2011年北约自主招生物理试卷及解析

2011年综合型大学自主招生选拔联合考试（北约）试题解析物理第一题（14分)平直铁轨上停着一节质量2=的小车厢，可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。

M m有N名组员沿着铁轨方向列队前行，另有1名组长在最后，每名组员的质量同为m。

⑴当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v跑步，每各组员在接近车厢时又以2v速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改为而恰好未追上车，试求N。

v，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个⑵组员们上车后，组长前进速度减为02水平跳下，组员离开车瞬间相对车厢速度大小同为u，结果又可使组长也能追上车。

试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？第二题( 12分)两质量为m的小球，放在劲度系数为k，原长为L的弹簧两端，自由静止释放。

设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为ρ。

（1）在两球间万有引力作用下，弹簧最大压缩量。

（2）若体系整体绕中心ω角度旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？第三题（ 16分）设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R（1）试求地球同步卫星P的轨道半径Rp（2）赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。

（2.1）设P的运动方向突然偏北转过45︒，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到P掠过城市上空。

（2.2）取消（2.1）问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105︒，再分析地判定而经当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。

（3）另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会，可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ第四题（14分）电场强度为E的足够大的匀强电场中，有一条与电场线平行的直线，如图中虚线所示，m+Q mE 直线上有两个静止的小球A 或B ，质量均为m ，A 球带电荷量+Q ，B 球不带电。

开始时两球相距L ，在电场力的作用下，A 球开始沿直线运动，并与B 球发生正碰，碰撞中A 、B 两球的总动能无损失，设在每次碰撞过程中，A 、B 两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，问：A 、B 两球发生第8次碰撞到发生第9次碰撞之间的时间间隔。

第五题（16分）如果质量相同的小球A 、B 在沿一条直线的运动过程中发生弹性正碰撞，则A 的碰后速度等于B 的碰前速度，B 的碰后速度等于A 的碰前速度。

如图所示，光滑水平绝缘大桌面取为O xy -坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B。

⑴ O xy -平面上的小球A ，质量为m ，电量为0q >，初速度方向如图所示，大小为0v ，而后A 将作匀速圆周运动，试求圆半径R 和运动周期T 。

⑵ 图中小球1A 、2A 质量同为m ，电量也同为q ，开始时分别位于y 轴上的1y 、2y （21y y >）位置，初速度方向如图所示，大小也同为0v 。

设1A 、2A 间可能发生的碰撞都是弹性正碰而且不会相互转移电荷（下同）。

要求1A 能到达2y 处，试求21y y -的所有可能取值。

⑶ 图中小球B 的质量也为m ，电量也为q ，0t =时位于x 轴上距O 稍远的1x 位置，初速度方向沿x 轴，大小也为0v 。

现给你一个质量为m ，电量为q -，初速度大小为0v 的小球*B 。

0t =时*B 的初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在12t K T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时刻()K N ∈，B 球可达到x 轴上与1x 相距尽可能远的2x （21x x >）位置，最后给出你所得的21x x -的值。

附注：解题时略去球之间的电作用力。

第六题 16分两根长为L ，质量为m ，电阻为R ，棒平行桌缘放置，桌子的侧面有一根相同的棒，用两根无电阻的光滑导线将上面的棒系在一起，空间中有匀强磁场B ，方向与桌缘垂面，与水平夹角为θ。

开始时刻将两棒静止释放。

⑴ 问理论上棒的最大速度max v 。

⑵ 当max v v <时，求机械能损耗功率1P 与电功率2P第七题 （12分）如图所示，置于空气中的等腰直角三棱镜ABC 的斜面BC 长4l ，其中BD 段长l ，棱镜材料折射率为n 。

⑴ 如图中实线所示，从D 点正入射的细光束在直角面AB 、AC 外侧均无透射光，试求n 的取值范围。

⑵ 取n 为⑴问所得最小值，略去入射光在镜内经过三次或三次以上的反射光线如图中虚线所示，对于从斜上方30︒入射到D 点的细光束，试问在直角面AB 外侧和在直角面AC 外侧是否有透射光？ 如图中虚线和在直角面AC 外侧是否有透射光？答案：一、[解析]⑴ 设组员全部上车后，车的速度为v由动量守恒：()02Nmv M Nm v =+00222Nm Nv v v M Nm N⇒==++队长恰好未能追上车，必有0v v =，即得2N =⑵ 设第一名组员离开后车速度1v ，第二名组员离开后车速度2v 由动量守恒：()()()0112M m v M m v v u +=+++m 0110444uv v u v v ⇒=+⇒=-()()122M m v Mv m v u +=++1221333uv v u v v ⇒=+⇒=-可使组长也能追上车，要求2002100111172233412u v v v v v v u v u ⎛⎫<⇒>=-=-+=- ⎪⎝⎭067u v ⇒>为了计算临界情况，取2012v v =，067u v =，得10011414u v u v =-=，102314v u v +=210132u v v v =-=，201914v u v +=()()()222221201112222E Mv m v u v u M m v ⎡⎤=++++-+⎣⎦内205198mv =二、[解析]（1）设小球半径为r 343r V m πρ= 设平衡位置相对原长移动l ∆ 则由0F ∑=：()2202Gm l k l r l ∆⋅-=+-∆ 由于l l ∆ 万有引力很弱。

∴22Gm l l k∆≈压缩到最大程度共缩2l ∆。

2222Gm l l k∆=（2）由F ma ∑=；弹簧弹力为0222()2(2)L Gm m r L r ω⋅+=+ 解得：ω=三、解析：⑴由牛顿第二定律22p pGMmm R R ω=由定义20GM gR =，2πTω=解得P R =（2.1）取地心不动的惯性参照系。

卫星运动方向偏北转过45︒，P 点就的大圆轨道绕圆心运动，A 城P 边赤道沿大圆，绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆近日方向相遇。

再经过半天，各自又转过半个大圆，近日方向相遇。

故当地居民一天能有两次机会可看到P 掠过城市上空。

（2.2）分析同（2.1），只是每经过半天，各转过半个大圆，经过半天相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会看到P 略过城市上空。

（3）由题意得B 城Q 星：34天3414B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆 64天6434B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆94天9434B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆12124444B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆天转过大圆故Q 的角速度Q ω为B （地球）的（自转）角速度B ω的三分之一，即有()333BQ Q B T T T ωω=⇒==周期 同第（1）问，得：2e GM gR =，2πQ QT ω=22Q Q QGMmm R R ω=解得：1223294πe Q gR T R ⎛⎫= ⎪⎝⎭四、[解析] 画出两球的v-t 图，发现每两次碰撞之间需要时间相同A 球加速度 Eqa m=第一次碰撞前相对速度0v ==两次碰撞过程中相对速度从0v -变化到0v所以两次碰撞之间需要时间02v t a ===五、解析：⑴ mvR qB= 2πmT qB=⑵ 参见题解图1，可得 212y y R -=或4R⑶ 参见题解图2，0t =时刻将*B 放在（1x x =，2y R =）位置，初速度方向沿x 轴，得()21221x x K R -=+六、解析：①由于v 到最大，棒的加速为0。

由牛顿第二定律 0F mg -=安 cos sin F BIl B Il B Il θ==-安2I R ε=，m m sin cos Blv Blv εθθ=-+解得 ()()m 22222221sin 2cos sin RmgRmgv B l B l θθθ==--②速度为v 时()221sin 22B l v F Rθ=-安除非保守力做功功率等于机械能损耗功率 1P F v =⋅安 ()2221sin 22B l v R θ=-电路功率2P I ε=⋅2I R =()2221sin 22B l v Rθ-=七、解析：⑴ sin 451n n ︒⇒≥⑵ 镜内射面镜面时发生全反射现象的入射角045θ=︒参考题解图，有111sin 30sin arcsin n ϕϕϕ︒==⇒=()11109018045904545θϕϕθ=︒=︒-︒-︒+=︒+>=︒⎡⎤⎣⎦取直面面AB 外侧透射光，有()211109018090909045θθθϕθ=︒--︒-︒-=︒-=︒-<⎡⎤⎣⎦ 故直面边AC 外侧有透射光。