高中数学一轮复习 基本不等式及其应用

(Ⅱ)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解：(Ⅰ)设 DQ 的长为 y m，则 x2＋4xy＝200，
所以 y＝2004－x x2．
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×12y2
＝38 000＋4 000x2＋400x2000(0＜x＜10 2)．
(Ⅱ)S＝38 000＋4 000x2＋400x2000
≥38 000＋2 4 000x2×400x2000 ＝38 000＋2 16×108＝118 000，
当且仅当 4 000x2＝400x2000，即 x＝ 10时取“＝”，所以 Smin＝118 000(元)．故 计划至少要投入 11．8 万元才能建造这个休闲小区．
(2)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖
(2)已知正数 x，y 满足 x＋2 2xy≤λ(x＋y)恒成立，
则实数 λ 的最小值为________．
解：依题意得，x＋2 2xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即 x＋x2＋y2xy≤2(当且仅当 x＝2y 时取等号)，即x＋x2＋y2xy的最大
值为 2．又 λ≥x＋x2＋y2xy恒成立，则有 λ≥2，即 λ 的最小值 为 2．故填 2．
＝2 时等号成立，则a2＋4a＋＋4a2bb＋4b2的最小值为 4．故选 D．
(2)(2017·山东)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0) 过点(1，
2)，则 2a＋b 的最小值为________．
解：ax＋by＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得1a＋2b＝1，所
以 2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝4＋ba＋4ba≥4＋2 ab·4ba＝8，
即________，亦即________；或 a2＋b2 为定值时，ab 有最大值(a
＞0，b＞0)，即________．简记为：和定积最大．
7．拓展：若 a＞0，b＞0 时，a1＋2 b1≤________≤a＋2 b≤
________，当且仅当 a＝b 时等号成立．
自查自纠：
1．a＋2 b 2． ab 3．2ab 4．a＋2 b≥ ab
的十字形区域．现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4 200 元
/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210
元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 80 元/m2．
(Ⅰ)设总造价为 S 元，AD 的长为 x m，试建立 S 关于 x 的函数关 系式；
b＝12时等号成立，所以 ab 的最大值为116．故填116．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最
大值为________．
解： 因为 x<54，所以 5－4x>0，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝－
5－4x＋5－14x＋3≤－2 （5－4x）·5－14x＋3＝－2＋3＝1．当
实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )
A．2
B．4
Байду номын сангаас
C．6
D．8
解：因为(x＋y)1x＋ay＝1＋ayx＋yx＋a≥a＋1＋2 a，当且
仅当ayx＝yx时等号成立．
要使原不等式恒成立，则只需 a＋1＋2 a≥9 恒成立， 所以( a－2)( a＋4)≥0，解得 a≥4，
所以正实数 a 的最小值是 4．故选 B．
解：因为 x>0，a>0，所以 f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a，
当且仅当 4x＝ax，即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值．又因为 f(x) 在 x＝3 时取得最小值，所以 a＝4×32＝36．故填 36．
点 拨： 求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等 式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范
5．最小值 2 ab 2ab
6．ab≤a＋2 b2 ab≤14(a＋b)2
ab≤a2＋2 b2
7． ab
a2＋b2 2
下列说法正确的是 A．a≥0，b≥0，则 a2＋b2≥2 ab B．函数 y＝x＋1x的最小值是 2
()
C．函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈0，π2的最小值等于 4
基本不等式及其应用
1．如果 a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正 数的算术平均数．
2．如果 a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正 数的几何平均数．
3．重要不等式：a，b∈R，则 a2＋b2≥________ (当 且仅当 a＝b 时取等号)．
4．基本不等式：a＞0，b＞0，则________________，
解：当
x>2
时
，
x
－
2>0
，
f(x)
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
2≥2 （x－2）·x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x
＝3 时取等号．则当 f(x)取得最小值时，x＝3，即 a＝3．故填 3．
(河北衡水中学2017届调考)若 a>0，b>0，lga＋lgb
＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为________．
D．“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充分不必要条件
解：选项 A 中，a＝b＝0．1 时不成立；选项 B 中，当
x＝－1 时 y＝－2；选项 C 中，x∈0，π2时，0<cosx<1，f(x)
＝cosx＋co4sx无最小值；选项 D 中，当xy＋yx≥2 时，需xy>0
即 xy>0，故“x>0 且 y>0”为充分不必要条件．故选 D．
(1)(2018·东北三省四市模拟)已知 a>0，b>0，
则a2＋4a＋＋4a2bb＋4b2的最小值为 (
)
A．14
B．1
C．2
D．4
解： a2＋4a＋＋4a2bb＋4b2＝（a＋a＋2b2）b2＋4＝a＋2b＋a＋42b≥
2 （a＋2b）·a＋42b＝4，当且仅当 a＋2b＝a＋42b，即 a＋2b
解：由题意得 lg(ab)＝lg(a＋b)，即 ab＝a＋b，则有1a＋
1b＝1，所以 a＋b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝
4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立，所以 a＋b 的最小值为 4．故 填 4．
类型一 利用基本不等式求最值
(1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，则 ab 的最大值为________．
对 x∈(0，＋∞)，a≥x2＋3xx＋1max，而对 x∈(0，＋∞)，
x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2
x·1 1x＋3＝15，当且仅当 x＝1x
即 x＝1 时等号成立，所以 a≥15．故选 A．
(2)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在 x＝3 时取
得最小值，则 a＝________．
当且仅当 a＝2，b＝4 时取“＝”．故填 8．
(3)(2017·四川乐山一中月考)设 0<x<32，则函数 y＝
4x(3－2x)的最大值为________．
解：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋（32－2x）2＝92， 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立．因为34∈0，32， 所以函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92．故填92．
当且仅当 a＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．
5．求最小值：a>0，b>0，当 ab 为定值时，a＋b，a2＋b2 有 ________，即 a＋b≥________，a2＋b2≥________．简记为：积 定和最小．
6．求最大值：a＞0，b＞0，当 a＋b 为定值时，ab 有最大值，
解法一： 因为 a>0，b>0，4a＋b＝1，所以 1＝4a＋b≥2 4ab＝
4 ab，当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立．所以 ab≤ 14，ab≤116，则 ab 的最大值为116．
解法二： 因为 4a＋b＝1，所以 ab＝14·4a·b
≤144a2＋b2＝116，当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，
(教材改编)设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy
的最大值为( )
A．77
B．80
C．81
D．82
解：因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝
81，当且仅当 x＝y＝9 时取等号，即(xy)max＝81．故选 C．
已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有 ( )
＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2 xy＝80＋20×4＝160(当且仅
方米．
点 拨： 建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关 键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一 正，二定，三相等”以外，在最值的求法中， 使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后 一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就 需要查看这几次基本不等式等号成立的条件
是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
(1)(2016·徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优 雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型 的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m2
且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立．故填 1．
(3)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的
最小值为________．
解：由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1，所以 3x＋4y＝(3x＋
4y)51y＋53x＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2 152xy·35xy＝5(当且仅当35xy