圆的阴影面积与圆环、扇形面积

圆环、扇形的面积与组合图形面积

目标指南；

1.理解圆环的意义，掌握圆环面积的计算方法，并能正确计算圆环的面积。

2.认识弧、圆心角、扇形，理解并掌握它们的意义。

3.掌握扇形面积的计算方法，并灵活运用。

重点：掌握圆环和扇形面积的计算方法。

难点：理解圆环和扇形面积公式的推导过程。

教学过程：

一、导入课题

二、知识讲解

知识点一：圆环的意义

圆环也叫环形，它是指两个半径不相等的圆，当圆心重合时的两圆之间的部分。 知识点二：圆环面积的计算

在计算圆环的面积时，我们可以用外圆的面积减去内圆的面积，如果用R 表示外圆的半径，r 表示内圆的半径，S 表示圆环的面积，可以利用公式：

()2222r R S r R S -=-=πππ或求出圆环的面积。

典型例题：有一个圆环如右图所示，内半径为5cm ，外半径为cm 8。求这个圆环的面积。 思路导航：利用公式()2222r R S r R S -=-=πππ或直接求。

列式一：-⨯2825⨯ 或 列式二：()2258-⨯

=-⨯6425⨯ =()2564-⨯

= =39⨯

=（2cm ） =（2cm ）

答：这个圆环的面积是2cm 。

巩固练习：

1.一个环形铁片，内圆半径是6cm ，环宽是4cm ，这个环形铁片的面积是多少

2.一座雕塑的基座是圆形的，半径为15m，在它的周围植上5m宽的环形草坪。

（1）草坪有多少平方米

（2）如果植1平方米草坪的成本为20元，那么植这块草坪至少要多少元

3.有一种环形垫图，外圆直径为12厘米，内圆半径为4厘米，这种环形垫图的面积是多少平方厘米

4.一草地上有一木桩，把一头牛用m

8长的绳子绑在木桩上，牛能吃多少平方米的草，若把绳子延长m

2，则牛能多吃多少平方米的草

5.公园里有一圆形花坛，直径是20米，绕花坛一周铺有一条宽2米的小路，小路的面积是多少平方米

6.求下面图中阴影部分的面积。

知识点三：扇形的意义 1.弧的认识

（1）弧的意义：圆上两点之间的部分，叫做弧。如图：A 点、B 点之间的部分。

（2）弧的读法：A 、B 两点之间的弧，读作“弧AB ” 。

（3）弧的写法：弧的符号是“︵” ，以A 、B 为端点的弧，记作 . 。

（4）弧的分类：大于圆周长的一半的弧叫做优弧；小于圆周长一半的弧叫做劣弧。我们通常所说的弧都是劣弧。

2.圆心角的意义

由两条半径组成，顶点在圆心的角。如图：1∠就是圆心角。

3.扇形的意义

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

知识点四：扇形面积的计算公式

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角n 的大小有关，扇形的圆心角占0360的几分之几，那么扇形的面积就占整个圆面积的360

n 。因此已知围成扇形的半径r ，圆心角的度数n ，求扇形的面积S ，可直接用扇形面积公式计算。 即

02360n r S ⨯=π扇

知识点五：扇形面积的计算

典型例题：一块扇形木板，半径是60cm ，圆心角是600，这块木板的面积是多少 思路导航：给出扇形的半径、圆心角度数，直接利用公式计算。

解答：06060==n cm

r 3602n

r S ⨯=π

=360

606060⨯⨯⨯ =1884（2cm ）

答：这块木板的面积是18842cm 。

能力提升： 典型例题1：草场上有一个木屋，木屋是边长3m 的 正方形（如图），A 是木屋一角，在A 点有一木桩,

用m 6长的绳子拴一匹马在木桩上，这匹马的活动范

围有多大

思路导航：在绳拉直的情况下，马的最大活动范围应是以m 6为半径的一个半圆，以6m 为半径的41圆和以m 3为半径的2个4

1圆，这些面积的和就是马所能到达的地方，也就是马活动的范围。

+⨯

⨯2162+⨯⨯416224

132⨯⨯⨯ =+⨯⨯2136+⨯⨯413624

19⨯⨯⨯ =+⨯18+⨯9219⨯⨯ =（2m ）

答：这匹马的活动范围是2m 。

典型例题2：如右图，正方形边长是cm 8，求阴影部分

的面积是多少

解法一：

思路导航：用正方形减去一个整圆的面积，得空白部分的一半，再用正方形的面积减去全部空白的面积，就得到阴影部分的面积。（如右图）

解答 空白部分的一半：()14.328882

⨯÷-⨯ =⨯

=（2cm ）

阴影部分的面积：48.36276.1388=⨯-⨯（2cm ）

解法二： 思路导航：每2个41圆合在一起正好是一个正方形的面积与一个花瓣面积的和，用2个4

1圆的面积减去一个正方形的面积就是一个花瓣面积，乘4就可以求出阴影部分的面积。（如右图）

解答 ()4442412814.32⨯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯-⨯⨯÷⨯ =416241

1614.3⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯

=⨯

=（2cm ）

答：阴影部分的面积是2cm 。

巩固练习：

1.求右图中阴影部分的面积。

2.求右图中阴影部分的面积。

考点题库：

1.重点题：拥军社区修建一个圆形花坛，周长是m。在花坛周围又修了一条宽1米的环形小路。小路的面积是多少

2.变式题：一个零件如图，求它的面积。

3.考试题：求阴影部分的面积。（单位：cm）（2005年山西省）

4.考试题：已知阴影部分面积是602

cm，那么圆形面积是多少平方厘米（2004年吉林市昌邑区考试题）