基础巩固练习空间向量及其线性运算理

1.1.1空间向量及其线性运算(分层作业)(解析版)(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）【夯实基础】题型题型3.如图，在三棱锥O ABC-中，设,,==，则MN=AN NB BM MC===，若,2OA a OB b OC c（）A ．112263a b c+-C ．111263a b c--【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解【详解】解：MN BN BM =-112263OA OB OC =+-112263a b c =+-，故选：AA ．CAB ．AC 【答案】C【详解】如图所示，连接)()12BD BA BD BC BM +-+=故选：C.题型A ．2bEF =C ．2c a EH -=【答案】D【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.【详解】因为E ，F 分别是因为F ，G 分别是AB ，BC 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以因为2b FH FE EH =+=-+故选：D题型4空间向量共线的判定向量(),0,1a x =，()4,,2b y =A ．0B ．1【答案】C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出【详解】由题意得：a b λ=即40x y λλ=⎧⎪=⎨，解得：20x y ⎧⎪=⎪=⎨故选：C题型【答案】131222a b c-+【解析】根据底面ABCD 是正方形，)1(2BE BP BD =+，而BD BA =【详解】解：1(2BE BP BD =++12(2)a c b +-=131222a b c -+【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型题型7判定空间向量共面9.下列命题中正确的是（）A ．空间任意两个向量共面B ．向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面题型即4422λμλμ⎧⎪+=⎨⎪+=,解得1,0,2x λμ===题型A．1144a b c-+B．1122a b-+【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可【详解】BE BD DE DB=+=-+故选：AA ．111222a b c--C ．111332a b c--+【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可【详解】13EF DF DE =-=故选：B.【能力提升】一、单选题1．下列命题中是假命题的是（A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a =，则0a =D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断【详解】对于A ，零向量0的相反向量是它本身，对于B ，空间向量是有向线段，不能比较大小，对于C ，如果0a =，则a =对于D ，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故选：A.2．已知向量()1,,2a m =-，向量()3,1,b n =，满足//a b r r，则m n +=（）4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC 的重心，则GF =（）A．2-B．0【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出可得出答案.【详解】E为OC的中点，9．(多选)下列说法中正确的是（）对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选：AB.11．下列说法正确的是（）A ．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；B ．已知空间任意两向量a ，b ，则向量a ，b 共面；C ．已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++；D ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=.【答案】BD【分析】由共线向量的定义可知，向量a ，b 所在的直线可以重合，可判断A ；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B ；若空间中的三个向量a ，b ，c 共面，并不存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++，所以C 并不成立；根据向量运算法则可判断D.【详解】对于A ，若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A 错误；对于B ，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B 正确；对于C ，只有当空间的三个向量a ，b ，c 不共面时，对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C 错误；对于D ，根据向量的加法法则即可判断D 正确.三、填空题四、解答题14.已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间9个点(如图)，并且,OE kOA OF kOB ==，OH kOD =，AC AD m AB =+．EG EH mEF =+，求证：(1),,,A B C D 四点共面；(2)//AC EG ；(3)OG kOC =．(1)1AE xAD y AB z AA =++；(2)1AF xAD y AB z AA =++(3)1EF xAD y AB z AA =++【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得由此即可求出结果；所以11,0,22x y z ===-.。

1.1 空间向量及其运算(精练)(原卷版).

1.1空间向量及其运算（精练）空间向量的线性运算1．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，顶点连接的向量中，与向量AD 相等的向量共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2022·广东）在长方体1111ABCD A B C D -中，下列各式运算结果为1BD 的个数是（）①()111A D A A AB --；②()111BC BB D C +-；③()1AD AB DD --；④()1111B D A A DD --.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·河南）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 、N 分别在线段OA 、BC 上，且2OM MA =，2CN NB =，则MN 等于（）A ．121333a b c++B ．121333a b c-+C ．121333a b c+-D ．121333a b c-++4．（2022·广西桂林）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 为1AD 与1A D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则1=PC （）A ．1122a b c+-B ．1122a b c++C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．（2022·浙江金华）在四棱锥A BCD -中，,M N 分别为,AB CD 的中点，则（）A ．111222MN AD AC AB =+-B ．111222MN AD AC AB =++C ．111222MN AD AC AB =--+D ．111222MN AD AC AB =-+6．（2022·广西）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（）A ．131222a b c-+B ．111222a b c -+C ．131222a b c++D ．113222a b c-+7．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别满足2BM MC =，2DG GC =，则MG AB AD -+等于（）A ．32DBB ．4MGC ．23GMD ．23MG8．（2022·山东青岛）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量为（）A ．1122a b c-++B ．111222a b c++C ．111222a b c--D ．1122a b c--+9．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为PC ，PD 上的点，1,3CM PN ND CP ==，设,,AB a AD b AP c ===，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．121333a b c++B ．121333a b c--C ．111366a b c--+D ．211366a b c--+10．（2022·山东聊城·高二期末）如图，在空间平移ABC 到111A B C △，连接对应顶点.M 是1CC 的中点，点N 在线段1BA 上，且12BN NA =，若1MN x AB y AC z AA =++，则x y z ++=（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-11．（2022·全国·高二）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（）A ．215326a b c++B ．2536a b c++C ．121336a b c++D ．1526a b c++12．（2022·全国·高二课时练习）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11A C 的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（）A ．1111266AA AB AD ++B ．1111222AA AB AD ++C ．11122AA AB AD ++D ．1111366AA AB AD++13．（2022·湖南）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．214．（2022·海南华侨中学高二期末）在三棱锥P ABC -中，2MA PM →→=，3BN NC →→=，则（）A ．113344MN PA PB PC →→→→=-++B ．114343MN PA PB PC →→→→=--+C ．112363MN PA PB PC→→→→=-+D ．112323MN PA PB PC→→→→=-+-15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）模为5的向量是______；（2）AB 的相等向量是______；（3）1AA 的相反向量是______；（4）BC 的共线向量（平行向量）为______；（5）向量11A D ，11A B ，1CC ______（填“共面”或“不共面”）．空间向量的共线问题1．（2022云南）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对2．（2022·江苏）设,a b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB a mb =+，2BC a b =--，2DC a b =-，且,,A B D 三点共线，则实数m =______．．3．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，那么λ+m +n 的值为________.4．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．空间向量的共面问题1．（2022·江苏）A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若311488OA OB O OC P →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面2．（2022·全国·高二课时练习）已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC=++B ．111333OP OA OB OC=++C ．1122OP OA OB OC=-++D ．以上都不对3．（2022·全国·高二课时练习）已知点O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则不能与a ，b 共同构成空间向量的一组基底的向量是（）A ．OAB ．OBC ．OCD ．以上都不能4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面B ．四点P ，A ，B ，C 必共面C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面5．（2022·湖北）若空间四点M ､A ､B ､C 共面且23OA OB OC kOM ++=则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．66．（2022·江苏）已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由3OM OA OB OCλ=-+确定的点M 与,,A B C 共面，则λ的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +，b ，b c -B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，cD ．a ，a b -，c8．（2022·江苏·宝应县氾水高级中学）（多选）下列条件中，使点P 与,,A B C 三点一定共面的是（）A ．1233PC PA PB=+B ．111333OP OA OB OC=++C ．OP OA OB OC =++D ．0OP OA OB OC +++=uu u r uu r uu u r uuu r r 9．（2022·江苏·淮安市）（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A ．若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与a ，b 共面；B ．若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb =+；C ．若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+则点P ，M ，A ，B 共面；D ．若点P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+．10．（2022·辽宁·本溪市）（多选）下列命题中正确的是（）A ．若AB ∥CD ，则AB ∥CDB ．a b a b +=+是,a b 共线的必要条件C ．,,A B C 三点不共线，对空间任一点O ，若111244OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D ．若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+（,PB PC 不共线），则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件11．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）（多选）下列命题不正确的是（）A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r rB ．“a b a b -=+”是“a 、b 共线”的充要条件C ．若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行D ．对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．12（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3空间向量的数量积1．（2022·广西）如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅；（3）GF AC ⋅；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅；（6）GE GF ⋅．2．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用a ，b ，c 表示向量MN ；（2）若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．3．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =，且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.（1）求1B D 的长；（2）求1CD 与1B D 夹角的余弦值.4．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，112AB AD AA ===，，60BAD ︒∠=，1A A 与AB 、AD 的夹角都为60︒求：（1）1AC 的长；（2）1BD 与AC 所成的角的余弦值．5．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校）平行六面体ABCD A B C D ''''-，(1)若4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，求AC '长；(2)若以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC 与BD '所成角的余弦值．6．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=︒，点M ，N 分别在1AC 和BC 上，且满足113AM AC =，13BN BC =.(1)证明：MN ∥平面11ABB A ；(2)若O 为1BC 中点，求AO 的长.空间向量的概念辨析1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量AB和CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线C．在空间中，任意两个单位向量都相等D．零向量与任意向量平行2．（2022·江苏）（多选）下列命题中为真命题的是（）A．向量AB与BA的长度相等B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量3．（2022·江苏）(多选)下列命题中，真命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等4．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）下列命题中正确的是（）.A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若A、B、C、D四点不共线，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DCD ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件5．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．任一空间向量与它的相反向量都不相等B ．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D ．不相等的两个空间向量的模必不相等6．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（）①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD 与1BC 是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB 与CD 是相反向量；⑤在三棱柱111ABC A B C -中，与1AA 的模一定相等的向量一共有3个A ．2B ．3C ．4D ．57.（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：①若a 与b 平行，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 所在的直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a 、b 、c 两两共面，则a 、b 、c 一定也共面；④若a 与b 是平面α上互不平行的向量，点A αÏ，点B α∉，则AB 与a 、b 一定不共面．其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·全国·高二）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则,AB CD 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则,,AB AC AD 不共面9．（2022·全国·高二单元测试）在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c一定也共面；a b c两两共面，则三个向量,,④已知三个向量,,=++.a b c，则空间任意一个向量p总可以表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3 10．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（）.A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量AB与CD满足0AB DAB CD+=，则//CD．若//a b，则存在唯一的实数λ，使a bλ=。

2020学年高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算应用案巩固提升人教B版选修2_1

3.1.1 空间向量的线性运算[A 基础达标]1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则有m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C ．当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，所以AC →＝A 1C 1→，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →解析：选B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故A 不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B 正确；空间向量的减法不满足结合律，故C 不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故D 不正确．故选B ．3．a ，b 为空间两个任意向量，若命题p ：|a |≠|b |，命题q ：a ≠b ，则p 是q 的________条件．( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要解析：选A ．|a |≠|b |⇒a ≠b ，反推不成立，故选A ．4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形解析：选A ．由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →，所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线，所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．5．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC |，则( ) A ．AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C ．AC →与BC →同向 D ．AC →与CB →同向解析：选D ．由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．6．如图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量；AB →与B ′A ′→是________向量．答案：相等相反7．化简：12(a ＋2b －3c )＋5(23a －12b ＋23c )－3(a －2b ＋c )＝________．解析：原式＝(12＋5×23－3)a ＋(12×2－5×12＋3×2)b ＋(－3×12＋5×23－3)c＝56a ＋92b －76c . 答案：56a ＋92b －76c8．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________(用a ，b ，c表示)．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c . 答案：－a ＋b －c9．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →.解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. (2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→，所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选A ．①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝BD →－2BB 1→＝(BD →－BB 1→)－BB 1→＝B 1D →－BB 1→＝B 1D →＋B 1B →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→－B 1B →＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.所以正确的结果为①②.12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________．解析：MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋12AA 1→13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解：因为AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝－32.14．(选做题)如图所示，已知几何体ABCD A 1B 1C 1D 1是平行六面体． (1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA 1→，求α，β，γ的值．解：(1)如图，取DD 1的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH ＝23DC ，连接AH ，则12AA 1→＋BC →＋23AB →＝AH →.(2)因为M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，所以MN →＝MB →＋BN→＝12DB →＋34BC 1→＝12(AB →－AD →)＋34(AA 1→＋AD →)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→，所以α＝12，β＝14，γ＝34.。

1.1.1空间向量及其线性运算(基础知识+基本题型)(含解析)(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.1空间向量及其线性运算（基础知识+基本题型）知识点一空间向量及其有关概念 1．空间向量的概念及表示方法（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等．（2）表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：一种是用有向线段AB 来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；另一种是用,,a b c 表示．如图3.11-所示，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB2．零向量与单位向量长度为0的向量叫做零向量，记为0．当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =．模为1的向量称为单位向量，非零向量a 的单位向量为a a或a a-．3．相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -．拓展(1)在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立． (2)和平面向量一样，空间向量也不能比较大小．（3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同．知识点二空间向量的加减运算量空间向量的位置已知空间向量,a b ，可以把它们平移到同一平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA a =，OB b =空间向量的加法运算作向量AC b =，则向量OC 叫做向量,a b 的和．记作a b +，即OC AC a b ==+空间向量的减法运算向量BA 叫做a 与b 的差，记作a b -，即BA OA OB a b =-=-空间向量的加法运算律加法交换律a b b a +=+加法结合律()a b c a b c ++=++对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的．（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算．（2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；a b -表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．知识点三空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2．数乘向量a λ与向量a 的关系λ的范围a λ的方向 a λ的模0λ> a λ与向量a 的方向相同||||||a a λλ=0λ=0a λ=，其方向是任意的 0λ<a λ与向量a 的方向相反3．空间向量的数乘运算满足的运算律（1）分配律：()a b a b λλλ+=+；（2）结合律：()()a a λμλμ=．可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算：（1）可以把向量a 的模扩大（当||1λ>时），也可缩小（当||1λ<时）；可以不改变向量a 的方向（当0λ>时），也可以改变向量a 的方向（当0λ<时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当0λ=时，0a λ=；当0λ≠时，若0a =，则0a λ=．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，a λ+，a λ-没有意义，无法运算．知识点四空间向量的共线问题 1．共线（平行）向量的定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若a 与b 是共线向量，则记为//a b ．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如//,//a b b c ，那么//a c 不一定成立，因为当0b =时，虽然//,//a b b c ，但a 不一定与c 共线． 2．向量共线的充要条件对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．对此充要条件的理解，应从以下几个方面正确把握：（1）在此充要条件中，要特别注意0b ≠，若不加0b ≠，则该充要性不一定成立，例如，若0,0a b ≠=则//a b ，但λ不存在，该充要性也就不成立了．（2）该充要条件包含两个命题：①//a b ⇒存在唯一的实数λ，使a b λ=； ②存在唯一的实数λ，使//a b a b λ=⇒．（3）向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据，但必须在a （或b ）上有一点不在b （或a ）上． 3．空间直线的向量表示如图3．1-14，为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线上的充要条件是存在实数，使OP OA ta =+．①其中向量a 叫做直线的方向向量．在上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+．②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线可由空间一点及直线的方向向量唯一确定．拓展（1）三点共线问题，可以转化为以这三点组成的两向量共线问题，利用两向量共线的充要条件来解决．（2）对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA OB αβ=+，其中1αβ+= 知识点五空间向量的共面问题 1．共面向量的定义平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb =+，对于向量共面的充要条件，还应注意以下几点：（1）该充要性中，a 与b 是不共线的，若a 与b 共线，则不成立．（2）设非零向量,,a b c 所在的直线分别为,,a b c ，则有//a 平面a ⇒//a 平面α或a ⊂平面α；,,a b c 三线共面⇒,,a b c 共面，反之不成立．（3）向量共面不具有传递性． 3．空间共面向量的表示如图3．1-15，（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB y AC =+．（2）对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．拓展（1）,p xa yb AP xAB y AC =+=+，OP OA xAB y AC =++三式是等价的，即实质一样，只是形式上不同．（2）对于空间任意一点O ，四点,,,P M A B 共面（其中,,M A B 不共线）的充要条件是OP xOM yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．考点一空间向量及有关概念例题1 给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量没有方向；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（） A ．①②③ B ． ⑤ C ．④⑤ D ． ①⑤ 答案：B解析：对于①，空间中人以单位向量的模为1．单方向不一定相同，所以不一定相等，故①错误，对于②长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错误；对于③向量不能比较大小的，故③错误；对于④，零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，故⑤正确．总结（1）两向量相等的条件是方向相同，大小相等．（2）两相反向量不仅满足两方向相反，而且满足长度相等．（3）向量与有向线段之间的区别和联系：向量是借助于有向线段表示的；向量只要具备大小与方向即可，而有向线段的三要素是起点、方向、大小．例2 如图所示，已知1111ABCD A B C D -为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BB 相等的向量；（2）与1BC 相反的向量；（3）与1BA 平行的向量．分析：根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，连接1AD ,因为11//D C AB ,所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ,这样就可以写出与1BC 相反的向量，连接1CD ,用类似方法可写出与1BA 平行的向量．解：（1）与1BB 相等的向量为111,,AA CC DD ．（2）与1BC 相反的向量为11,C B D A ．（3）与1BA 平行的向量为111,,A B CD D C ．总结：空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、向量相等、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展到空间向量的相关概念．考点二空间向量的线性运算例3 如图3.15-，在长方体1111ABCD A B C D -中，下列各式运算结果为1AC 的有（）①()1AB BC CC ++; ②()1AB BC DD ++;③()1AB AD CC ++; ④()1AB AD DD ++;⑤()111AB AA A D ++;⑥()1AB AD AA ++． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个解析：根据空间向量的加法法则以及长方体的性质，逐一进行判断． ①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=；②()111AB BC DD AC CC AC ++=+=； ③111()()AB AD CC AB BC CC AC ++=++=； ④111()()AB AD DD AB BC CC AC ++=++=； ⑤1111111()()AB AA A D AB BB B C AC ++=++=； ⑥111()AB AD AA AC CC AC ++=+=．答案：D例4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为其中心．（1）化简111AB CC B D ++；（2）若11110AA x BC C D D A ++++=，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）解：（1）111111AB CC B D AB BB B D ++=++ 1111AB B D AD =+=，（2）因为1111,BC B C D A DA ==，所以1111AA x BC C D D A ++++ 11110AA x B C C D DA =++++=．所以110AA x B A ++=，所以11x A B =．又因为1111A B AB DC D C ===，所以x 可以是1111,,,A B AB DC D C 中的任一个．考点三空间向量的共线问题例5．已知,,A B P 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OP OA OB αβ=+，求证：1αβ+=．证明：由,,A B P 三点共线，得AP t AB =，即()OP OA t OB OA -=-．整理，得(1)OP t OA tOB =-+．又因为OP OA OB αβ=+，所以1,t t αβ=-=．所以1αβ+=．例6．如图3．1-18所示，在空间四边形ABCD 中，E H 、分别是边,AB AD 的中点，,F G 分别是边,CB CD上的点，且22,33CF CB CG CD ==．求证：四边形EFGH 是梯形．证明：因为E ，H 分别是边,AB AD 的中点，所以11,22AE AB AH AD ==． 1111113333()()()()2222222244EH AH AE AD AB AD AB BD CD CB CG CF CG CF FG =-=-=-==-=-=-=．所以//EH FG ，且3||||||4EH FG FG =≠．又因为点F 不在EH 上，所以四边形EFGH 为梯形．判断非零向量,a b 共线的方法有两种：（1）定义法：证明,a b 所在直线平行或重合．（2）利用“//a xb a b =⇒”判断：,a b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a xb =，从而得//a b ，即a 与b 共线．考点四空间向量的共面问题例7．已知,,A B C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足111333OM OA OB OC =++．（1）判断,,MA MB MC 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内．解：（1）因为3OA OB OC OM ++=．所以()()OA OM OM OB OM OC BM CM -=-+-=+．所以MA BM CM MB MC =+=--．故向量,,MA MB MC 共面．（2）由（1），知向量,,MA MB MC 共面．而它们有共同的起点M ，且,,A B C 三点不共线，故点,,,M A B C 共面，即点M 在平面ABC 内．考点五有关参数的求值问题例8．如图3．1-20，已知正四棱锥P ABCD -，点O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点．（1）若OQ PQ xPC yPA =++，求,x y 的值；（2）若PA mPO nPQ PD =++，求,m n 的值．解:(1)因为OQ PQ PO =-=1()2PQ PA PC -+=1122PQ PA PC --，所以12x y ==-.(2)因为O 为AC 中点，Q 为CD 中点，所以2,2PA PC PO PC PD PQ +=+= 所以2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，所以22PA PO PQ PD =-+ 所以2,2m n ==-.例9如图，H 为四棱锥P ABCD -的棱PC 的三等分点，且12PH HC =.点G 在AH 上，AG mAH =，四边形ABCD 为平行四边形．若,,,G B P D 四点共面，求实数m 的值．解：如图，连接,BD BG因为 AB PB PA =- ，且AB CD =，所以 DC PB PA =-．因为PC PD DC =+．所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++，因为12PH HC = 所以()1133PH PC PA PB PD ==-++．又因为AH PH PA =-．所以411333AH PA PB PD =++．因为AG m AH =，所以4333m m mBG mAH PA PB PD ==-++．因为BG AB AG PA PB AG =-+=-+，所以14)1333(m m m PA B PB PD G ⎛⎫+-+ ⎪=-⎝⎭．又因为B ，G ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，得34m =．。

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二空间向量的线性运算空间向加法a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB→量的线性运算减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →；当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c)＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .考点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【题型归纳】题型一：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11=AC AC ；③a b =是向量a b =的必要不充分条件；④若空间向量,,m n p 满足,∥∥m n n p ，则∥m p ．其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．02．给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量没有方向；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤3．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，若DA a =，DC b =，1DD c =，则MN =（）A ．()12c b a +-B ．()12a b c +-C ．()12a c -D ．()12c a -5．空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅=（）A ．12B ．1C ．2D ．226．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．12a -2132b c+B ．-211322a b c++C ．12a 12b +-23cD ．2233a b +-12c题型三：空间两个向量共线的有关问题7．已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）.A ．A ､B ､DB ．A ､B ､CC ．B ､C ､DD ．A ､C ､D8．已知空间中两条不同的直线,m n ，其方向向量分别为,a b →→，则“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的（）A ．.充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中正确的是（）.A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//C B D A D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a bλ=题型四：空间共面向量定理10．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OCM OA =-+C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OCA =--11．下列结论错误的是（）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ､b 是两个不共线的向量，且c a b λμ=+r r r(R λμ∈、且0λμ⋅≠)，则{}a b c ，，构成空间的一个基底D ．若OA ､OB ､OC 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面12．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c r v v 两两共面，则向量,,a b c rv v 共面；④已知空间的三个向量,,a b c rv v ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++u r rv v ．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【双基达标】一、单选题13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①()1AB BC CC ++；②()11111AA A D D C ++；③()111AB BB B C ++；④()11111AA A B B C ++.其中运算的结果为向量1AC uuu r的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．①若A ､B ､C ､D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b a b -=+是a ､b 共线的充要条件；③若a ､b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ､B ､C ，若OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r（其中x ､y ､z ∈R ），则P ､A ､B ､C 四点共面.其中不正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝m OA ＋n OB ，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113AP AB AA λ=+（[]0,1λ∈）若平面//BDP 平面11B CD ，则实数λ的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．2317．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a →=，AD b →=r ，AA c →'=，则下列与向量A C →'相等的表达式是（）A ．a b c -++B ．a b c--+C ．a b c --D ．a b c+-r r r 18．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =（）A ．111222OB OC OA+-B ．111222OA OC OB--C ．111222OB OC OA++D ．111222OA OC OB+-19．已知空间四边形ABCD 中，AB a =，CB b =，AD c =uuu r r，则CD 等于（）A ．a b c +-B ．a b c --+C ．a b c -++D ．a b c-+-20．下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OB 上，且3OM MB =，N 为AC 的中点，则NM =（）A ．131242a b c-+-B ．121232a b c-++C ．131242a b c++D ．121232a b c-+22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r点P 在1AC 上，且1:2:3A P PC =，则AP =（）．A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．223555a b c-++D ．322555a b c--【高分突破】一：单选题23．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．224．已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114AE A C =，若1()AE x AA y AB AD =++，则（）A ．1x =，12y =B ．12x =，y =1C ．1x =，13y =D ．1x =，14y =25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =．设AB a =，AD b =，1AA c =，则MN =A ．111333a b c-++B ．1133a b c+-C ．112333a b c--D ．1133a b c-++26．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（）A ．712B ．13C ．512D ．1227．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，且1AM x AA y AD z AB =-+，则,,x y z 的值分别为（）A ．12，1，12-B ．12，1-，12-C ．12-，1，12D ．12，1-，1228．已知点P 为三棱O -ABC 的底面ABC 所在平面内的一点，且()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，则m n ，的值可能为（）A ．112m n ==-，B ．112m n ==，C ．112m n =-=-，D ．312m n =-=-，29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，设1,,AB a AA c BC b ===，则下列向量与BM 相等的是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122a b c-+30．空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC AD =--，则实数x的值为()A ．13B ．13-C ．23D ．23-31．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c-+D ．1122a b c--+32．如图，在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-D ．221332a b c+-二、多选题33．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．1122OM b c =-B ．1133AN b c a=+-C ．113444AP b c a=--D ．111444OP a b c=++34．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量35．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有A ．AB BC CD++B ．11111AA B C D C ++C ．111AB C C B C -+D ．111AA DC B C ++36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（）A ．2OM OA OB OC=--B ．OM OA OB OC =+-C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++三、填空题37．如果两个向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是___________.38．已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．39．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32DE －AD 化简的结果为________.40．已知点M 在平面ABC 内，并且对不在平面ABC 内的任意一点O ，都有1133AM xOA OB OC =++，则x 的值为_______．41．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP =_______．四、解答题42．在空间四边形ABCD 中，连结AC ､BD ，BCD 的重心为G ，化简1322AB BC DG AD +--.43．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB B C C C ++；（3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．44．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.45．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===，,,0,0AC AD m AB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案详解】1．B【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC=，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当n 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则,m n 不一定平行．故选B ．2．B【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．综上，正确的命题只有⑤，故选：B .3．D【详解】A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.4．D【详解】因为点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，DA a =，DC b =，1DD c =，所以11MN MB BB B N=++111111 22A B BB B D =++()()111122A A AB BB BC CD =++++()()1122c b c a b =-+++--()12c a =-故选:D.5．A【详解】空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，所以四边形ABCD 构成的四面体ABCD 是正四面体，四个面是等边三角形，因为E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，所以//AC FG ，1//2AC FG ，()1122GE GB BE BC BD BA =+=-++，12GF CA =，所以()()1144GE GF BC BD BA CA BC CA BD CA BA CA ⋅=-+-⋅=-⋅+⋅-⋅()14BC CA BD BA BC BA CA ⎡⎤=-⋅+⋅--⋅⎣⎦()14BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅()1cos120cos 60cos 60cos 604BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅1111112222422222⎛⎫=--⨯+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.6．B解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++.故选：B.7．A【详解】因为242BD BC CD a b AB =+=+=，所以//BD AB ，又,BD AB 有公共点B ，所以A ､B ､D 三点共线，故选项A 正确；显然,AB BC 不共线，所以A 、B 、C 三点不共线，故选项B 错误；显然,BC CD 不共线，所以B 、C 、D 三点不共线，故选项C 错误；因为48AC AB BC a b =+=-+，所以,AC CD 不共线，从而A 、C 、D 三点不共线，故选项D 错误.故选：A.8．B【详解】由,R a b λλ→→∀∈≠可知，a 与b 不共线，所以两条不同的直线,m n 不平行，可能相交，也可能异面，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”不是“直线,m n 相交”的充分条件；由两条不同的直线,m n 相交可知，a 与b 不共线，所以,R a b λλ→→∀∈≠，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要条件，综上所述：“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要不充分条件.故选：B.9．CA 中，若0b =，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故//C B D A 正确；D 中，若0b =，0a ≠，则不存在λ，使a b λ=.故选：C10．B【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面.对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面.故选：B.11．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵满足c a b λμ=+r r r ，∴a ，b ，c 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA ､OB ､OC 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .12．A【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故④错．故选:A ．13．D【详解】①：()111AB BC CC AC CC AC ++=+=，故①正确；②：()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=，故②正确；③：()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=，故③正确；④：()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=，故④正确.所以4个式子的运算结果都是1AC ，故选：D.14．C【详解】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a ､b 同向时，应有a b a b +=+，故错误；③中a ､b 所在直线可能重合，故错误；④中需满足1x y z ++=，才有P ､A ､B ､C 四点共面，故错误.故选：C15．A【详解】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋n OB →，即OP OA →→-＝n (OB OA →→-)，即AP n AB →→=，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .故选：A16．D【详解】如下图，由正方体性质知：面11//B CD 面1BDA ，要使面//BDP 面11B CD，∴P 在面1BDA 上，即1,,P B A 共面，又113AP AB AA λ=+，[]0,1λ∈，∴113λ+=，可得23λ=.故选：D17．D【详解】由题意：A C A A AB BC AA AB AD c a b a b c→→→→→→→'''=++=-++=-++=+-故选：D.18．A【详解】在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC OA OB OC OA ∴=+=++=+-+-=++-=+-故选：A ．19．C【详解】由向量的运算法则，可得CD CB BA AD CB AB AD a b c =++=-+=-++.故选：C.20．C【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误.由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C21．A 【详解】()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-.故选：A22．B【详解】因为1:2:3A P PC =，可得1125A P A C =，根据空间向量的运算法则，可得111125AP AA A P AA A C =+=+112()5AA AC AA =+-1111323232322()()555555555AA AC AA AB BC AA AB AD AA AB BC =+=++=++==++，又由1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r ，所以322555AP a b c =++.故选：B.23．B【详解】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE=++=++=++-，所以2AE AB BC AP =++，所以111222AE AB BC AP =++，所以111,2,3222x y z ===，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.24．D【详解】由空间向量的运算法则，可得11111111()44AE AA A E AA AC AA AB AD =+=+=++，因为1()AE x AA y AB AD =++，所以11,4x y ==.故选：D.25．A【详解】解：因为M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =，所以13AM AC =，1123A N A D =，在平行六面体1111ABCD ABCD -中，AB a =，AD b =，1AA c =，所以AC a b =+u u u r r r ，1A D b c =-，所以11111233MN MA AA A N AC AA A D =++=-++12()()33a b c b c =-+++-111333a b c =-++，故选：A ．26．A因为M ，A ，B ，C 共面，则11146λ++=，得712λ=.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.27．D【详解】如图，在正方体中，AM AB BC CM =++，BC AD =，()()111122CM CD CC AB AA =+=-+，所以()112AM AB AD AB AA =++-+11122AB AD AA =++,所以12x =，1y =-，12z =故选：D28．C 【详解】()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，且P ，A ，B ，C 共面，∴11122m n m n +-=⇒-=，只有1 12m n =-=-，符合，故选：C.29．A【详解】因为1,,AB a AA c BC b ===，如图，依题意，有()11111111111122BM BA AA A M BA AA A C BA AA B C B A =++=++=++-()111111122222BA AA BC BA AB BC AA a b c =++-=-++=-++．故选：A30．C【详解】因为空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，则AB m AC n AD =+，又点P 为该平面外一点，则()PA PB m PC PA nAD -=-+，所以(1)m PA PB mPC nAD +=++，又5133PA PB xPC AD =--，由平面向量的基本定理得：513x -=，即23x =，故选：C ．31．A 如图，由空间向量的线性运算可得：()1111111111111222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-，()111222c b a a b c =+-=-++，故选：A32．B【详解】由题，在空间四边形OAB ，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则1122ON c b =+．所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选：B【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.33．BD【详解】由已知得，23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，分析各个选项：对于A ，利用向量的四边形法则，11112222OM OB OC b c =+=+，A 错；对于B ，利用向量的四边形法则和三角形法则，得23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，B 对；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且3AP PN =，所以，411333AN AP b c a ==+-，所以，311114333444AP b c a b c a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 错；对于D ，113444OP OA AP a b c a =+=++-111444a b c =++，D 对故选：BD34．ACD∵O 为正方体的中心，∴1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+，同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∴A 、C 正确；∵OB OC CB -=uu u r uuu r uu r ，1111OA O A D D =-，∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∴B 不正确；∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-，∴()11OA OA OC OC -=--，∴D 正确.故选：ACD35．BCD【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA AD DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确；D ．111111111AA DC BC AA AB BC AC ++=++=，故正确.故选：BCD.36．BD【详解】当MA m MB n MC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面，所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++，所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=，由上可知：BD 满足要求.故选：BD.37．由空间向量共面定理可得，若向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.故答案为：存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.38．±1【详解】若12ke e +与12e ke +共线，则()1212ke e e ke λ+=+因为非零向量1e ，2e 不共线，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，即21k =，所以1k =±，故答案为：±139．0【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF 必经过点E ，则32DF DE =，∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.故答案为：0.40．23-由题设，1133AM OM OA xOA OB OC =-=++，∴11(1)33OM x OA OB OC =+++，又,,,A B C M 共面，∴111133x +++=，可得23x =-.故答案为：23-41．111444OA OB OC ++【详解】由题意OP ()33132132=444434432OB OC OA AN OA ON OA OA OM OA ++=+-=+⨯=+⨯⨯=111444OA OB OC ++故答案为：111444OA OB OC ++42．0【详解】设E 为BC 的中点，则12BC BE =，又G 为BCD △的重心，则32DG DE =，所以()()130.22AB BC DG AD AB BE DE AD AB BE AD DE AE AE +--=+--=+-+=-=43．（1）11AB BA AA +=．（2）111111111AB B C C C A B B C C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．44．设1,,AB a AD b AA c ===，∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F A C =，而11A D AD b ==∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-.∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--,∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线.45．证明：（1）,0AC AD m AB m =+≠，∴A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∴E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD km AB k AD m AB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.。

空间向量及其运算知识点及练习题

空间向量及其运算知识点及练习题1．空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2．共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a ≠0，b ≠0) . 基础练习：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件．( × )2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1答案 C解析如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 解析设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直于a ，b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.5．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 典型例题：题型一空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.题型二共线定理、空间向量基本定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪对于(1)只要证出向量EG →＝EF →＋EH →即可；对于(2)只要证出BD →与EH →共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示．证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ，BD 平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0)． (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．答案平行解析取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1，且EF平面A 1B 1CD ，DB 1平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a |2＝a ·a 可以求线段长；利用cos θ＝a ·b|a ||b |可求两条直线所成的角．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →. 即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)解由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)] ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2 ＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.易失分点：********“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．易错分析将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a ·b 方向相同或相反．解析由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2，或x ＝1当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3. 答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例.******方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1，6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点． ∴AB ∥CD .2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.4．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是( )A ．共线B ．共面C ．不共面D ．无法确定答案 C解析 ∵AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)．假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ，使AD →＝xAB →＋yAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②－4x －5y ＝－4， ③由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾． ∴假设不成立，故四点不共面．5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.22答案 A解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|b |＝|c |，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，BC →＝c －b ，∴OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝|a ||c |cos π3－|a ||b |cos π3＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题6．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案 60°解析由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 8．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于________．答案 12解析因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以|PC →|＝12.三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?解 (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4，∴E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，∴OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又∵b ＝(－2,1,1)，OE →⊥b ，∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，∴λ＝95，∴E (－65，－145，25)，∴在直线AB 上存在点E (－65，－145，25)，使OE →⊥b .10．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能答案 B解析由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .2．以下命题中，正确的命题个数为 ( ) ①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析由共线向量知a 与b 所在直线可能重合知①错；若a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数x ，y ，使a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )＝y a ＋x b ＋(x ＋y )c ，∵a ，b ，c 不共面，∴y ＝1，x ＝1，x ＋y ＝0，∴x ，y 无解，∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能构成空间的一个基底，∴②正确；由向量相等的定义知③正确；由共面向量定理的推论知，当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，∴④不正确．故选B.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．答案 25解析以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，∴M (1，12，1)，N (1,1，12)， ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN→|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12× 12＋(12)2＝25.4．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．5．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高一数学下第5章空间向量及其运算解析及答案

高一数学下第5章《空间向量及其运算》解析及答案巩固基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是:存在唯一的实数对x 、y,使p =x a +y b .3.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序数组x 、y 、z,使p =x a +y b +z c .{a,b,c }叫做空间的一个基底,a 、b 、c 叫做基向量,(x,y,z)叫做p 关于基底{a,b,c }的坐标.4.把|a||b|cos 〈a,b 〉叫做向量a 、b 的数量积,记作a·b ,即a·b =|a|·|b|cos 〈a,b 〉,其性质有:(1)a ⊥b ⇔a ·b =0;(2)cos 〈a,b 〉=||||b a ba ∙(a 、b 均为非零向量); (3)a 2=a ·a =|a |2; (4)|a ·b |≤|a |·|b |.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有( ) a+b·c a·(b·c) a(b·c) |a·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析:根据数量积的定义，b·c 是一个实数，a+b·c 无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c)错，|a·b|=|a ||b ||cos 〈a,b 〉|，只有a(b·c)正确. 答案:A2.设向量a 、b 、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A.{a+b,b-a,a } B.{a+b,b-a,b } C.{a+b,b-a,c } D.{a+b+c,a+b,c }解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c 不共面,故可作为空间的一个基底, 故选C 。

高二数学(人教A版)选修2-1基础巩固强化：3-1-1空间向量及其线性运算.docx

基础巩固强化一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．设A 、B 、C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA →[答案] B[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → [答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD → [答案] D[解析] OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D.5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.[答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________.[答案] OD →[解析] ∵D 为BC 中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →， ∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →. 三、解答题 9.如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→. 10.如图所示的是平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.。

空间向量线性表示例题和知识点总结

空间向量线性表示例题和知识点总结一、空间向量的基本概念在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

向量可以用有向线段来表示，其长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

空间向量的坐标表示：若空间直角坐标系中，向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。

二、空间向量的线性运算1、加法：两个空间向量的和仍然是一个空间向量，其运算遵循平行四边形法则或三角形法则。

例如，若向量\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼）2、减法：空间向量的减法是加法的逆运算。

＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝＼overrightarrow{a} ＋（＼overrightarrow{b}）＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1 z_2)＼）3、数乘：实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼overrightarrow{a}＼）的乘积仍然是一个空间向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{a}＼）方向相同；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{a}＼）方向相反；当\（＼lambda ＝ 0\）时，＼（＼lambda\overrightarrow{a} ＝＼overrightarrow{0}＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）三、空间向量线性表示的知识点1、共线向量定理：对空间任意两个向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}（＼overrightarrow{b} ＼neq ＼overrightarrow{0}）＼），＼（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{b}＼）共线的充要条件是存在实数\（＼lambda\），使得\（＼overrightarrow{a} ＝＼lambda\overrightarrow{b}＼）2、共面向量定理：如果两个向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼）不共线，那么向量\（＼overrightarrow{p}＼）与向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼）共面的充要条件是存在唯一的有序实数对\（（x,y)＼），使\（＼overrightarrow{p} ＝ x\overrightarrow{a} ＋ y\overrightarrow{b}＼）3、空间向量基本定理：如果三个向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼），＼（＼overrightarrow{c}＼）不共面，那么对空间任一向量\（＼overrightarrow{p}＼），存在唯一的有序实数组\（（x,y,z)＼），使\（＼overrightarrow{p} ＝ x\overrightarrow{a} ＋y\overrightarrow{b} ＋ z\overrightarrow{c}＼）四、例题分析例 1：已知空间三点\（A(0,2,3)＼），＼（B(－2,1,6)＼），＼（C(1,－1,5)＼），求\（＼overrightarrow{AB}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼），并判断\（＼overrightarrow{AB}＼）与\（＼overrightarrow{AC}＼）是否共线。

人教A版1.1.1空间向量及其线性运算基础练习题

二、填空题
7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.用表示，则＝________.
8．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
9．已知空间向量，，，化简 ________.
10．化简 ________.
11．直三棱柱中，若，，，则 ______.
人教A版1.1.1空间向量及其线性运算基础练习题
一、单选题
1．在长方体中，下列各式运算结果为的是（）
① ② ③ ④
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A． B． C． D．
3．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（）
【详解】
P，A，B，C四点共面，且，
，解得 .
故答案为:
【点睛】
本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.
9．
【分析】
利用向量加法、减法以及数乘的运算律即可求解.
【详解】
根据空间向量的数乘运算法则可知，
原式 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
【详解】
如图所示，，，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则，属于基础题.
7．
【分析】
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

空间向量及其运算知识点+例题+练习

教学过程自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为教学效果分析教学过程棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题教学效果分析教学过程例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．教学效果分析教学过程1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5.在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把教学效果分析直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为________．6.如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号)8.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．二、解答题(共42分)9.如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．自主梳理1．(1)大小方向 (2)相同相等 (3)存在实数λ，使b ＝λa (4)OM →＋xMA →＋yMB →1 (5)x e 1＋y e 2＋z e 32．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R )a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2自我检测 1.16 －32解析 ∵a ∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.2．－12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97. 4．①③解析 ①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →，即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．课堂活动区例1 解题导引欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底，则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →||CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (1,1,0)， E (0,0,1)，B (0,0,0)，设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE → ＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解由(1)知|MN →|＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE . 则点N 、E 的坐标分别为 ⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)， ∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →，即AM ⊥DF ，AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，且DF ，BF 在平面BDF 内， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)．由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)，则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫4，－94，0.在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa ) ＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →，⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．②③④ 2．锐角解析如图，∵DB →·DC →＝(AB →－AD →)·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →－AD →·AC →＋AD →2＝AD →2>0，同理，BD →·BC →>0，CD →·CB →>0.∴△BDC 为锐角三角形．3．60° 解析如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∴EF 与BC 1所成的角是60°. 4．16解析由PC →＝λ1P A →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.5．211 解析过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211. 6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，y 2. ∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y 24＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(3分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(7分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z . 而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(10分)∴M (0,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)．又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(14分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， AM →＝(－1,0,1)．(4分)∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，。

空间向量及其运算知识点及练习题

空间向量及其运算知识点及练习题1．空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2．共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a ≠0，b ≠0) . 基础练习：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件．( × )2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1答案 C解析如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 解析设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直于a ，b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.5．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 典型例题：题型一空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.题型二共线定理、空间向量基本定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪对于(1)只要证出向量EG →＝EF →＋EH →即可；对于(2)只要证出BD →与EH →共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示．证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ，BD 平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0)． (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．答案平行解析取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1，且EF平面A 1B 1CD ，DB 1平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a |2＝a ·a 可以求线段长；利用cos θ＝a ·b|a ||b |可求两条直线所成的角．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →. 即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)解由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)] ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2 ＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.易失分点：********“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．易错分析将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a ·b 方向相同或相反．解析由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2，或x ＝1当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3. 答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例.******方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1，6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点． ∴AB ∥CD .2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.4．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是( )A ．共线B ．共面C ．不共面D ．无法确定答案 C解析 ∵AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)．假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ，使AD →＝xAB →＋yAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②－4x －5y ＝－4， ③由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾． ∴假设不成立，故四点不共面．5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.22答案 A解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|b |＝|c |，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，BC →＝c －b ，∴OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝|a ||c |cos π3－|a ||b |cos π3＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题6．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案 60°解析由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 8．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于________．答案 12解析因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以|PC →|＝12.三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?解 (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4，∴E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，∴OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又∵b ＝(－2,1,1)，OE →⊥b ，∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，∴λ＝95，∴E (－65，－145，25)，∴在直线AB 上存在点E (－65，－145，25)，使OE →⊥b .10．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能答案 B解析由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .2．以下命题中，正确的命题个数为 ( ) ①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析由共线向量知a 与b 所在直线可能重合知①错；若a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数x ，y ，使a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )＝y a ＋x b ＋(x ＋y )c ，∵a ，b ，c 不共面，∴y ＝1，x ＝1，x ＋y ＝0，∴x ，y 无解，∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能构成空间的一个基底，∴②正确；由向量相等的定义知③正确；由共面向量定理的推论知，当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，∴④不正确．故选B.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．答案 25解析以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，∴M (1，12，1)，N (1,1，12)， ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN→|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12× 12＋(12)2＝25.4．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．5．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。

一、填空题1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面2.(2019济南调研)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.其中不正确的命题是________(填序号).[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.[答案]3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)[解析] =-=(+)-=b+c-a.[答案] b+c-a4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.[答案] (4)5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.[答案] -6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.[解析] 由已知得==，解得=-2或=.[答案] -2或7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.当=时，取得最小值-.此时=.[答案]图768.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.[解析] 设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，所以cos〈，〉=0.[答案] 0二、解答题9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，cos〈，〉===，sin〈，〉=，以，为边的平行四边形的面积为S=2||||sin〈，〉=14=7.(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).图7710.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线;(2)试证：A1C平面BC1D.[证明] (1)=++=++，可以证明：=(++)=，∥，即A1，G，C三点共线.(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，且ab=bc=ca=0，=a+b+c，=c-a，=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BDBC1=B，A1C平面BC1D.要练说，得练看。

空间向量及其运算(理)练习题(含答案)

第六节空间向量及其运算(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c ，故选A.答案 A2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面解析 OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．答案 D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析由于a ，b ，c 三向量共面．所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.故选D.答案 D4．正方体不在同一表面上的两个顶点为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积为( )A ．8B ．27C ．64D ．128解析由于A ，B 是正方体上不共面的两个顶点，则A ，B 必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2＝43，故正方体的边长为4，体积为43＝64.故选C.答案 C5．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定解析方法1：如图所示，在空间四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，得三棱锥A —BCD ，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱互相垂直， ∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0，AD →·BC →＝0. ∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.故选B.方法2：在方法1的图中，选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0.故选B.答案 B6．如图所示，已知空间四边形OABC 中，|OB |＝|OC |，且∠AOB ＝∠AOC ，则OA →，CB →夹角θ的余弦值为( )A ．0 B.12 C.32D.22解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . 由已知条件∠AOB ＝∠AOC ，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos ∠AOC －|a ||b |cos ∠AOB ＝0， ∴cos θ＝0.故选A. 答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．解析设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故P ⎝⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773. 答案7738．如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.解析如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，GF ，则EF →＝EG →＋GF →＝12(AB →＋DC →)， ∴λ＝12. 答案 129．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为__________．解析设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 答案459三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )所成角的余弦值．解 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219.11．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .12．如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(Ⅰ)求P A 的长；(Ⅱ)求二面角B —AF —D 的正弦值．解 (Ⅰ)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F (0，－1，z 2)．又AF →＝(0,2，z 2)，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝18.37故二面角B—AF—D的正弦值为8.。

向量的线性运算基础测试题及答案解析

向量的线性运算基础测试题及答案解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ．D ．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =，DC b =，则（） A ．()12BO a b =+； B ．()12BO a b =-；C ．()12BO b a =-+；D ．()12BO b a =-．【答案】D【解析】 1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BC BO D ∆==+=-=在中，所以故选4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．以下等式正确的是（）．A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=--D ．km k m =【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断．【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误；B. 00a ⋅=，故本选项错误；C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.故选：C.【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．6．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（）．A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，∴AB 、BD 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =，26BC m =，则2132m m -等于（）． A ．AOB ．BOC ．COD ．DO 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =，26BC m =，∴1246B m C AC AB m =+=+,1246BD BA BC AC m m =+==-+,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312AO AC m m =+=，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-，故B 符合题意； 122312CO AC m m ==---，故C 不符合题意； 121232DO BD m m =-=-，故D 不符合题意. 故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则（）A ．+++=B ．-+-=C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而； ∴B 正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（） A ．a ∥e →B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反【答案】C【解析】【分析】由向量的方向直接判断即可.【详解】解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误，故选C.【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列说法正确的是（）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =，AD b =，那么OD 等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．14．在下列关于向量的等式中，正确的是（）A．AB BC CA=+B．AB BC AC=-C．AB CA BC=-D．0AB BC CA++=【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可.【详解】AB AC CB=+，故A选项错误；AB AC BC=-，故B、C选项错误；AB BC CA++=，故D选正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.16．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝,＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（）A ．m na mn a （）＝（）B ． m n a ma na ++（）＝C ．m a b ma mb +（+）＝D ．若0ma =，那么0a =【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a和b都是单位向量，那么下列等式成立的是（）=A．a b-=D．a ba b+=C．0a b=B．2【答案】D【解析】【分析】根据向量a和b都是单位向量，，可知|a|＝|b|＝1，由此即可判断．【详解】解：A、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则a b=不一定成立，故本选项错误．B、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则2+=不一定成立，故本选项错a b误．C、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则0-=不一定成立，故本选项错a b误．D、向量a和b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．。

高考数学总复习(人教版)：9-6空间向量及其运算(理)

9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是( )A ．1 B.15 C.35 D.75 [答案] D[解析] k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)， ∵两向量垂直，∴3(k －1)＋2k －2×2＝0，∴k ＝75.2．a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90° [答案] D[解析] |a |＝2，|b |＝2， (a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．3．对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A 、B 、C 、P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．与O 点的位置有关[答案] B[解析] ∵34＋18＋18＝1， ∴P 、A 、B 、C 共面．4．底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则向量MN →等于( )A ．－12a ＋12b ＋13c B.12a ＋12b －13c C.12a －12b －13c D ．－12a －12b ＋23c [答案] C[解析] MN →＝MB →＋BN →＝12D 1B 1→＋13BB 1→＝12(A 1B 1→－A 1D 1→)－13A 1A →＝12a －12b －13c .5．已知{a ，b ，c }是空间一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p 、q 构成空间另一基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定 [答案] C[解析] ∵a 、b 、c 不共面，∴p 、q 、c 不共面，若存在x 、y ∈R ，使c ＝x p ＋y q ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ， ∴a 、b 、c 共面，矛盾．6．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255[答案] C[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝6－λ3λ2＋5＝89.解得λ＝－2或255.7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．[答案] 355[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5(t －15)2＋95，∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355.8．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．[答案] 5[解析] 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝⎛⎭⎪⎫1252＝5.9.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM MC ＝21，N 为PD 的中点．若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.[答案] －23 －16 16[解析] MN →＝MP →＋PN →＝23CP →＋12PD →＝23(CA →＋AP →)＋12(AD →－AP →) ＝23(－AB →－AD →＋AP →)＋12(AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →， ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.10．已知向量b 与向量a ＝(2，－1,2)共线，且满足a ·b ＝18，(k a ＋b )⊥(k a －b )，求向量b 及k 的值．[解析] ∵a 、b 共线，∴存在实数λ，使b ＝λa ， ∴a ·b ＝λa 2＝λ|a |2＝λ(22＋1＋22)＝9λ＝18， ∴λ＝2.∴b ＝(4，－2,4)．∵(k a ＋b )⊥(k a －b )，∴(k a ＋b )·(k a －b )＝0. ∴(k a ＋2a )·(k a －2a )＝0. ∴(k 2－4)|a |2＝0.∴k ＝±2.能力拓展提升11.(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25[答案] D[解析] 解法1：AM →＝AA 1→＋A 1M →＝AA 1→＋12AB →，CN →＝CB →＋BN →＝－AD →＋12AA 1→，AM →·CN →＝－AA 1→·AD →－12AB →·AD →＋12|AA 1→|2＋14AA 1→·AB →＝12， |AM →|2＝|AA 1→|2＋14|AB →|2＋AA 1→·AB →＝54， |CN →|2＝|AD →|2＋14|AA 1|2－12AD →·AA 1→＝54， ∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝25，故选D.解法2：如图建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝1252×52＝25.∴AM 与CN 所成角的余弦值为25.13．已知空间中三点A (1,0,0)，B (2,1，－1)，C (0，－1,2)，则点C 到直线AB 的距离为________．[答案] 63[解析] AB →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1，－1,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－43·6＝－223，∴sin 〈AB →，AC →〉＝13，∴点C 到直线AB 的距离d ＝|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝63. 14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角为________．[答案] π2 [解析]由条件知AC 、BC 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(1,0，6)，M (0,0，62)，A 1(0，3，6)，∴AB 1→＝(1，－3，6)，A 1M →＝(0，－3，－62)， cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝AB 1→·A 1M →|AB 1→|·|A 1M →|＝0，∴〈AB 1→，A 1M →〉＝π2，即直线AB 1与A 1M 所成角为π2.15．四棱锥P －ABCD 中，AB 、AD 、AP 两两垂直，AB ＝1，AD ＝2，AP ＝3，F 为PC 的中点，E 为PD 上，且PD ＝3PE ，用(1)AB →、AD →、AP →表示EF →； (2)求EF →的模．[解析] (1)EF →＝AF →－AE →＝12(AP →＋AB →＋AD →) －[AP →＋13(AD →－AP →)]＝－16AP →＋16AD →＋12AB →.(2)由条件知，|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AP →|＝3， ∴|EF →|2＝(－16AP →＋16AD →＋12AB →)2 ＝136|AP →|2＋136|AD →|2＋14|AB →|2＝1118， ∴|EF →|＝226.16．如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标；(2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[解析] (1)解：E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．(2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0，∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面，∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．选A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.1．(2011·广东揭阳一模)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143 C.145D ．2[答案] D[解析] a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.2．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，已知CA ＝CB ＝CC 1，AC ⊥BC ，E 、F 分别是A 1C 1、B 1C 1的中点．则AE 与CF 所成角的余弦值等于( )A.45B.1213C.35D.513[答案] A[解析] 以C 为原点，CA →、CB →、CC 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC ＝1，则A (1,0,0)，B 1(0,1,1)，C (0,0,0)，C 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∵E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，∴E (12，0,1)，F (0，12，1)，∴AE→＝(－12，0,1)，CF →＝(0，12，1)，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝152×52＝45，故选A. 3．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c [答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝c －12a ＋12b ，故选A.。

空间向量及线性运算

空间向量及线性运算考点一空间向量基本定理【知识点巩固】1．空间向量基本定理 2．基底3．空间向量的正交分解及其坐标表示 4．空间向量的坐标运算5．空间向量的平行、垂直及模、夹角 6．空间中两点间的距离公式【例题讲解】例1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( ) (2)若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{－a ，b ，2c }也可构成空间一个基底．( )(3)若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．( ) 例2．已知正方体OABC O ′A ′B ′C ′的棱长为1，若以OA →，OC →，OO ′→为基底，则向量OB ′→的坐标是( ) A ．(1，1，1) B ．(1，0，1) C ．(－1，－1，－1)D ．(－1，0，1)例3．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，且向量p ＝i －3j ＋12k ，则p 的坐标为________．例4．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．考点二空间向量的线性运算【知识点巩固】1．空间向量2．空间向量的加减法与运算律【例题讲解】例1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间中，单位向量唯一。

( )(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移。

( ) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线。

( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (5)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同。

( ) 例2．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．例3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( )A ．AD 1→B ．AC 1→ C ．AD→ D ．AB→ 例4．已知向量AB→，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB→＝AC →＋BC → B.AB→＝－AC →－BC → C.AC→与BC →同向 D.AC→与CB →同向例5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO→＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形例6．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中。

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