一定位置附近所作的周 期性往复的运动。
三、研究机械振动的意义 •不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动 量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从 而不同的振动有相同的描述方法。
A

以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.

t t 时
A
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )

A
转动 正向
M mgl sin mgl 2 d m gl J 2
dt
d 2 g 2 dt l
2
l
FT m
g 令 l
2
o
d 2 2 dt
P
二、简谐振动的判据 1）受力情况（弹性力）
加速度与位移成正比但与位移方向相反
2）简谐振动动力学方程
代入 x
0.04m (0.08m) cos
A cos(t ) π 3
A
π 3

x/m
0.04 0.08 π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
o
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 x 0.069 m t 1.0s 代入上式得

A
A
A
2
a
x
π 2
由图看出：速度超前位移 加速度超前速度
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
d x 2 x 0 2 dt
2
3）简谐振动运动学方程
x A cos t
三、简谐振动的特征物理量
A
x A cos t
振幅
最大位移 由初始条件决定 系统的周期性 固有的性质

圆频率 角频率 频率 2π 周期 T 1 T
t 相位
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
A
o
A
x
π t 意味 3
A x 2
x
2
< 0