§104第二型曲面积分.

i 1
（4）取极限
设 d max{Si的直径} ，
1in
n
则 lim Vi niSi 。 d0 i1
二、第二型曲面积分的定义
设 是 向量场A(x, y, z) 所在空间中的一个有向光滑曲面。
将 任意分成n 小块 Si (i 1,2, ,n) ，其面积亦记为Si ， 设 d max{Si的直径} 。M i (i , i , i )Si ， 在点M i
1in
处的单位法向量为 ni ，作和式 n A(i , i , i ) ni Si ，如果
i1
当 d 0时 ， 对 的任意分法及点 M i的任意选取 ，上述和
式恒有同一极限，则称此极限值为 A(x, y, z)在有向曲面上
的第二型曲面积分，记为 A(x, y, z)ndS ，即
n
A(x, y,z)ndS
lim
d0 i1
A(i ,
i ,
i )
ni Si
注：（1）当
A(x,
y,
z)
在有向曲面上
连续时，其第二型
曲面积分存在。 （2）流体v(x, y, z) 流向有向曲面 指定侧的流量
v(x, y,z)ndS 。
三、第二型曲面积分的性质
设 A A(x, y,z) ， B B(x, y,z) ，
对于双 侧：曲z 面f可(x以, y通) 若过法曲向面量上n法与向z量轴的的指正向向来成确锐定角 ，
曲 则面取的定侧了。曲这面种的取上定侧了。法若向法量向的量指n向与亦z即轴确的定正了向曲成面钝
的侧，称为有向曲面。
角，则取定了曲面的下侧。
z
n
z
一般封闭曲面有内侧与外侧之分；
曲面 曲面
：上z侧 ：x
，即
Avn.
若 为曲面，流速v不是常向
A
量，则用下面的方法计算流量 。
（1）分割 将 任意分成 n 小块 Si (i 1,2, ,n) ， Si 同时代表其面积。
v
n
（2）近似
z
M i (i , i , i )Si ，
ni vi
在是 光滑和v连续 的
前提下，以点M i 处的
流速
vi
v(M
f f
(x, y) ( y, z)
有 有上 前侧 侧与 与下 后侧 侧下侧之 之分 分n； ；
o
yo
y
x曲面 ： y f (x, z) 有左侧x 与右侧之分。
10.4.2 第二型曲面积分的概念
一、引例：求稳定流动的不可压缩流体流向有向曲面
指定侧的流量 （假定密度为 1）。
设流体的速度场为
v( x,
（1） (a AbB)ndS a AndS b BndS (a,b为常数) ；
（2） AndS AndS AndS ( 可分为1与2 )；
1
2
（3） AndS AndS ( 与 是同一曲面的两侧)。
四、第二型曲面积分的数量表达式
设
A(
x,
y,
z)
P(
x,
y,
z)i Q(x,
y,
i
)
和单位
法向量ni 分别代替Si x
Mi
Si
o
y
上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过 Si
指定侧的流量的近似值： i SiVi ni (i 1, 2, ,n)
（3）求和
n
Vi ni Si
i1
n [P(i ,i ,i )cosi Q(i ,i ,i )cosi R(i ,i ,i )cosi ]Si
设有向光滑曲面 ： z z(x, y) ， 取上侧 。
在xy 面上的投影区域为Dxy ，
A(x, y,z) R(x, y,z)k 在 上连续 ，则
R(x, y,z)dxdy
A(x,
y,
z)ndS
lim
n
R(i,i ,i )cosiSi
d 0 i1
∵ M i (i,i ,i ) ，∴i z(i ,i ) ，
又∵ 取上侧，∴cosi 0 ，cosiSi 表示Si在 xy 平面
上的投影区域i 的面积（仍记为i ）的近似值，
即 i cosi Si ；
令 d max{i的直径} ，当 d 0 时，d 0 ，
1in
n
∴ R(x, y, z)dxdy lim R(i , i , i )cosiSi
Rdxdy
，
从而 AndS PdydzQdzdx Rdxdy 。
A( x,
y,
z)ndS
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
dy dz 是 dS 在 x 轴上的投影 ； dz dx 是 dS 在 y 轴
上的投影 ； dx dy 是 dS 在 z 轴上的投影 。 它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos 0 时，
d 0 i1
n
lim
d 0
i1
R(i
,
i
,
z(i
,
i
))i
R(x,
Dxy
y,
z(x,
y))dxdy
。
若 取下侧，则cosi 0 ，i cosiSi ，
R(x, y, z)dxdy R(x, y, z(x, y))dxdy 。
z)
j
R(x,
y,
z)k
，
n
cosi cosj
cos k
，则
A(
x,
y,
z)ndS
(Pcos
Qcos
Rcos)dS
其中 dS 为曲面 的面积元素。
记
dS
ndS
{cos
dS
,
cosdS,cos
dS}{dy
dz,
dz
பைடு நூலகம்
dx,dx
dy}
，
称dS 为曲面 的面积元向量。
则
AndS
AdS
Pdydz Qdzdx
dx dy 取正号；当 cos 0 时， dx dy 取负号。
特殊形式： Pdydz 称为 P 对 坐标y,z 的曲面积分；
Qdzdx 称为Q 对 坐标z,x 的曲面积分；
Rdxdy 称为 R 对 坐标x, y 的曲面积分。
10.4.3 第二型曲面积分的计算
以 R(x, y,z)dxdy 为例说明第二型曲面积分的计算方法。
§10.4 第二型曲面积分
10.4.1 曲面侧的概念
在光滑曲面 上任取一点P ，过点P 作曲面 的法向量， 它有两个方向，选定其中一个方向设为n 。如果当点P 在曲面 上不越过边界而任意连续变动又回到原来位置 时，法向量 n总不改变方向，则称这种曲面为双侧曲面， 否则称为单侧曲面。
例如，将长方形纸条的一端扭转180 ，再与另一端 粘合起来，就是单侧曲面。
y,
z)
P(x,
y,
z)i Q(
x,
y,
z)
j
R(x,
y,
z)k ，
有向曲面指向侧的单位法向量
n
cosi
cosj cosk
。
若为 平面上面积为 A的区域 ，而流速v是常向量 ，
则在单位时间内流过 的流体组成一个底面积 为 A ， 斜高为 v 的斜柱体 ，其体积为
其体积为
A
v
cos
Avn