振动与波动 简谐波
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)

t
x 20
m
得: u=20m/s
由 = uT = u/ ν = 20/200 = 0.1m
速度和加速度的公式如下:
v y A sin(t 2x / )
18
t
代入相应的量
v 2103 400 sin(400t 20x)
加速度为:
a v 2103 (400 )2 cos(400t 20x)
t x = 1m代入得
v 0.8 sin 400t(m / s) a 320 2 cos(400t)(m / s2 )
19
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2
X
0.2m 0.4m
y Acos(2 t 2x ) T 2
4102 cos(100t 5x
2)m
20
因为:v
y
y( x,
x) u
0
]
所以 v y y(x,t) 12.6cos(100t 5x)(m / s)
第六章
波动
1
6-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如 机械波:水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波:无线电波、光波、各种射线等,其传播无需 介质。
物质波:近代物理发现实物粒子也具有波性,即物质 波。
各种波性质不同,但又有共性。可以传递能量,可以 产生反射、折射、干涉、衍射等现象。以有限的速率 传播。
初位相不为0时:
y(x,t) Acos[(t x) ]
大学物理——第4章-振动和波

合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
振动与波动习题课

(1) B处质元的振动动能减小 处质元的振动动能减小, 则其弹性势能必增大; 则其弹性势能必增大 错 答:质元的振动动能和弹 质元的振动动能和弹 性势能是同相位的 ,同 时增大,同时减少. 时增大,同时减少.
B
o
C
x
(2) A处质元回到平衡位置的过程中 它把自己的能量 处质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能量 传给相邻的质元,其能量逐渐减小 其能量逐渐减小; 传给相邻的质元 其能量逐渐减小 错 在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大, 答:在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大,所 质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大 能量应该逐渐增大. 以A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大.
关于干涉条件的讨论
y1 = A1 cos( ω t + 10
y2 = A2 cos( ω t + 20
P点的合振动为 点的合振动为
2π r1
2π r2
λ
)
注意: 为正值! 注意:r1, r2为正值! P
r1
λ
)
S1 r2 S2
y = y1 + y2 = A cos( ω t + 0 )
2 1 2
波动学基础
教学要求
1 . 掌握平面简谐波波动方程的物理意义 掌握由质点 掌握平面简谐波波动方程的物理意义.掌握由质点 的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建 立简谐波波动方程的方法. 立简谐波波动方程的方法 2 .理解波长,周期,频率,波速等概念的含意 并掌 理解波长, 理解波长 周期,频率,波速等概念的含意,并掌 握它们之间的关系. 握它们之间的关系 3 .理解波的干涉现象 掌握波的相干条件 能运用相位 理解波的干涉现象.掌握波的相干条件 理解波的干涉现象 掌握波的相干条件.能运用相位 差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件. 差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件 4 .理解驻波的特性及其形成条件 了解驻波与行波的 理解驻波的特性及其形成条件.了解驻波与行波的 理解驻波的特性及其形成条件 区别. 区别 5 .理解波的能量传播特征以及能流,能流密度等概念 理解波的能量传播特征以及能流, 理解波的能量传播特征以及能流 能流密度等概念. 6.掌握多普勒效应 6.掌握多普勒效应
高中物理振动和波公式总结

高中物理振动和波公式总结高中物理振动和波公式1.简谐振动F=-kx {F:回复力,k:比例系数,x:位移,负号表示F的方向与x始终反向}2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l:摆长(m),g:当地重力加速度值,成立条件:摆角θ<100;l>>r}3.受迫振动频率特点:f=f驱动力4.发生共振条件:f驱动力=f固,A=max,共振的防止和应用5.机械波、横波、纵波:波就是振动的传播,通过介质传播。
在同种均匀介质中,振动的传播是匀速直线运动,这种运动,用波速V表征。
对于匀速直线运动,波速V不变(大小不变,方向不变),所以波速V是一个不变的量。
介质分子并没有随着波的传播而迁移,介质分子的永不停息的无规则的运动,是热运动,其平均速度为零。
6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中,一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}7.声波的波速(在空气中)0℃332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件:障碍物或孔的尺寸比波长小,或者相差不大9.波的干涉条件:两列波频率相同(相差恒定、振幅相页 1 第近、振动方向相同)10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动,导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近,接收频率增大,反之,减小}高中物理振动和波知识点1.简谐运动(1)定义:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动,叫做简谐运动.(2)简谐运动的特征:回复力F=-kx,加速度a=-kx/m,方向与位移方向相反,总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动,在平衡位置时,速度最大,加速度为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大.(3)描述简谐运动的物理量①位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段,是矢量,其最大值等于振幅.②振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,表示振动的强弱.③周期T和频率f:表示振动快慢的物理量,二者互为倒数关系,即T=1/f.(4)简谐运动的图像①意义:表示振动物体位移随时间变化的规律,注意振页2 第动图像不是质点的运动轨迹.②特点:简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线.③应用:可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x,判定回复力、加速度方向,判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.2.弹簧振子:周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量,与其放置的环境和放置的方式无任何关系.如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T,不管把它放在地球上、月球上还是卫星中;是水平放置、倾斜放置还是竖直放置;振幅是大还是小,它的周期就都是T.3.单摆:摆线的质量不计且不可伸长,摆球的直径比摆线的长度小得多,摆球可视为质点.单摆是一种理想化模型.(1)单摆的振动可看作简谐运动的条件是:最大摆角α<5°.(2)单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力.(3)作简谐运动的单摆的周期公式为:①在振幅很小的条件下,单摆的振动周期跟振幅无关.②单摆的振动周期跟摆球的质量无关,只与摆长L和当地的重力加速度g有关.③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离,在某些变形单摆中,摆长L应理解为等效摆长,重力加速度应理解为等效页3 第重力加速度(一般情况下,等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值).4.受迫振动(1)受迫振动:振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动.(2)受迫振动的特点:受迫振动稳定时,系统振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.(3)共振:当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时,振动物体的振幅最大,这种现象叫做共振.共振的条件:驱动力的频率等于振动系统的固有频率. .5.机械波:机械振动在介质中的传播形成机械波.(1)机械波产生的条件:①波源;②介质(2)机械波的分类①横波:质点振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波.横波有凸部(波峰)和凹部(波谷).②纵波:质点振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波.纵波有密部和疏部.[注意]气体、液体、固体都能传播纵波,但气体、液体不能传播横波.(3)机械波的特点①机械波传播的是振动形式和能量.质点只在各自的平衡位置附近振动,并不随波迁移.页 4 第②介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同.③离波源近的质点带动离波源远的质点依次振动.6.波长、波速和频率及其关系(1)波长:两个相邻的且在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.振动在一个周期里在介质中传播的距离等于一个波长.(2)波速:波的传播速率.机械波的传播速率由介质决定,与波源无关.(3)频率:波的频率始终等于波源的振动频率,与介质无关.(4)三者关系:v=λf7. ★波动图像:表示波的传播方向上,介质中的各个质点在同一时刻相对平衡位置的位移.当波源作简谐运动时,它在介质中形成简谐波,其波动图像为正弦或余弦曲线.由波的图像可获取的信息①从图像可以直接读出振幅(注意单位)②从图像可以直接读出波长(注意单位).③可求任一点在该时刻相对平衡位置的位移(包括大小和方向)④在波速方向已知(或已知波源方位)时可确定各质点在该时刻的振动方向.页 5 第⑤可以确定各质点振动的加速度方向(加速度总是指向平衡位置)高中物理学习方法听得懂高中生要积极主动地去听讲,把老师所说的每一句话都用心来听,熟记高中物理概念定义,这是“知其然”,老师讲解的过程就是“知其所以然”,听懂,才会运用。
大学物理知识总结习题答案(第八章)振动与波动

第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅,为角频率,(t+)称为谐振动的相位,t =0时的相位称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ,振动物体质量为m ,在某一时刻m 的位移为x ,振动速度为v ,则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点,除了受弹性力之外,还受到一个与速度成正比的阻尼作用,那么它将作振幅逐渐衰减的振动,也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x xx t tβω++= 其中,γ是阻尼系数,2mγβ=。
(1) 当22ωβ>时,振子的运动一个振幅随时间衰减的振动,称阻尼振动。
(2) 当22ωβ=时,不再出现振荡,称临界阻尼。
(3) 当22ωβ<时,不出现振荡,称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动,周期性外力称驱动力· 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中,2k m ω=,为振动系统的固有频率;2C m β=;F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时,振幅出现最大值,称为共振。
高中物理第七讲---振动与波动

第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1.简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述:当一质点,或一物体的质心偏离其平衡位置x ,且其所受合力F 满足(0)F kx k =->,故得2ka x x m ω=-=-,ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量:一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期:如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑,那么这个物体一定做简谐运动,而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子:恒力对弹簧振子的作用:只要m 和k 都相同,则弹簧振子的振动周期T 就是相同的,这就是说,一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统:如果在一个振动系统中有不止一个振子,那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子:如果弹簧振子是有加速度的,那么在研究振子的运动时应加上惯性力.⑸单摆及等效摆:单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动,振动的周期为2T =,在一些“异型单摆”中,l g 和的含义及值会发生变化。
〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成:假设有两个同方向的简谐振动,它们的圆频率都是ω,振幅分别为A 1和A 2,初相分别为1ϕ和2ϕ,则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的,所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上,而且等于这两个分振动位移的代数和,即12x x x =+由旋转矢量法,可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明,合振动仍是简谐振动,它的圆频率与分振动的圆频率相同,而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2.机械波:〔1〕机械波的描述:如果有一列波沿x 方向传播,振源的振动方程为y=Acos ωt ,波的传播速度为υ,那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,在此方程中有两个自变量:t 和x ,当t 不变时,这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移;当x 不变时,这个方程就是波中某一点的振动方程.〔2〕简谐波的波动方程:简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
振动和波动有什么区别和联系【精品推荐-doc】

习题五5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动,系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数,即可表示为)(t f y =;波动是振动在连续介质中的传播过程,此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动,因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ,又是时间t 的函数,即),(t x f y =.(2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ,它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律;平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量,即坐标位置x 和时间t ,它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.当谐波方程)(cos uxt A y -=ω中的坐标位置给定后,即可得到该点的振动方程,而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律,因此,其纵轴为y ,横轴为t ;波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置,随时间变化的规律,其纵轴为y ,横轴为x .每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律,即只能给出某一时刻的波形图,不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.5-2 波动方程y =A cos [ω(u x t -)+0ϕ]中的ux表示什么?如果改写为y =A cos (0ϕωω+-u x t ),u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加,但相应的[ω(ux t -)+0ϕ]的值不变,由此能从波动方程说明什么?解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间;uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相;设t 时刻的波动方程为)cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ,位置x 处的振动状态,经过t ∆后传播到t u x ∆+处.所以在)(uxt ωω-中,当t ,x 均增加时,)(uxt ωω-的值不会变化,而这正好说明了经过时间t ∆,波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离,说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波,故谓之行波方程.5-3 波在介质中传播时,为什么介质元的动能和势能具有相同的位相,而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解: 我们在讨论波动能量时,实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量.波动动能当然是指质元振动动能,其与振动速度平方成正比,波动势能则是指介质的形变势能.形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定.如果取波动方程为),(t x f y =,则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比.由波动曲线图(题5-3图)可知,在波峰,波谷处,波动动能有极小(此处振动速度为零),而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y ),所以在波峰,波谷处波动势能也为极小;在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大),而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点),当然波动势能也为最大.这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的,即具有相同的量值.题5-3图对于一个孤立的谐振动系统,是一个孤立的保守系统,机械能守恒,即振子的动能与势能之和保持为一个常数,而动能与势能在不断地转换,所以动能和势能不可能同步变化.5-4 波动方程中,坐标轴原点是否一定要选在波源处? t =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y =A cos ω(uxt -)时,波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为,所以在波动方程中,坐标原点不一定要选在波源处,同样,0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻;当波动方程写成)(cos uxt A y -=ω时,坐标原点也不一定是选在波源所在处的.因为在此处对于波源的含义已做了拓展,即在写波动方程时,我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源,只要把振动方程为已知的点选为坐标原点,即可得题示的波动方程. 5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上,描述各质点振动的什么物理量不同,什么物理量相同?解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=,则可知,在相邻两波节中的同一半波长上,描述各质点的振幅是不相同的,各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的,即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2.而在这同一半波长上,各质点的振动位相则是相同的,即以相邻两波节的介质为一段,同一段介质内各质点都有相同的振动位相,而相邻两段介质内的质点振动位相则相反.5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应,这两种情况有何区别?解: 波源向着观察者运动时,波面将被挤压,波在介质中的波长,将被压缩变短,(如题5-6图所示),因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(λ'/u )会增多,所以接收频率增高;而观察者向着波源运动时,波面形状不变,但观察者测到的波速增大,即B v u u +=',因而单位时间内通过观察者完整波的数目λu '也会增多,即接收频率也将增高.简单地说,前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高,后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率.题5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿x 轴负向传播,波长λ=1.0 m ,原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ,振幅A =0.1m ,且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动,求此平面波的波动方程.解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ,故知原点的振动初相为2π,取波动方程为])(2cos[0φλπ++=xT t A y 则有]2)12(2cos[1.0ππ++=x t y)224cos(1.0πππ++=x t m5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为y =A cos(Cx Bt -),其中A ,B ,C 为正值恒量.求:(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程;(3)任一时刻,在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差.解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较,可知:波振幅为A ,频率πυ2B=,波长Cπλ2=,波速C B u ==λυ,波动周期BT πυ21==.(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为)(212x x -=∆λπφ将d x x =-12,及Cπλ2=代入上式,即得Cd =∆φ.5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-),式中x ,y 以米计,t 以秒计.求:(1)波的波速、频率和波长;(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;(3)求x =0.2m 处质点在t =1s 时的位相,它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点?解: (1)将题给方程与标准式)22cos(x t A y λππυ-=相比,得振幅05.0=A m ,频率5=υ1-s ,波长5.0=λm ,波速5.2==λυu 1s m -⋅.(2)绳上各点的最大振速,最大加速度分别为ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅ 222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x ),在92.008.010=-=t s 时的位相,即 2.9=φπ.设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点,则825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m5-10 如题5-10图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线.(1)若波沿x 轴正向传播,该时刻O ,A ,B ,C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负向传播,上述各点的振动 位相又是多少?解: (1)波沿x 轴正向传播,则在t 时刻,有题5-10图对于O 点:∵0,0<=O O v y ,∴2πφ=O 对于A 点:∵0,=+=A A v A y ,∴0=A φ 对于B 点:∵0,0>=B B v y ,∴2πφ-=B 对于C 点:∵0,0<=C C v y ,∴23πφ-=C(取负值:表示C B A 、、点位相,应落后于O 点的位相)(2)波沿x 轴负向传播,则在t 时刻,有对于O 点:∵0,0>'='O Ov y ,∴2πφ-='O对于A 点:∵0,='+='A A v A y ,∴0='A φ对于B 点:∵0,0<'='B B v y ,∴2πφ=B 对于C 点:∵0,0>'='C Cv y ,∴23πφ='C(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相)5-11 一列平面余弦波沿x 轴正向传播,波速为5m ·s -1,波长为2m ,原点处质点的振动曲线如题5-11图所示. (1)写出波动方程;(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质点的振动曲线.解: (1)由题5-11(a)图知,1.0=A m ,且0=t 时,0,000>=v y ,∴230πφ=,又5.225===λυuHz ,则ππυω52==题5-11图(a)取 ])(cos[0φω+-=uxt A y ,则波动方程为)]235(5cos[1.0ππ+-=x t y m (2) 0=t 时的波形如题5-11(b)图题5-11图(b) 题5-11图(c)将5.0=x m 代入波动方程,得该点处的振动方程为)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0πππππ+=+⨯-=t t y m 如题5-11(c)图所示.5-12 如题5-12图所示,已知t =0时和t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ,波沿x 轴正向传播,试根据图中绘出的条件求:(1)波动方程;(2)P 点的振动方程.解: (1)由题5-12图可知,1.0=A m ,4=λm ,又,0=t 时,0,000<=v y ,∴20πφ=,而25.01==∆∆=t x u 1s m -⋅,5.042===λυu Hz ,∴ππυω==2故波动方程为]2)2(cos[1.0ππ+-=x t y m(2)将1=P x m 代入上式,即得P 点振动方程为t t y ππππcos 1.0)]22cos[(1.0=+-= m题5-12图5-13 一列机械波沿x 轴正向传播,t =0时的波形如题5-13图所示,已知波速为10 m ·s -1,波长为2m ,求:(1)波动方程;(2) P 点的振动方程及振动曲线;(3) P 点的坐标;(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间.解: 由题5-13图可知1.0=A m ,0=t 时,0,200<=v A y ,∴30πφ=,由题知2=λm ,10=u 1s m -⋅,则5210===λυuHz∴ ππυω102==(1)波动方程为]3)10(10cos[.01ππ+-=x t y m题5-13图(2)由图知,0=t 时,0,2<-=P P v A y ,∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点,故取负值)∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p(3)∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t∴解得 67.135==x m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a),则由P 点回到平衡位置应经历的位相角题5-13图(a)πππφ6523=+=∆ ∴所属最短时间为121106/5==∆=∆ππωφt s 5-14 如题5-14图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t ).(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;(2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程.解: (1)如题5-14图(a),则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b),则波动方程为题5-14图])(cos[0φω++=uxt A y (2) 如题5-14图(a),则Q 点的振动方程为])(cos[0φω+-=ubt A A Q 如题5-14图(b),则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q5-15 已知平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π(SI).(1)写出t =4.2 s 时各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何时通过原点? (2)画出t =4.2 s 时的波形曲线.解:(1)波峰位置坐标应满足ππk x t 2)24(=+ 解得 )4.8(-=k x m (,2,1,0±±=k …)所以离原点最近的波峰位置为4.0-m .∵uxt t t ωωππ+=+24 故知2=u 1s m -⋅,∴ 2.024.0=-='∆t s ,这就是说该波峰在2.0s 前通过原点,那么从计时时刻算起,则应是42.02.4=-s ,即该波峰是在4s 时通过原点的.题5-15图(2)∵2,4==u πω1s m -⋅,∴12===ωπλuuT m ,又0=x 处,2.4=t s 时,ππφ8.1642.40=⨯=A A y 8.02.44cos 0-=⨯=π又,当A y -=时,πφ17=x ,则应有πππ1728.16=+x解得 1.0=x m ,故2.4=t s 时的波形图如题5-15图所示 5-16 题5-16图中(a)表示t =0时刻的波形图,(b)表示原点(x =0)处质元的振动曲线,试求此波的波动方程,并画出x =2m 处质元的振动曲线.解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知2=T s ,2.0=A m ,且0=t 时,0,000>=v y ,故知20πφ-=,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知,该列波沿x 轴负向传播,且4=λm ,若取])(2cos[0φλπ++=xT t A y题5-16图则波动方程为]2)42(2cos[2.0ππ-+=x t y 5-17 一平面余弦波,沿直径为14cm 的圆柱形管传播,波的强度为18.0×10-3J ·m -2·s -1,频率为300 Hz ,波速为300m ·s -1,求 :(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?解: (1)∵ uw I =∴ 53106300100.18--⨯=⨯==u I w 3m J -⋅4max 102.12-⨯==w w 3m J -⋅(2) νπλπωud w d wV W 224141===7251024.9300300)14.0(41106--⨯=⨯⨯⨯⨯=πJ5-18 如题5-18图所示,1S 和2S 为两相干波源,振幅均为1A ,相距4λ,1S 较2S 位相超前2π,求:(1) 1S 外侧各点的合振幅和强度;(2) 2S 外侧各点的合振幅和强度解:(1)在1S 外侧,距离1S 为1r 的点,1S 2S 传到该P 点引起的位相差为πλλππφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∆)4(2211r r 0,0211===-=A I A A A(2)在2S 外侧.距离2S 为1r 的点,1S 2S 传到该点引起的位相差.0)4(2222=-+-=∆r r λλππφ2121114,2A A I A A A A ===+=5-19 如题5-19图所示,设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为t y π2cos 10231-⨯=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播,它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+⨯=-t y ,本题中y 以m 计,t 以s 计.设BP =0.4m ,CP =0.5m ,波速u =0.2m ·s -1,求:(1)两波传到P 点时的位相差;(2)当这两列波的振动方向相同时,P 处合振动的振幅;*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时,P 处合振动的振幅.解: (1) )(2)(12BP CP ---=∆λπϕφφ)(BP CP u --=ωπ0)4.05.0(2.02=--=ππ题5-19图(2)P 点是相长干涉,且振动方向相同,所以321104-⨯=+=A A A P m(3)若两振动方向垂直,又两分振动位相差为0,这时合振动轨迹是通过Ⅱ,Ⅳ象限的直线,所以合振幅为33122211083.210222--⨯=⨯==+=A A A A m5-20 一平面简谐波沿x 轴正向传播,如题5-20图所示.已知振幅为A ,频率为ν 波速为u .(1)若t =0时,原点O 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程;(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置.解: (1)∵0=t 时,0,000>=v y ,∴20πφ-=故波动方程为]2)(2cos[ππ--=u x t v A y m题5-20图(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将λ43=x 代入)2432πλλπ-⨯-,再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波损失,所以反射波在界面处的位相为πππλλπ-=+-⨯-2432 若仍以O 点为原点,则反射波在O 点处的位相为 ππλλπ25432-=-⨯-,因只考虑π2以内的位相角,∴反射波在O 点的位相为2π-,故反射波的波动方程为]2)(2cos[ππυ-+=u x t A y 反此时驻波方程为]2)(2cos[ππυ--=uxt A y ]2)(2cos[ππυ-++u x t A )22cos(2cos 2ππυπυ-=t u x A 故波节位置为2)12(22πλππυ+==k x u x 故 4)12(λ+=k x (,2,1,0±±=k …)根据题意,k 只能取1,0,即λλ43,41=x5-20 一驻波方程为y =0.02cos20x cos750t (SI),求:(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速;(2)相邻两波节间距离. 解: (1)取驻波方程为t uxA y πυπυ2cos 2cos 2= 故知 01.0202.0==A m7502=πυ,则πυ2750=, 202=uπυ∴ 5.37202/7502202=⨯==πππυu 1s m -⋅ (2)∵314.01.020/2====πυπυυλu m 所以相邻两波节间距离157.02==∆λx m5-22 在弦上传播的横波,它的波动方程为1y =0.1cos(13t +0.0079x ) (SI)试写出一个波动方程,使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波,并在x =0处为波节.解: 为使合成驻波在0=x 处形成波节,则要反射波在0=x 处与入射波有π的位相差,故反射波的波动方程为)0079.013cos(1.02π--=x t y5-23 两列波在一根很长的细绳上传播,它们的波动方程分别为1y =0.06cos(t x ππ4-)(SI), 2y =0.06cos(t x ππ4+)(SI).(1)试证明绳子将作驻波式振动,并求波节、波腹的位置;(2)波腹处的振幅多大?x =1.2m 处振幅多大?解: (1)它们的合成波为)4cos(06.0)4cos(06.0t x x y ππππ++-= t x ππ4cos cos 12.0=出现了变量的分离,符合驻波方程特征,故绳子在作驻波振动.令ππk x =,则k x =,k=0,±1,±2…此即波腹的位置;令2)12(ππ+=k x ,则21)12(+=k x ,,2,1,0±±=k …,此即波节的位置.(2)波腹处振幅最大,即为12.0m ;2.1=x m 处的振幅由下式决定,即097.0)2.1cos(12.0=⨯=π驻A m5-24 汽车驶过车站时,车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz 变到了1000 Hz ,设空气中声速为330m ·s -1,求汽车的速率.解: 设汽车的速度为s v ,汽车在驶近车站时,车站收到的频率为01υυs v u u-=汽车驶离车站时,车站收到的频率为02υυsv u u +=联立以上两式,得3010012001000120030021211=+-⨯=+-=υυυυυu1s m -⋅5-25 两列火车分别以72km ·h -1和54 km ·h -1的速度相向而行,第一 列火车发出一个600 Hz 的汽笛声,若声速为340 m ·s -1,求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?解: 设鸣笛火车的车速为201=v 1s m -⋅,接收鸣笛的火车车速为152=v 1s m -⋅,则两者相遇前收到的频率为66560020340153400121=⨯-+=-+=υυv u v u Hz 两车相遇之后收到的频率为54160020340153400121=⨯+-=+-=υυv u v u Hz。
第七章 振动和波动(2)

y
u
x
x = u t
O
t
t + t
x
y
O
u t + t
x y A cos[ ( t ) ] u
x
★ 波函数的物理意义
t
— 波函数既描述了波线上各质点振动状态及相位差异, 又描述了随着时间的推移,波形以波速 u 沿传播方向传播的
情况,具有完整的波动意义。
★ 简谐波具有空间和时间周期性:
2
①
t x y 1.0 cos[ 2 ( ) ] 2.0 4.0 2
(2) 将 t = 1.0 s 代入 ①式得出此时刻波形方程:
1.0 x y 1.0 cos[2 ( ) ] 1.0 cos( x ) 2.0 4.0 2 2 2 y /m u ② y 1.0 sin x 1.0 2 由②式可画出 t = 1.0 s 的波形图:
2、横波和纵波
1) 横波: 振动方向⊥传播方向的波。 2)纵波: 振动方向∥传播方向的波。
固体中的波源可以产生横波和纵波。 液体和气体中的波源只能产生纵波。 水面波既不是纵波,也不是横波。
任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。
3、波的几何描述
1) 波面 — 振动相位相同的各点连成的面(同相面)。
空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点; 时间上每隔 T 的时间波形重复一次。
★ 平面简谐波的波函数既适用于横波,也适用于纵波。
3.波沿着x轴负方向传播
y A cos [ t 2
4.波函数的复数表示
波函数
x
]
]
y A cos [ t 2
第五章 振动与波 基本知识点

o受迫振动振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
受迫振动的频率等于驱动力的频率cos()d A t ψωϕ=+tF F d ωcos 0=当驱动力的频率与系统的固有频率相等时,受迫振动振幅最大。
这种现象称为共振。
共振2)若两分振动反相(位相 相反或相差的奇数倍)x即 φ2φ1=(2k+1) (k=0,1,2,…)ox2x1T 2T合成振动3T 22T则A=|A1-A2|, 两分振动相 互减弱, 合振幅最小; 如果 A1=A2,则 A=0t11同方向不同频率简谐振动的合成1、分振动为简单起见,令A1 A2 Ay1 A cos(1t ),y2 A0 cos(2t )2、 合振动y y1 y2 1 2 1 2 y 2 A cos t t cos 2 2 合振动不是简谐振动12当1 、2很大且接近时, 2 1 2 1 令:y A(t )cos t2 1 )t 式中 A(t ) 2 A0 cos( 2 2 1 cos t cos( )t 2随t 缓慢变化 随t 快速变化合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 当频率 1 和 2 相近时,两个简谐振动的叠加,使得 合振幅时而加强、时而减弱,形成所谓拍现象。
13ψ1 t ψ2 t ψ t拍 拍: 合振动忽强忽弱的现象。
拍频 :单位时间内强弱变化的次数。
1 拍 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 14波的产生与传播1、波的产生 波:振动在媒质中的传播,形成波。
产生条件:1) 波源—振动物体; 2) 媒质—传播振动的弹性物质.2、机械波的传播机理(1) 波的传播不是媒质中质点的运输, 而是“上游” 的质点依次带动“下游”的质点振动 (2) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现——波是振动状态的传播153、机械波的传播特征 波传播的只是振动状态,媒质中各质点并未 “随波逐流”。
简谐波的波动方程求导物理意义

一、简谐波的定义和特性简谐波是指在振动过程中,物体做简谐运动时所产生的波动。
简谐波具有周期性、均匀性和单一频率等特性。
在数学上,简谐波可以用正弦函数或余弦函数来描述,通常表示为y=Acos(ωt+φ),其中A为振幅,ω为角频率,t为时间,φ为初相位。
简谐波在自然界和科学研究中具有广泛的应用,例如机械振动、光学波动、电磁波等领域。
二、简谐波的波动方程简谐波的波动方程是描述简谐波在空间中传播过程的数学表达式。
在一维情况下,简谐波的波动方程可以用如下形式表示:y(x, t) = Acos(kx - ωt + φ)其中,y(x, t)表示波动函数的取值,A表示振幅,k表示波数,ω表示角频率,φ表示初相位,x表示空间坐标,t表示时间。
波数和角频率之间的关系为k = ω/v,其中v是波的速度。
根据这个波动方程,我们可以推导出简谐波的一系列物理参数和特性。
三、简谐波的物理意义1. 波动方程的物理参数在简谐波的波动方程中,振幅A代表了波动的幅度,反映了波动的强度,其单位通常是长度。
角频率ω代表了波动的频率,是指波动每秒钟所经历的角度变化,其单位是弧度每秒。
波数k代表了波动的空间变化率,其倒数即为波长,反映了波动在空间中周期性变化的距离。
初相位φ则影响了波动的相位和起始位置。
2. 波速和波长的关系根据简谐波的波动方程,我们可以推导出波速和波长之间的关系。
由波数和角频率的定义可知,波速v等于角频率ω与波数k之间的比值,即v = ω/k。
根据这个关系式,我们可以得到简谐波的波长λ等于波速v与角频率ω之间的比值,即λ = v/ω。
这个关系说明了波长与波速、角频率之间的定量关系,有助于我们进一步理解简谐波在空间中的传播特性。
3. 波动速度和波阵面简谐波的波动方程也给出了描述波动速度和波阵面的关系。
波动速度是指波动在空间中的传播速度,它等于波数k与角频率ω之间的乘积,即v = kω。
而波阵面则是指波动在空间中的等相位面,其法向方向与波速v的方向相同,反映了波动的传播方向和速度。
第六章 振动和波

x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程,具体形状由 相位差决定。
(20 10 )
质点的运动方向与 有关。当 0 时,
质点沿顺时针方向运动;当 2 时,
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时,正椭圆退化为圆。
21
4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
Acos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t)
A cos [(t
0 )
2
x ]
2 /T u /T
也即p点的相位落后于O点相位:2x
O
y
u
x
p
这就是右行波的波方程。
x
定义 k 为角波数
k 2 T
u T
2
2 2 ; T u u 因此下述几式等价
T
27
左行波的波函数:
0 20超前10
20 10 0 20落后10
=(2n1) 反相 =2n 同相
4
1-3 简谐振动的动力学方程
• 简谐振动的动力学方程 弹性力
mx kx
U ( x) 1 kx2 2
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解:x(t)
结论
A
cos( 0 t
0
)
质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比
且反向,或质点的势能与位移(角位移)的
以横波为例说明平面简谐波的波函数。
已知O点振动表达式: y Acos(t 0 )
y表示各质点在y方向上的
位移,A是振幅,是角频
率或叫圆频率, 0为O点在
振动与波动部分

振动与波动部分基本要求: 一、振动1、掌握简谐振动振动方程并会求振动速度及加速度;2、掌握简谐振动三个特征量的物理意义及相关计算公式;3、理解物体做简谐振动的动力学特征;4、会用旋转矢量求简谐振动的初相及运动时间问题;5、掌握简谐振动的能量公式及特点;6、会计算两个简单的同方向、同频率的简谐振动的叠加,作为特例课堂上讲解N 个同方向、同频率、初相依次相差δ的简谐振动的叠加问题并记住相关结论。
二、波动1、理解平面简谐波波动方程的物理意义、掌握波函数的几种形式;2、会求平面简谐波波函数(波动方程);3、了解弹性形变及波速;4、掌握波的能量特点;5、了解惠更斯原理;6、掌握波的叠加及驻波的相关计算7、了解多普勒效应 相关习题(振动部分):一、计算题1. 一质量为10 g 的物体在x 方向作简谐振动,振幅为24 cm ,周期为4 s .当t =0时该物体位于x = 12 cm 处且向x 轴负方向运动.求:(1) 振动方程;(2) 物体从初位置到x =-12 cm 处所需的最短时间,此时物体的速度. 2.作简谐振动的小球,速度的最大值为-1max 4cm s =⋅v ,振幅为cm 2=A .若令速度具有正最大值的某时刻为计时点,求该小球运动的运动方程和最大加速度.3.已知某质点振动的初始位置为20Ax =,初始速度00>v (或说质点正向x 正向运动),周期为T ,求质点振动的振动方程.二、选择题1.在简谐振动的运动方程中,振动相位)(ϕω+t 的物理意义是[ ](A) 表征了简谐振子t 时刻所在的位置 (B) 表征了简谐振子t 时刻的振动状态(C) 给出了简谐振子t 时刻加速度的方向 (D) 给出了简谐振子t 时刻所受回复力的方向 2.如图1所示,把单摆从平衡位置拉开, 使摆线与竖直方向成 θ 角, 然后放手任其作微小的摆动.若以放手时刻为开始观察的时刻, 用余弦函数表示这一振动, 则其振动的初相位为[ ] (A) θ (B)2π 或π23(C) 0 (D) π 3.两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动.在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反.则这两个振动的相位差为[ ](A) π (B) π32 (C) π34 (D) π544.一质点作简谐振动, 振动方程为)cos(ϕω+=t A x . 则在2Tt =(T 为振动周期) 时, 质点的速度为[ ](A) ϕωsin A - (B) ϕωsin A (C) ϕωcos A - (D) ϕωcos A5.一物体作简谐振动, 其振动方程为)4πcos(+=t A x ω.则在2Tt = (T 为周期)时, 质点的加速度为[ ](A) 222ωA - (B) 222ωA (C) 223ωA - (D) 223ωA6.一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为[ ](A)6T (B) 8T (C) 12T(D) T 127 7.某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为2π3, 则该物体振动的初始状态为[ ](A) x 0 = 0 , v 0 > 0 (B) x 0 = 0 , v 0<0 (C) x 0 = 0 , v 0 = 0 (D) x 0 = -A , v 0 = 0 8.一作简谐运动质点的振动方程为π)21π2cos(5+=t x , 它从计时开始, 在运动一个周期后[ ] (A) 相位为零 (B) 速度为零 (C) 加速度为零 (D) 振动能量为零 9. 有一谐振子沿x 轴运动, 平衡位置在x = 0处, 周期为T , 振幅为A ,t = 0时刻振子过2Ax =处向x 轴正方向运动, 则其运动方程可表示为[ ] (A) )21cos(t A x ω= (B) )cos(2t A x ω= (C) )3π2sin(--=T t A x ω (D) )3π2cos(-=T t A x ω10. 已知一简谐振动系统的振幅为A , 该简谐振动动能为其最大值一半的位置是[ ](A)12A (B) 22A (C) 32A (D) A 11. 一弹簧振子作简谐振动, 其振动方程为: π)21cos(+=t A x ω.则该物体在t = 0时刻的动能与8T t = (T为周期)时刻的动能之比为 [ ]图1(A) 1:4 (B) 2:1 (C) 1:1 (D) 1:212. 一弹簧振子作简谐振动, 当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时, 其动能为振动总能量的[ ] (A)167 (B) 1615 (C) 169 (D) 1613 13.如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)433cos(73.11+=t x (cm)和 π)413cos(2+=t x (cm),则它们的合振动方程为[ c ] (A) π)433cos(73.0+=t x (cm) (B) π)413cos(73.0+=t x (cm)(C) π)1273cos(2+=t x (cm) (D) π)1253cos(2+=t x (cm) 14.下列说法正确的是[ ](A) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 81(B) 谐振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为8T (C) 谐振子从平衡位置出发经历T 121,运动的位移是A 31(D) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 41三、填空题1. 一质点沿x 轴作简谐振动,平衡位置为x 轴原点,周期为T ,振幅为A .(1) 若t = 0 时质点过x = 0处且向x 轴正方向运动,则振动方程为x = .(2) 若t = 0时质点在2Ax =处且向x 轴负方向运动,则质点方程为x = . 2. 一质点沿x 轴作简谐振动, 其振动方程为: π)31π2cos(4-=t x (cm).从t =0时刻起, 直到质点到达2-=x cm 处、且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为 .3. 一个作简谐振动的质点,其谐振动方程为π)23cos(π1052+⨯=-t x (SI).它从计时开始到第一次通过负最大位移所用的时间为 .4. 一质点作简谐振动, 频率为2 Hz .如果开始时质点处于平衡位置, 并以-1s m π⋅的速率向x 轴的负方向运动, 则该质点的振动方程为 .5. 质量为0.01 kg 的质点作简谐振动, 振幅为0.1m, 最大动能为0.02 J .如果开始时质点处于负的最大位移处, 则质点的振动方程为 .6. 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)3110sin(31+=t x cm 和)π6110sin(42-=t x cm, 则它们的合振动振幅为 .7.如图所示为两个谐振动的振动曲线。
简谐波

yO = Acos(ωt + φ0 ) x
时间推 迟方法 点O 的振动状态
Δt = u
点P
t
x u
时刻点O 的运动
t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP (t ) = y0 (t
第10章 振动和波动
Δt ) = Acos ω[(t
x u ) + φ0 ]
10-4 简谐波
大学物理教程
波函数
A y u
大学物理教程
波的能流和能流密度
能流:单位时间内垂直通过某一面积的能量.
平均能流:
u
P wuS
能流密度 ( 波的强度 ) I :
通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
udt S
第10章 振动和波动
I P S wu I 1 A2 2u
2
10-4 简谐波
大学物理教程
Acos[2π
( T
-
λ ) + φ0 ]
1)当 x = x0 固定时, 波函数表示该点的简
谐运动方程
y(
x0
)
=
Acos[ω(t
-
x0 u
)
+
φ0
]
x
x
φ( x0 ) = φ0 - ω u = φ0 - 2π λ
第10章 振动和波动
10-4 简谐波
x = x0 点的简谐振动图
yu
O
T
第10章 振动和波动
x y p = Acos[ω(t u ) + φ0 ]
第10章 振动和波动
10-4 简谐波
x
波 y = Acos[ω(t u ) + φ0 ]
振动与波知识要点

振动与波知识要点一、机械振动1、一种振动:简谐振动掌握:简谐振动的特征;一维简谐振动方程;描述简谐振动的基本物理量(振幅、周期、频率、圆频率、相位);简谐振动的能量要点:①一维简谐振动方程)cos(ϕω+=t A x →速度方程)sin(ϕωω+-==t A dtdx v (平衡位置处A v m ω=) →加速度方程x t A dt dv a 22)cos(ωϕωω-=+-== (正负最大位移处 A a m 2ω=) ②基本物理量:﹡振幅)0(>A 常量→由振动初始条件决定﹡圆频率)0(>ω常量→由振动系统本身性质决定 (弹簧振子mk =ω ;单摆l g =ω;摆杆l g 23=ω) ﹡周期、频率、圆频率关系:ωπν21==T ; ﹡相位ϕω+=Φt (反映振动状态): 初相ϕ(0=t )→常量,由振动初始条件决定;相位差=Φ-Φ=∆Φ12)(12t t -ω(用于单个物体不同时刻间状态变化分析)或相位差=Φ-Φ=∆Φ1212ϕϕ-(用于两个同频率振动相关问题分析) ③振动能量:振动总能量2222121kA A m E E E p k −−−→−=+=弹簧振子ω 动能Φ=2sin E E k ;势能Φ=2cos E E p (相位ϕω+=Φt )振动过程中,动能和势能随时间变化,变化周期是振动周期的一半,它们相互转化,总能量保持不变2、一种分析方法:旋转矢量法 (※利用旋转矢量法判断时一定要画出旋转矢量图) 掌握:应用旋转矢量法分析初相问题、相位差问题、振动合成问题 要点:①任一时刻旋转矢量相对于x 轴正向的夹角θ表征简谐运动物体此时的振动相位ϕω+=Φt ;在t =0时刻,与x 轴正向夹角0θ即表征振动初相ϕ;②任一时刻,旋转矢量端点在x 轴上投影点的位置、运动方向表征简谐运动物体此时的振动位置x 及振动方向;③旋转矢量逆时针方向匀速旋转一周,转过角度πθ2=∆,所用时间ωπ/2=∆t ,表征简谐振动物体作一次完全振动,相位变化π2=∆Φ,振动周期为ωπ/2=T ;某段时间t ∆内旋转矢量旋转过的角度θ∆即表征简谐振动物体在这段时间内的相位变化t ∆=∆=∆Φωθ.3、一种合成:两个同方向同频率简谐振动合成掌握:合振动的分析;振动相长、相消条件要点:同相{),2,1,0(2 =±=∆Φk k π}振动相长,合振幅最大21max A A A +=反相{),2,1,0()12( =+±=∆Φk k π}振动相消,合振幅最小21min A A A -=二、机械波1、平面简谐波的波动方程掌握:①波动方程的几种基本形式; ②波动方程中的物理量分析及相互联系;③波形图的分析; ④由质点振动方程推出波动方程或由波动方程推出某处质点方程的方法;⑤波线上任意两点相位差的分析要点: ①波动方程的基本形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴正向传播 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴负向传播 ②基本物理量:﹡波的振幅A 、圆频率ω、周期T (频率ν)与参与波动的各质点振动的振幅A 、圆频率ω、周期T (频率ν)相同,都仅与波源的振动及性质有关﹡波速u →由传播介质的性质决定﹡波长λ=两相邻波峰(或波谷)间距【横波】或两相邻密部(或疏部)间距【纵波】与波速u 、周期T (频率ν)间关系为 νλ/u uT == ,而ωπν21==T ﹡同一波线上坐标为x 1和x 2的两质点的振动相位差)(2)(212112x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω→沿x 轴正向传播)(2)(121212x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω →沿x 轴负向传播 ﹡初相ϕ根据x =0处质点在t =0时刻的振动状态确定③波动方程的物理意义:),(t x y﹡代入坐标x →)(t y 坐标为x 处质点的振动方程(注:初相不可化简)﹡代入时刻t →)(x y t 时刻波形(x y -曲线为波形图,判断质点振动速度方向时要注意在振动曲线图和波形图上判断方法的区别)2、波的干涉掌握:①波的干涉现象分析:a. 波的相干条件 ;b. 从相位差角度,从波程差角度分析空间任意点干涉相长和相消问题 ②驻波分析:a. 形成驻波条件; b. 驻波方程的推导;c. 波腹和波节或任意振幅位置的分析d. 半波损失现象分析,由入射波(或反射波)方程推出反射波(或入射波)方程的方法 要点:①波的相干条件:频率相同,振动方向相同,相位差恒定②波的干涉 ﹡两列相干波在叠加点所引起两分振动相位差﹡相长干涉、相消干涉问题(从相位差角度分析;从波程差角度分析)注:从波程差角度分析相长干涉、相消干涉的规律只适用于两相干波源初相相等即21ϕϕ=的情况 λϕϕϕ1212π2r r ---=∆③驻波问题﹡形成条件:相干条件,振幅相同,传播速度相同,沿同一直线相反方向传播﹡驻波方程 21y y y += (要用到2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+)各质点振动频率相同,振幅不同(波腹振幅最大为2A ,波节振幅最小为0,其余质点振幅介于0~2A 之间),相位分布遵循段内同相、邻段反相规律。
第10章 振动与波动(习题与答案)

第10章 振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征,能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程,并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法,并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件,了解驻波和行波的区别,了解半波损失。
二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力,即kx F -= 取系统的平衡位置为坐标原点,则简谐振动的动力学方程(即微分方程)为x tx 222d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦(或正弦)函数关系,即)cos(ϕ+ω=t A x由它可导出物体的振动速度 )sin(ϕ+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(ϕ+ωω-=t A a 23. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值,振幅的大小由初始条件确定,即2v ω+=2020x A4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期,单位时间内完成的振动次数γ称为频率。
周期与频率互为倒数,即ν=1T 或 T1=ν 5. 角频率(也称圆频率)ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数,它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中(ϕ+ωt )项称为相位,它决定着作谐振动的物体的状态。
t=0时的相位称为初相,它由谐振动的初始条件决定,即0x v ω-=ϕtan应该注意,由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值,须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
大学物理振动和波动知识点总结

大学物理振动和波动 知识点总结1.简谐振动的基本特征(1)简谐振动的运动学方程: cos()x A t ϖϕ=+(2)简谐振动的动力学特征:F kx =-r r 或 2220d x x d t ϖ+= (3)能量特征: 222111222k p E E E mv kx KA =+=+=, k p E E = (4)旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。
旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。
2.描述简谐振动的三个基本量(1)简谐振动的相位:t ωϕ+,它决定了t 时刻简谐振动的状态;其中:00arctan(/)v x ϕω=-(2)简谐振动的振幅:A ,它取决于振动的能量。
其中:A =(3)简谐振动的角频率:ω,它取决于振动系统本身的性质。
3.简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成:合振动的振幅:A =合振幅最大: 212,0,1,2....k k ϕϕπ-==;合振幅最小:21(21),0,1,2....k k ϕϕπ-=+=(2)不同频率同方向简谐振动的合成:当两个分振动的频率都很大,而两个频率差很小时,产生拍现象,拍频为21ννν∆=-;合振动不再是谐振动,其振动方程为21210(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+=(3)相互垂直的两个简谐振动的合成:若两个分振动的频率相同,则合成运动的轨迹一般为椭圆;若两个分振动的频率为简单的整数比,则合成运动的轨迹为李萨如图形。
(4)与振动的合成相对应,有振动的分解。
4.阻尼振动与受迫振动、共振:阻尼振动: 220220d x dx x dt dt βϖ++=;受迫振动 220022cos d x dx x f t dt dtβϖϖ++= 共振: 当驱动力的频率为某一特定值时,受迫振动的振幅将达到极大值.5.波的描述(1)机械波产生条件:波源和弹性介质(2)描述机械波的物理量:波长λ、周期T (或频率ν)和波速u ,三者之间关系为:uT λ= u λν=(3)平面简谐波的数学描述:(,)cos[()]xy x t A t uωϕ=±+; 2(,)cos()x y x t A t πωϕλ=±+;(,)cos 2()t x y x t A T πϕλ=±+ 其中,x 前面的±号由波的传播方向决定,波沿x 轴的正(负)向传播,取负(正)号。
第8章振动与波动

第八章振动与波动思考题8-1 从运动学角度看什么是简谐振动?从动力学角度看什么是简谐振动?一个物体受到一个使它返回平衡位置的力,它是否一定作简谐振动?答:从运动学角度看,物体在平衡位置附近作来回往复运动,运动变量(位移、角位移等)随时间t的变化规律可以用一个正(余)弦函数来表示,则该物体的运动就是简谐振动。
从动力学角度看,物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正比,而且方向相反,则该物体就作简谐振动。
根据简谐振动的定义可以看出,物体所受的合外力不仅要与位移方向相反,而且大小应与位移大小成正比。
所以,一个物体受到一个使它返回平衡位置的力,不一定作简谐振动。
8-2 试说明下列运动是不是简谐振动:(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动;(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动;(3)曲柄连杆机构使活塞作往复运动;(4)小磁针在地磁的南北方向附近摆动。
答:简谐振动的运动学特征是:振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正弦函数规律变化;动力学特征是:振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡位置的位移(角位移)成正比而反向;从能量角度看,物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动,所以:(1)不是简谐振动,小球始终受重力,不满足上述线性回复力特征;(2)是简谐振动,小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征;(3)不是简谐振动.活塞所受的力与位移成非线性关系,不满上述动力学特征;(4)是简谐振动,小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。
8-3 下列表述是否正确,为什么?(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力,则物体必然作振动,但不一定是简谐振动;(2)简谐振动过程是能量守恒的过程,因此,凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答:(1)正确。
当该合力的方向总是指向平衡位置,并且其大小总是正比于位移的大小时,物体所作的周期运动是简谐振动;当该合力的方向总是指向平衡位置,但合力的大小并不仅仅正比于位移的大小时,物体所作的振动就不一定是简谐振动,比如阻尼振动、受迫振动等。
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用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π (旋转矢量旋转一周所需的时间)
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
A
o
A
x
π t 意味 3
A x 2
x
2
< 0
F kx m x
2
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
(2)由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
A
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
t t 时
A
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1
x
A
A2
a
b
π 3
tb
o
A
v
t
A
0
A ta A
2
x
π 3 1 t T T 2π 6
2)对于两个同频率的简谐运动,相位差表示它 们间步调上的差异.(解决振动合成问题)
称固有频率…
位相 周相 初位相
初相位
取决于时间零点的选择
简谐振动解析式
x A cos t
π dx A sin t A cos t dt 2
a A cos t π
2
d 2 a A cos t dt 2 x
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
由此可知:当某矢量绕其始点(即坐标原 点)以匀角速度旋转时,其末端在x轴上的投 影点的运动,是简谐振动。 初始时刻作圆周运动的矢量的矢径与x轴的 夹角就与振动的初相位相等,圆运动的角速度 和周期也分别与振动的角频率和周期相等。 由此所绘制的曲线,是矢量末端在x轴上的 投影点的位移与时间的关系曲线,称为简谐振 动曲线。
它们的相位差为
当 或 的整数倍时,这两个振动的步调完全一致, 即它们同时达到某一方向的最大值,同时过零点,这时将 这两个振动称为同相(位)。当 或 的奇数倍时,这 两个振动的步调完全相反,即一个达到正的最大值时,另 一个达到负的最大值,这时称它们为反相。
当 为其它值时,如果 振动比第一个振动在相位上超前 个振动比第二个振动在相位上滞后 , 我们说第二个 , 或者反过来说第一 。
2
d2 x 2 x 0 2 dt
这就是物体的运动方程,这个方程显示了物体 受力的基本特征,即在运动过程中,物体所受 力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方 向与位移方向相反,具有这种性质的力称为线 性回复力。 可以解得:
x A cos t
单摆
5
时 , sin
一、简谐振动的描述
弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
以弹簧谐振子为例
k
m
0
设弹簧原长为坐标原点
由牛顿第二定律 F kx ma 整理得
d x k x0 2 dt m
2
kx
x x
d2 x kx m 2 dt
k 令 m
2
d x 2 x 0 简谐振动 2 dt
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式 的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基 础。
振动的形式: 受迫振动 振动 自由振动 共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动)
第一节 简谐振动 一、简谐振动的描述
二、简谐振动的判据
三、简谐振动的特征物理量 四、简谐振动的旋转矢量表示 五、简谐振动的能量 六、阻尼振动与阻尼受迫振动(自学)
1.0s
时,物体所处的位置和所受的力;
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
第五章
振动与波动
教学基本内容
⑴ 简谐振动的动力学方程和运动学方程, 三个 特征量, 旋转矢量。 • ⑵ 谐振动的能量。 ⑶ 同频率、振动方向相互平行和同频率、振动 方向相互垂直的谐振动的合成。 ⑷ 简谐波的概念和简谐波方程。 ⑸ 波的能量,能量密度, 能流,能流密度。 ⑹ 声波和超声波。 ⑺ 惠更斯原理, 波的干涉和衍射。
教学基本要求
掌握简谐振动的动力学方程和运动学方程, 三个 特征量, 旋转矢量及其应用, 理解谐振动的能量, 掌握同频率、振动方向相互平行振动的合成, 了解振动方向相互垂直的谐振动的合成。 掌握简谐波的概念和简谐波方程, 了解波的能量,能量密度,能流, 理解能流密度, 掌握惠更斯原理, 波的干涉和衍射.
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
x, , a 均是作谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
m A am A
超前 落后
2
相位差
相位的概念还可用来比较两个简谐振动“步调”上的差 异。设有两个同频率的简谐振动,它们的振动表式分别 为
0.26m s
1
(负号表示速度沿 Ox 轴负方向)
(3)如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零, 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ,求其运动方程.
A' x0 2 解
0 ,由旋转矢量图可知 ' π 4 π 1 x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ]
因为 v 0
v0 tan' 1 x0 π 3π ' 或 4 4
2
2 v0
0.0707m
o
π 4
x
A'
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动,其振 幅为 0.08 m ,周期为 4s ,起始时刻物体在 x 0.04 m 处,向 Ox 轴负方向运动(如图).试求 (1) t
1
•质点过平衡位置向负方向运动
π t 2
同样
x0
< 0
A
A
A
A
π t π 3
A x 2
< 0
o
A
x
t π
x A
5 4
< 0
x
3 2
1
注意到:2 3 4
向负方向运动
向正方向运动
π t π 3
2π 或 3
A
转动 正向
M mgl sin mgl 2 d m gl J 2
dt
d 2 g 2 dt l
2
l
FT m
g 令 l
2
o
d 2 2 dt
P
二、简谐振动的判据 1)受力情况(弹性力)
加速度与位移成正比但与位移方向相反
2)简谐振动动力学方程
d x 2 x 0 2 dt
2
3)简谐振动运动学方程
x A cos t
三、简谐振动的特征物理量Ax A cos t
振幅
最大位移 由初始条件决定 系统的周期性 固有的性质
圆频率 角频率 频率 2π 周期 T 1 T
t 相位
A
A
A
2
a
x
π 2
由图看出:速度超前位移 加速度超前速度
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
例1 如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ,物体的质量 m 20g .
(1)把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放,求简谐运动方程; A (2)求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度; (3)如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零, 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ,求其运动方程.
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
3) 方便比较不同物理量振动步调
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 (1) m 0.02kg
1
6.0s 1