初高中衔接课因式分解教案.ppt
课件《因式分解》精美PPT课件_人教版2
解：原式＝（a2+1）（a+1）（a-1）.
原式＝3x（2x+1）（2x-1）.
-2x（x+1）（x-1）
（3b+2a）（3b-2a）
3（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
； .
6. （例 2）分解因式：
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
（3b+2a）（3b-2a）
.
15. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（D ）
A. 2a2-b2
B. y2+9
C. -x2-y2
D. x2-1
（2）2m（2m-3）+6m-1. （2b+a）（2b-a）
原式＝y（3x+1）（3x-1）.
2y（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
（2）S1=S2，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等（x+1）（x-1）
解：原式＝（4x2+1）（4x2-1）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
初高中衔接(因式分解)
初高中衔接课程第二讲 因式分解（基本计算能力培养）因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 还记得我们上节课算得立方数和平方数吗？一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a ca c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-四、其它因式分解的方法1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+- (35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+- 本题也可以十字相乘，只是多提供一种解题思路。
第1课时因式分解课件-2021-2022学年高一上学期数学初高中衔接课
反思 感悟
用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难， 具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若 原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加 法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.
A.120
√B.60
C.80
D.40
解析 ∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10， ∴a＋b＝6，ab＝10，则a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×6＝60.故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是
初中、高中衔接课
1.理解提取公因式法、分组分解法. 2.掌握十字相乘法. 3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.
知识点一 常用的乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝ a3－b3 . (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝ a3＋b3 . (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝ a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc . (6)完全立方公式：(a±b)3＝ a3±3a2b＋3ab2±b3 .
解析 原式＝x2－2x＋1－(y2－6y＋9) ＝(x－1)2－(y－3)2 ＝[(x－1)＋(y－3)][(x－1)－(y－3)] ＝(x＋y－4)(x－y＋2).
12345
4 课时对点练
PART FOUR
一、选择题
1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是
2015初高中数学衔接教程：第一讲--因式分解
第一讲 因式分解一、知识归纳1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：（1）))((22b a b a b a -+=-；（2）222)(2b a b ab a ±+±；（3）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±；（4）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；（5）))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++；（6）*1221);)((N ••n b ab b a a b a b a n n n n n n ∈++⋯+⋅+-=-----；（7）当n 为正奇数时))((1221----+-+-+=+n n n n n n b ab b a a b a b a Λ当n 为正偶数时))((1221-----++-+=-n n n n n n b ab b a a b a b a Λ2、十字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题讲解例1：因式分解：3762--x x例2：因式分解：2222224)()(2b a x b a x -++-例3：因式分解310434422-+---y x y xy x例4：利用待定系数法因式分解（1）2031493222+-+-+y x y xy x （2）310434422-+---y x y xy x例5：利用添项法、拆项法因式分解（1）763-+x x （2）15++x x例6：已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值。
三、课堂练习1、分解因式（1）)()(66x y z y z y x x --+-+（2）222224)1(b a b a --+（3）832434--+m m m分解因式（1）44+x（2）893+-x x3、分解因式（1）233222+++-+y x y xy x（2）25335222-++--y x y xy x4、已知多项式133+++bx ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x 则=-b a )( 。
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
2019最新初高中衔接课课件之因式分解
（2）x 2 - 16 x + 48 （4） 3x + 13x - 10
2
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 进行因式分解，应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用 十字相乘法进行分解。
2.掌握方法：首尾分解，十字相乘，和为中项， 横向书写。
3 3 2 2 3 3 （3）立方和公式 a + b = （ a + b )( a ab + b ) （3） 8a - b
2
2
4
（4）立方差公式
a3 - b3 =（a - b)(a 2 + ab + b 2 )
三、分组分解法
【例3】（1）x + 2 xy + y - 4 z
2 2 2 2 2
（2）x - 4 xy + 4 y - z - 2 z - 2 x y + 6xy - 4 xy
3 2
二、公式法
公式法：运用乘法公式进行逆推，学过的乘法公式有：
【例 2】（1） 4 x - (12 +- 9by （ 1）平方差公式 a +xy b)(a ) = a 2 - b2
2 2 2 = a 2 ± 2ab + b 2 （2）完全平方公式 ( a ± b ) （2） 121x - 169 y
因式分解一般步骤：
首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适；
四种方法反复试，最后须是连乘式。
下一专题：一元二次不等式的解法。
越来越精彩，尽请期待！
四、十字相乘法
初高中衔接教材教案《因式分解分解》
初高中衔接教材教案《因式分解分解》因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xya ab b a bx x y xy y a b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）2262x xy y +-解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --*例3 因式分解：（双十字相乘法） 222222(1)282143(2)31092(3)422473x xy y x y x xy y x y x xy y x y +-++---++-+-++-3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-+．－1 1 x y图1．2－5练 习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m 2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2 ()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322aa -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a a b b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
24《因式分解法》课件(共35张PPT)ppt课件
x＋2 = 0 或 3x－5 = 0
∴ x1 =－2 ，
x2 =
5 3
（3）x2－4 = 0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) = 0 x＋2 = 0 或 x－2 = 0 ∴ x1 = －2， x
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
PPT教学课件
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
以上解方程 x10 4.9 x 0的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？
（精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
x2
100 49
x
50 49
例3.解下列方程 :
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
因式分解ppt(共22张PPT)
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
中考数学因式分解课件PPT学习教案
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2．因式分解的思考步骤 (1)提取公因式； (2)看有几项：如果为二项时，考虑使用平方差公式；如果为三项时，考虑使用完全平方 公式； (3)检查是否分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再 重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三查”． 3．变形技巧 当 n 为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n； 当 n 为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
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因式分解 【例 1】 (1) 下列式子从左到右变形是因式分解的是( B)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
(2)(2016·岳阳)因式分解：6x2－3x＝__3__x_(_2__x_－_．1) (3)(2016·达州)分解因式：a3－4a＝_a__(_a_＋___2__)．(a－2) (4)(2016·信阳模拟)因式分解：m2n－6mn＋9n＝__n_(_m___－__3．)2
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[对应训练]
2．(1) (2016·烟台)已知|x－y＋2|＋ x＋y－2＝0，则 x2－y2 的值为__-_4_；
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC 的
因式分解课件ppt
通过分析有一定难度的例题，引导学生深入理解因式分解的内在规律和解题技巧。
典型例题
提供适量的提升练习题，让学生在解题中逐渐掌握因式分解的技巧和方法。
自主练习
提升练习
总结提炼
将因式分解的各种知识点和解题技巧进行融合，帮助学生形成完整的知识体系和解题思路。
典型例题
通过分析综合性较强的例题，引导学生学会运用各种技巧和方法解决因式分解问题。
因式分解的重要性
01
化复杂为简单
因式分解可以将复杂的多项式化为简单的多个因子乘积，方便计算和理解。
02
应用于各种数学领域
因式分解是数学中非常重要的基本技能，广泛应用于代数、几何、三角函数等多个领域。
因式分解的例子
示例
提公因式法
公式法
分组分解法
03
因式分解的方法
总结词
利用乘法公式将多项式进行因式分解
xx年xx月xx日
因式分解课件ppt
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目录
引言因式分解的基本概念因式分解的方法因式分解的应用练习与巩固总结与回顾
01
引言
介绍因式分解在数学中的重要性及应用领域，如代数、解析几何等。
课程背景
明确本课程的目标和主要内容，以及学生学完本课程后能够掌握的能力。课程目标课程简介教学内容
提取公因式
利用因式分解公式来简化计算，如a^2-b^2=(a+b)(a-b)
公式法
对于一些不能直接套用公式的问题，可以尝试十字相乘法进行简化
十字相乘法
简化计算
通过将几何问题代数化，利用因式分解将问题转化为代数方程求解
应用在解决几何问题上
例如解方程式，因式分解可以帮助我们找到根并简化计算
2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
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(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（6）三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac)
.精品课件.
4
1．公式法
例1.因式分解
（1）8 x3
(3)3a3 81b4
(2)125 27b3 (4)a7 ab6
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或 其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
.精品课件.
13
后测
1 分解因式：
（1）x2 5xy 6 y2 ；
则二次三项式就可分解为 a(x x1)(x x2 ) ．
例6 分解因式： x2 2x 1
解： （1）令x2 2x 1 0 ，则解得 x1 1 2，x2 1 2 x2 2x 1 x (1 2) x (1 2)
(x 1 2)(x 1 2)
.精品课件.
11
5. 配方法
例7 分解因式： (1)x2 6x 16 (2)x2 4xy 4 y2
（3）x2 5x 3 ；
（2） 6x2 x 1 ；
（4）(x2 2x)2 7(x2 2x) 12 .
2．ABC 三边 a,b, c, 满足a2 b2 c2 ab bc ca 试判定 ABC 的形状。
3．分解因式：x2 x a2 a .
.精品课件.
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1. 1 x 3yx 2y
.精品课件.
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6. 拆(添)项法
例8 因式分解：
x3 3x2 4
解 : x3 3x2 4 ( x3 1) (3x2 3)
( x 1)( x2 x 1) 3( x 1)( x 1) ( x 1)[( x2 x 1) 3( x 1)]
( x 1)( x2 4x 4) ( x 1)( x 2)2 .
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 )
2 3x 12x 1
3
x
5
2
13
x
5
2
13
4 x 3(x 1)(x 1 5)(x 1 5)
2. 等边三角形
3. (x a 1)(x a)
.精品课件.简必须彻底 2.最后仅剩小括号 5
2．分组分解法 利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组 分解法的关键在于如何分组．
例2 分解因式：
2x2 4xy 2 y2 8z2
.精品课件.
6
2．分组分解法 例3 分解因式：
ab(c2 d 2 ) (a2 b2 )cd
重组优化
.精品课件.
3
常用乘法公式 （1）平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
（2）完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2
（3）立方和公式
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
（4）立方差公式
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
（5）完全立方公式
解 : (1)x2 6x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x2 4xy 4 y2 ( x2 4xy 4 y2 ) 8 y2 ( x 2 y)2 8 y2 ( x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2 y).
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方 后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．
我们发现，二次项系数
a
分解成
a1a2
，常数项
c
分解成
c1c2
，把
a1
,
a2
,
c1
,
c2
写成
a1 a2
c1 ，这里按 c2
斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2c1 ，那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
初高中数学衔接课
因式分解
.精品课件.
1
因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积
因式分解
整式乘法
在分式运算、解方程及各种恒等 变形中起着重要的作用．是一种
重要的基本技能．
.精品课件.
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前测
(1)x2 9 (2)x2 6x 9 (3) 3xy2 6xyz (4)a2 x a2 y b2 x b2 y (5)x2 3x 2
例5 分解因式：(1)ax5 -10ax4 16ax3
解 : (1)ax3( x 2)( x 8).
(2)8x2 26xy 15 y2
1 2
1 -8
(2)8x2 26xy 15 y2 (2x y)(4x 15 y).
2 -1
4 15
.精品课件.
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4．求根法
若关于x的方程
的两个实数根是 x1, x2 ，
.精品课件.
7
因式分解
因式分解的主要方法有： 十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分
解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
因式分解的一般步骤：
.精品课件.
8
3．十字相乘法 1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
x2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
例4分解因式： (1)x2 13x 36 (2)x2 xy 6 y2
(3)a2b2 7ab 10
(4)( x2 x)2 8( x2 x) 12
(1)x2 13x 36 ( x 4)( x 9).
.精品课件.
9
3．十字相乘法